Mod` eles ` a effets fixes

5.1.1. Avec r´ep´etitions

Un facteur contrˆol´e A se pr´esente sous I modalit´es, chacune d’entre elles ´etant not´eeAi. Un facteur contrˆol´e B se pr´esente sous J modalit´es, chacune d’entre elles d´ependant du niveau A_i du facteur A et ´etant alors not´ee B_j(i). Pour chacun des couples de modalit´es (Ai, B_j(i)) on effectue K >2 mesures d’une r´eponse Y qui est une variable continue. On note n =I ×J ×K le nombre total de mesures ayant ´et´e effectu´ees.

On introduit le mod`ele :

Y_i,j,k =µ+α_i+β_j(i)+_i,j,k, i= 1. . . I, j= 1. . . J, k= 1. . . K avec les contraintes suppl´ementaires

I

X

i=1

α_i = 0,

J

X

j=1

β_j(i) = 0, ∀i∈ {1, . . . , I}

o`uY<sub>i,j,k</sub> est la valeur prise par la r´eponse Y dans les conditions (A<sub>i</sub>, B<sub>j(i)</sub>) lors du k−`eme essai. On postule les hypoth`eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k6K, L(i,j,k) = N(0, σ²), et Cov(_i,j,k, _l,m,n) = 0 si (i, j, k)6= (l, m, n) avec

16i, l 6I, 16j, m6J et 16k, n6K.

On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod`ele sont bien remplies, l’´etude de leur v´erification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On regroupe les valeurs que peut prendre la r´eponse Y dans les conditions (Ai, B_j(i)) dans le tableau suivant :

A₁ . . . A_I

B1(1) . . . BJ(1) . . . B1(I) . . . BJ(I)

Y_1,1,1 . . . Y_1,J,1 . . . Y_I,1,1 . . . Y_I,J,1 ... ... ... . . ... ... ... Y_1,1,K . . . Y_1,J,K . . . Y_I,1,K . . . Y_I,J,K

On rappelle que la variation th´eorique due au facteurA est d´efinie par : SC_A=J K

I

X

i=1

(Yi,•,•−Y•,•,•)².

La variation th´eorique du facteur B dans le facteurA est d´efinie par : SCB|A=K

J

X

j=1

(Yi,j,•−Yi,•,•)².

La variation r´esiduelle th´eorique est quant `a elle d´efinie par : Enfin la variation totale th´eorique est ´egale `a :

SC_{T OT} = On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :

SC_{T OT} =SC_A+SC_B|A+SC_R.

La listey des donn´ees exp´erimentales y_1,1,1, . . . , y_1,1,K, . . . , y_1,2,1, . . . , y_1,2,K, . . . , y_I,J,K per-met de construire une r´ealisation du tableau pr´ec´edent :

A₁ . . . A_I

B₁₍₁₎ . . . B_J(1) . . . B_1(I) . . . B_J(I) y_1,1,1 . . . y_1,J,1 . . . y_I,1,1 . . . y_I,J,1

... ... ... . . ... ... ... y_1,1,K . . . y_1,J,K . . . y_I,1,K . . . y_I,J,K

La variation due au facteur A observ´ee sur la liste de donn´ees y est d´efinie par : scA=J K

I

X

i=1

(yi,•,•−y•,•,•)².

La variation du facteur B dans le facteur A observ´ee sur la liste de donn´ees y est d´efinie par :

La variation r´esiduelle observ´ee sur la liste de donn´eesy est quant `a elle d´efinie par : sc_R =

Enfin la variation totale observ´ee sur la liste de donn´eesy est ´egale `a : sc_{T OT} =

La relation fondamentale de l’ANOVA reste valable lorsqu’elle est ´evalu´ee sur la liste de donn´ees y :

sc_{T OT} =sc_A+scB|A+sc_R.

On introduit les d´egres de libert´e (Ddl) associ´es `a chaque ligne du tableau de l’ANOVA : Source Degr´es de libert´e

Facteur A n_A=I−1

Facteur B dans A nB|A =I(J −1) R´esiduelle n_R =IJ(K−1)

Totale n_{T OT} =IJ K−1

On r´esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carr´e Moyen F D´ecision

FacteurA sc_A n_A s²_A= sc_A

nA

f_A = s²_A

s²_R H⁰0 ouH⁰1

FacteurB dans A scB|A nB|A s²_B|A= scB|A

nB|A

fB|A = s²_B|A

s²_R H0⁰⁰ ouH⁰⁰1

R´esiduelle sc_R n_R s²_R= scR

n_R

Totale sc_{T OT} n_{T OT}

On souhaite faire les tests d’hypoth`ese suivants :

H⁰0 : α1 =α2 =· · ·=αI = 0 contre

H⁰1 : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i0 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, f_A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aI−1 et IJ(K−1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur f<sub>A</sub> est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

Lorsque l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup>0 est rejet´ee on peut proc´eder `a des comparaisons multiples des diff´erents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

H⁰⁰0 : β₁₍₁₎=β₂₍₁₎=· · ·=β_J(1) =β₁₍₂₎=· · ·=β_J(I)= 0 contre

H⁰⁰1 : Il existe (i₀, j₀)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J}tel que β_j0(i0) 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulleH<sup>00</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet des facteursB dans le facteurAet lorsque les conditions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fB|A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aI(J−1) etIJ(K−1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur fB|A est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

Les estimateurs µ,b cα₁, . . . , cα_I, βd₁₍₁₎, βd₂₍₁₎, . . ., βd_J(1), βd₁₍₂₎, . . ., βd_J(I), σb² des param`etres µ, α1, . . . , αI, β<sub>1(1)</sub>, β<sub>2(1)</sub>, . . ., β<sub>J(1)</sub>, β<sub>1(2)</sub>, . . ., β<sub>J(I)</sub>, σ<sup>2</sup> du mod`ele sont donn´es par les formules suivantes :

µb=Y•,•,• =Y , αb_i =Yi,•,•−bµ, 16i6I, βd_j(i) =Yi,j,•−Yi,•,•, 16i6I, 16j 6J, σb² = SC_R

IJ(K−1) =S_R². Ce sont des estimateurs sans biais.

Les estimations, obtenues pour la liste de donn´ees y et not´ees bµ(y), cα1(y), . . . , αcI(y), βd₁₍₁₎(y),βd₂₍₁₎(y),. . .,βd_J(1)(y),βd₁₍₂₎(y),. . .,βd_J(I)(y),σb²(y), des param`etresµ,α<sub>1</sub>, . . . ,α<sub>I</sub>, β<sub>1(1)</sub>,β<sub>2(1)</sub>, . . ., β<sub>J(1)</sub>, β<sub>1(2)</sub>, . . ., β<sub>J(I)</sub>,σ<sup>2</sup> du mod`ele se d´eduisent des formules suivantes :

µ(y) =b y•,•,• =y, αb_i(y) =yi,•,•−bµ(y), 16i6I, βd_j(i)(y) = yi,j,•−yi,•,•, 16i6I, 16j 6J, σb²(y) = sc_R

IJ(K−1) =s²_R.

5.2. Mod` eles ` a effets al´ eatoires

5.2.1. Avec r´ep´etitions

Un facteur contrˆol´e A se pr´esente sous I modalit´es, chacune d’entre elles ´etant not´eeAi. Les β_j(i) repr´esentent un ´echantillon de taille J pr´elev´e dans une population importante d´ependant du niveau A_i du facteur A. Nous admettrons que les effets des B_j(i), les β_j(i), sont distribu´es suivant une loi normale centr´ee de varianceσ_B|A² . Pour chacun des couples de modalit´es (A_i, B_j(i)) on effectue K >2 mesures d’une r´eponse Y qui est une variable continue. On note n=I×J×K le nombre total de mesures ayant ´et´e effectu´ees.

On introduit le mod`ele :

Y_i,j,k =µ+α_i+β_j(i)+_i,j,k, i= 1. . . I, j= 1. . . J, k= 1. . . K

o`uY<sub>i,j,k</sub> est la valeur prise par la r´eponse Y dans les conditions (A<sub>i</sub>, B<sub>j(i)</sub>) lors du k−`eme essai. On suppose que

L(α_i) =N(0, σ²_A), ∀i,16i6I, L β_j(i)

=N(0, σ_B|A² ), ∀ (i, j),16i6I, 16j 6J, ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoires :

Cov(α_i, α_j) = 0 sii6=j et 16i, j 6I,

Cov(β_j(i), β_l(k)) = 0 si (i, j)6= (k, l) avec 16i, k 6I et 16j, l 6J, Cov(αi, βk(j)) = 0 si 16i, j 6I et 1 6k6J.

On postule les hypoth`eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k6K, L(_i,j,k) = N(0, σ²), et Cov(_i,j,k, _l,m,n) = 0 si (i, j, k)6= (l, m, n) avec

16i, l 6I, 16j, m6J et 16k, n6K, ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoires et des erreurs :

Cov(α_i, _j,k,l) = 0 si 16i, j 6I,16k 6J, et 16l6K, Cov(β_j(i), _k,l,m) = 0 si 16i, k6I,16j, l 6J, et 16m6K.

On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod`ele sont bien remplies, l’´etude de leur v´erification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On utilise les quantit´es SC_A, SC_B|A,SC_R, SC_{T OT},sc_A, sc_B|A,sc_R etsc_{T OT} introduites `a la section 5.1.1.

On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :

SCT OT =SCA+SCB|A+SCR.

On introduit les d´egres de libert´e (Ddl) associ´es `a chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Source Degr´es de libert´e

Facteur A n_A=I−1

Facteur B dans A nB|A =I(J −1) R´esiduelle n_R =IJ(K−1)

Totale n_{T OT} =IJ K−1

On r´esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carr´e Moyen F D´ecision

FacteurA sc_A n_A s²_A= sc_A

n_A f_A= s²_A

s²_B|A H⁰₀ ouH⁰₁

FacteurB dans A sc_B|A n_B|A s²_B|A= scB|A

nB|A

f_B|A = s²_B|A

s²_R H0⁰⁰ ouH⁰⁰1

R´esiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R nR

Totale sc_{T OT} n_{T OT}

On souhaite faire les tests d’hypoth`ese suivants : H⁰0 : σ²_A= 0

contre H⁰1 :σ_A² 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, f_A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aI−1 et I(J−1) degr´es de libert´e.

H⁰⁰0 : σ²_B|A = 0

contre H1⁰⁰ : σ_B|A² 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>00</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur B dans le facteurA et lorsque les conditions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fB|A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aI(J −1) et IJ(K−1) degr´es de libert´e.

Les estimateurs bµ, σc²_A, σd²_B|A, σb² des param`etres µ, σ<sub>A</sub><sup>2</sup>, σ<sub>B|A</sub><sup>2</sup> , σ<sup>2</sup> du mod`ele se d´eduisent des formules suivantes :

bµ=Y•,•,• =Y , σc_A² = 1

J K S_A² −S_B|A² ,

σd_B|A² = 1

K S_B|A² −S_R² ,

σb² = SC_R

(I −1)(J−1) =S_R², o`u S_A² = SC_A

n_A ,S_B|A² = SCB|A

nB|A

et S_R² = SC_R n_R . Ce sont des estimateurs sans biais.

Les estimations, obtenues pour la liste de donn´eesyet not´eesµ(y),b σc_A²(y),σd_B|A² (y),σb²(y), des param`etres µ, σ<sup>2</sup><sub>A</sub>, σ<sup>2</sup><sub>B|A</sub>,σ<sup>2</sup> du mod`ele se d´eduisent des formules ci-dessus :

µ(y) =b y_•,•,• =y, σc_A²(y) = 1

J K s²_A−s²_B|A ,

σd_B|A² (y) = 1

K s²_B|A−s²_R ,

σb²(y) = sc_R

(I−1)(J−1) =s²_R.

5.3. Mod` eles ` a effets mixtes

Pour le plupart des auteurs d’ouvrages sur l’analyse de la variance, voir [4] `a ce sujet par exemple, un facteur emboˆıt´e dans un facteur al´eatoire doit ˆetre consid´er´e comme al´eatoire<sup>4</sup>. Ainsi le seul mod`ele mixte possible est le cas o`u le facteur A est fixe et le facteur que l’on emboˆıte dans A, le facteur B, est al´eatoire.

5.3.1. Avec r´ep´etitions

Un facteur contrˆol´e A se pr´esente sous I modalit´es, chacune d’entre elles ´etant not´eeA_i. Les β_j repr´esentent un ´echantillon de taille J pr´elev´e dans une population importante.

4Il existe n´eanmoins certains cas o`u l’on peut utiliser un mod`ele mixte o`u le facteur emboˆıt´e est `a effets fixes tandis que le facteur dans lequel il est emboˆıt´e est `a effets al´eatoires.

Nous admettrons que les effets des B_j(i), les β_j(i), sont distribu´es suivant une loi normale centr´ee de variance σ²_B|A. Pour chacun des couples de modalit´es (A_i, B_j(i)) on effectue K >2 mesures d’une r´eponse Y qui est une variable continue. On note n=I×J×K le nombre total de mesures ayant ´et´e effectu´ees.

On introduit le mod`ele :

Yi,j,k =µ+αi+β_j(i)+i,j,k, i= 1. . . I, j= 1. . . J, k= 1. . . K avec les contraintes suppl´ementaires

I

X

i=1

α_i = 0,

o`uYi,j,k est la valeur prise par la r´eponse Y dans les conditions (Ai, B<sub>j(i)</sub>) lors du k−`eme essai. On suppose que

L β_j(i)

=N(0, σ_B|A² ), ∀ (i, j),16i6I, 16j 6J, ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoires :

Cov(β_j(i), β_l(k)) = 0 si (i, j)6= (k, l) avec 16i, k6I et 1 6j, l 6J.

On postule les hypoth`eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k6K, L(i,j,k) = N(0, σ²), et Cov(_i,j,k, _l,m,n) = 0 si (i, j, k)6= (l, m, n) avec

16i, l 6I, 16j, m6J et 16k, n6K, ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoires et des erreurs :

Cov(β_j(i), _k,l,m) = 0 si 16i, k6I,16j, l 6J, et 16m6K.

On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod`ele sont bien remplies, l’´etude de leur v´erification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On utilise les quantit´es SC_A, SCB|A,SC_R, SC_{T OT},sc_A, scB|A,sc_R etsc_{T OT} introduites `a la section 5.1.1.

On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :

SC_{T OT} =SC_A+SCB|A+SC_R.

On introduit les d´egres de libert´e (Ddl) associ´es `a chaque ligne du tableau de l’ANOVA : Source Degr´es de libert´e

Facteur A nA=I−1

Facteur B dans A nB|A =I(J −1) R´esiduelle n_R =IJ(K−1)

Totale n_{T OT} =IJ K−1

On r´esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carr´e Moyen F D´ecision

FacteurA sc_A n_A s²_A= scA

n_A f_A= s²_A

s²_B|A H⁰0 ouH⁰1

FacteurB dans A scB|A nB|A s²_B|A= sc_B|A

n_B|A fB|A = s²_B|A

s²_R H₀⁰⁰ ouH⁰⁰₁

R´esiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R n_R

Totale scT OT nT OT

On souhaite faire les tests d’hypoth`ese suivants :

H⁰₀ : α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0 contre

H⁰1 : Il existe i0 ∈ {1,2, . . . , I} tel que αi0 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, f_A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `a I−1 et I(J −1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur f<sub>A</sub> est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

Lorsque l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup>0 est rejet´ee on peut proc´eder `a des comparaisons multiples des diff´erents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

H⁰⁰0 : σ²_B|A = 0 contre H1⁰⁰ : σ_B|A² 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>00</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur B dans A et lorsque les conditions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fB|A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `a I(J−1) et IJ(K−1) degr´es de libert´e.

Les estimateurs bµ,cα₁, . . . ,αc_I,σd_B|A² ,σb² des param`etresµ,α<sub>1</sub>, . . . , α<sub>I</sub>,σ<sub>B|A</sub><sup>2</sup> , σ<sup>2</sup> du mod`ele sont donn´es par les formules suivantes :

bµ=Y•,•,• =Y , αb_i =Yi,•,•−µ,b 16i6I, σd²_B|A = 1

K S_B|A² −S_R² ,

σb² = SC_R

(I−1)(J −1) =S_R², o`u S_B|A² = SCB|A

nB|A

etS_R² = SC_R n_R . Ce sont des estimateurs sans biais.

Les estimations, obtenues pour la liste de donn´ees y et not´ees bµ(y), cα₁(y), . . . , αc_I(y), σd_B|A² (y),σb²(y), des param`etresµ,α<sub>1</sub>, . . . ,α<sub>I</sub>,σ<sup>2</sup><sub>B|A</sub>,σ<sup>2</sup> du mod`ele se d´eduisent des formules ci-dessus :

µ(y) =b y•,•,• =y, αb_i(y) =yi,•,•−bµ(y), 16i6I, σd_B|A² (y) = 1

K s²_B|A−s²_R ,

σb²(y) = sc_R

(I−1)(J−1) =s²_R.

Dans le document Quelques mod`eles d’analyse de la variance. (Page 38-47)