Mod` eles ` a effets mixtes

4.3.1. Sans r´ep´etition

Un facteur contrˆol´e A se pr´esente sous I modalit´es, chacune d’entre elles ´etant not´eeAi. Les β_j repr´esentent un ´echantillon de taille J pr´elev´e dans une population importante.

Nous admettrons que les effets des B_j, les β_j, sont distribu´es suivant une loi normale centr´ee de variance σ²_B. Pour chacun des couples de modalit´es (Ai, Bj) on effectue une mesure d’une r´eponse Y qui est une variable continue. On note n=I×J le nombre total de mesures ayant ´et´e effectu´ees.

On introduit le mod`ele :

Y_i,j =µ+α_i+β_j+_i,j, i= 1. . . I, j = 1. . . J, avec les contraintes suppl´ementaires

I

X

i=1

α_i = 0,

o`uY_i,j est la valeur prise par la r´eponse Y dans les conditions (A_i, B_j). On suppose que : L(β_j) = N(0, σ_B²), ∀ j,16j 6J,

ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoires :

Cov(β_i, β_j) = 0 sii6=j et 16i, j 6J.

On postule les hypoth`eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j),16i6I, 16j 6J, L(_i,j) = N(0, σ²),

Cov(_i,j, _k,l) = 0 si (i, j)6= (k, l) avec 16i, k6I et 16j, l 6J, ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoires et des erreurs :

Cov(βi, j,k) = 0 si 16j 6I et 16i, k 6J.

On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod`ele sont bien remplies, l’´etude de leur v´erification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On utilise les quantit´esSC_A, SC_B, SC_R, SC_{T OT}, sc_A, sc_B, sc_R etsc_{T OT} introduites `a la section 4.1.1.

On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA : SC_{T OT} =SC_A+SC_B+SC_R.

On introduit les d´egres de libert´e (Ddl) associ´es `a chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Source Degr´es de libert´e Facteur A n_A=I−1 Facteur B n_B=J−1 R´esiduelle n_R = (I−1)(J−1) Totale n_{T OT} =IJ−1

On r´esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carr´e Moyen F D´ecision FacteurA sc_A n_A s²_A= sc_A

n_A f_A = s²_A

s²_R H⁰0 ouH⁰1

FacteurB sc_B n_B s²_B = sc_B nB

f_B = s²_B

s²_R H0⁰⁰ ouH⁰⁰1

R´esiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R nR

Totale sc_{T OT} n_{T OT}

On souhaite faire les tests d’hypoth`ese suivants :

H⁰0 : α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0 contre

H⁰₁ : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i0 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup><sub>0</sub> pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fA est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `a I−1 et (I−1)(J −1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuilαdu test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur fA est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

Lorsque l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup>0 est rejet´ee on peut proc´eder `a des comparaisons multiples des diff´erents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

H₀⁰⁰ : σ_B² = 0 contre H⁰⁰1 : σ²_B 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulleH0<sup>00</sup> pr´ec´edente d’absence d’effet du facteurB et lorsque les condi-tions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, f_B est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aJ −1 et (I−1)(J−1) degr´es de libert´e.

Les estimateurs bµ, cα1, . . . , cαI, σc_B², σb² des param`etres µ, α1, . . . , αI, σ<sub>B</sub><sup>2</sup>, σ<sup>2</sup> du mod`ele sont donn´es par les formules suivantes :

bµ=Y•,•,• =Y , αb_i =Yi,•,•−µ,b 16i6I, σc²_B = 1

I S_B² −S_R² σb² = SC_R

(I−1)(J −1) =S_R², o`u S_B² = SCB

n_B etS_R² = SCR

n_R . Ce sont des estimateurs sans biais.

Les estimations, obtenues pour la liste de donn´ees y et not´ees bµ(y), cα₁(y), . . . , αc_I(y), σc_B²(y), σb²(y), des param`etres µ, α<sub>1</sub>, . . . , α<sub>I</sub>,σ<sub>B</sub><sup>2</sup>, σ<sup>2</sup> du mod`ele se d´eduisent des formules ci-dessus :

µb=y•,•,• =y, αb_i =yi,•,•−µ,b 16i6I, σc²_B = 1

I s²_B−s²_AB σb² = sc_R

(I−1)(J −1) =s²_R.

4.3.2. Avec r´ep´etitions

Un facteur contrˆol´e A se pr´esente sous I modalit´es, chacune d’entre elles ´etant not´eeAi. Les β_j repr´esentent un ´echantillon de taille J pr´elev´e dans une population importante.

Nous admettrons que les effets des B_j, les β_j, sont distribu´es suivant une loi normale centr´ee de variance σ²_B. Pour chacun des couples de modalit´es (Ai, Bj) on effectue K >2 mesures d’une r´eponse Y qui est une variable continue. On noten=I×J×K le nombre total de mesures ayant ´et´e effectu´ees.

On introduit le mod`ele :

Y_i,j,k =µ+α_i+β_j + (αβ)_i,j +_i,j,k, i= 1. . . I, j= 1. . . J, k= 1. . . K avec les contraintes suppl´ementaires

I

X

i=1

α_i = 0,

I

X

i=1

(αβ)_i,j = 0, ∀j ∈ {1, . . . , J},

o`u Y<sub>i,j,k</sub> est la valeur prise par la r´eponse Y dans les conditions (A<sub>i</sub>, B<sub>j</sub>) lors du k−`eme essai. On suppose que

L(β_j) =N(0, σ²_B), ∀ j,16j 6J,

L((αβ)_i,j) = N(0, σ_AB² ), ∀ (i, j),16i6I, 16j 6J, ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoires :

Cov(β_i, β_j) = 0 si i6=j et 16i, j 6J,

Cov((αβ)_i,j,(αβ)_k,l) = 0 si (i, j)6= (k, l) avec 16i, k6I et 1 6j, l6J, Cov(β_i,(αβ)_j,k) = 0 si 16j 6I et 1 6i, k6J.

On postule les hypoth`eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k6K, L(_i,j,k) = N(0, σ²), et Cov(_i,j,k, _l,m,n) = 0 si (i, j, k)6= (l, m, n) avec

16i, l 6I, 16j, m6J et 16k, n6K, ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoires et des erreurs :

Cov(β_i, _j,k,l) = 0 si 16j 6I,16i, k 6J, et 16l 6K, Cov((αβ)_i,j, _k,l,m) = 0 si 16i, k6I,16j, l 6J, et 16m6K.

On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod`ele sont bien remplies, l’´etude de leur v´erification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On utilise les quantit´es SC_A, SC_B, SC_AB, SC_R, SC_{T OT}, sc_A, sc_B, sc_AB, sc_R et sc_{T OT} introduites `a la section 4.1.2.

On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :

SC_{T OT} =SC_A+SC_B+SC_AB+SC_R.

On introduit les d´egres de libert´e (Ddl) associ´es `a chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Source Degr´es de libert´e

FacteurA n_A=I−1

FacteurB n_B =J−1

InteractionAB n_AB = (I−1)(J −1) R´esiduelle n_R=IJ(K −1) Totale n_{T OT} =IJ K −1

On r´esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carr´e Moyen F D´ecision Facteur A sc_A n_A s²_A = sc_A

nA

f_A= s²_A

s²_AB H⁰0 ouH1⁰

Facteur B sc_B n_B s²_B = scB

n_B f_B = s²_B

s²_R H⁰⁰0 ouH1⁰⁰

Interaction sc_AB n_AB s²_AB = sc_AB

n_AB f_AB = s²_AB

s²_R H⁰⁰⁰0 ouH1⁰⁰⁰

R´esiduelle sc_R n_R s²_R = sc_R n_R

Totale sc_{T OT} n_{T OT}

On souhaite faire les tests d’hypoth`ese suivants :

H⁰0 : α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0 contre

H⁰₁ : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i0 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup><sub>0</sub> pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fA est la r´ealisation d’une variable al´eatoire

qui suit une loi de Fisher `aI−1 et IJ(K−1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur f<sub>A</sub> est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

Lorsque l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup>0 est rejet´ee on peut proc´eder `a des comparaisons multiples des diff´erents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

H0⁰⁰ : σ_B² = 0 contre H⁰⁰₁ : σ²_B 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulleH0<sup>00</sup> pr´ec´edente d’absence d’effet du facteurB et lorsque les condi-tions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, f_B est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aJ −1 et IJ(K−1) degr´es de libert´e.

H⁰⁰⁰0 : σ_AB² = 0 contre H1⁰⁰⁰ : σ²_AB 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulleH<sup>000</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet de l’interaction entre les facteursA etB et lorsque les conditions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fAB est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `a (I−1)(J−1) etIJ(K−1) degr´es de libert´e.

Les estimateurs µ,b cα₁, . . . , cα_I,σc_B², σd²_AB, σb² des param`etresµ,α<sub>1</sub>, . . . ,α<sub>I</sub>, σ<sup>2</sup><sub>B</sub>,σ<sub>AB</sub><sup>2</sup> , σ<sup>2</sup> du mod`ele sont donn´es par les formules suivantes :

bµ=Y•,• =Y , αb_i =Yi,•−µ,b 16i6I, σc²_B= 1

IK S_B² −S_R² σd²_AB = 1

K S_AB² −S_R² σb² = SC_R

(I−1)(J−1) =S_R², o`u S_B² = SC_B

n_B , S_AB² = SC_AB

n_AB etS_R² = SC_R n_R . Ce sont des estimateurs sans biais.

Les estimations, obtenues pour la liste de donn´ees y et not´ees bµ(y), cα₁(y), . . . , αc_I(y), σc_B²(y),σd_AB² (y),σb²(y), des param`etres µ, α<sub>1</sub>, . . . ,α<sub>I</sub>, σ<sup>2</sup><sub>B</sub>,σ<sub>AB</sub><sup>2</sup> , σ<sup>2</sup> du mod`ele se d´eduisent des formules ci-dessus :

µ(y) =b y•,• =y, αb_i(y) =yi,•−bµ(y), 16i6I, σc_B²(y) = 1

IK s²_B−s²_R σd_AB² (y) = 1

K s²_AB−s²_R σb²(y) = sc_R

(I−1)(J−1) =s²_R.

Dans le document Quelques mod`eles d’analyse de la variance. (Page 31-37)