Quelques mod`eles d’analyse de la variance.
11. Notations
1.1. La notation synth´ etique d’un total : application aux effectifs
On consid` ere un tableau de donn´ ees provenant de r´ esultats exp´ erimentaux effectu´ es dans certaines conditions symbolis´ ees par un ou plusieurs indices. Ces exp´ eriences peuvent ˆ etre r´ ep´ et´ ees ou non en fonction des indices que l’on consid` ere, chacune des cases du tableau comportant ainsi une ou plusieurs donn´ ees. On note l’effectif de chaque case du tableau en rempla¸cant y par n et en conservant les indices associ´ es ` a y. La somme des effectifs suivant l’un des indices est not´ ee en rempla¸cant cet indice par le symbole +. On adopte cette notation, classique en statistique, pour all´ eger et uniformiser les notations. Ainsi par exemple, dans les cas o` u nos donn´ ees sont index´ ees par un, deux ou trois indices, on obtient les notations ci-dessous.
1. On a observ´ e n valeurs de la variable Y . Chacune d’entre elle correspond ` a un r´ esultat exp´ erimental effectu´ e dans la condition i, 1 6 i 6 I. On construit donc un tableau comportant I lignes. L’effectif de chaque case du tableau est alors not´ e n
i, l’effectif total n
+est ´ evidemment donn´ e par la formule :
n
+=
I
X
i=1
n
i.
Bien entendu on a n
+= n.
2. On a observ´ e n valeurs de la variable Y que l’on regroupe en fonction des valeurs des deux indices i, 1 6 i 6 I, et j, 1 6 j 6 J, associ´ es aux conditions exp´ erimentales.
On construit ainsi un tableau ` a I lignes et J colonnes.
– L’effectif de la case (i, j) du tableau, situ´ ee ` a l’intersection de la i−` eme ligne et de la j−` eme colonne est alors not´ e n
i,j.
– La somme des effectifs par rapport ` a l’indice i, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans la colonne j du tableau, est not´ ee n
+,j.
n
+,j=
I
X
i=1
n
i,j.
1Les r´ef´erences [3], [4], [7], [5], [8], [11] ayant servi `a l’´elaboration de ce document sont mentionn´ees dans la bibliographie.
– La somme des effectifs par rapport ` a l’indice j, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans la ligne i du tableau, est not´ ee n
i,+.
n
i,+=
J
X
j=1
n
i,j.
– La somme des effectifs par rapport aux indices i et j, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans le tableau, est not´ ee n
+,+.
n
+,+=
I
X
i=1 J
X
j=1
n
i,j.
Bien entendu on a n
+,+= n.
2. On a observ´ e n valeurs de la variable Y que l’on regroupe en fonction des valeurs des trois indices i, 1 6 i 6 I, j, 1 6 j 6 J , et k, 1 6 k 6 K, associ´ es aux conditions exp´ erimentales. On construit ainsi un multitableau ` a I lignes, J colonnes et une profondeur de K.
– L’effectif de la case (i, j, k) du multitableau, situ´ ee ` a l’intersection de la i−` eme ligne et de la j−` eme colonne ` a la profondeur k est alors not´ e n
i,j,k.
– La somme des effectifs par rapport ` a l’indice i, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans la colonne j ` a la profondeur k du multitableau, est not´ ee n
+,j,k.
n
+,j,k=
I
X
i=1
n
i,j,k.
– La somme des effectifs par rapport ` a l’indice j, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans la ligne i ` a la profondeur k du multitableau, est not´ ee n
i,+,k.
n
i,+,k=
J
X
j=1
n
i,j,k.
– La somme des effectifs par rapport ` a l’indice i, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans les cases transversales, c’est-` a-dire sur toute la profondeur du tableau, situ´ ees aux intersections de la ligne i et de la colonne j du multitableau, est not´ ee n
i,j,+.
n
i,j,+=
K
X
k=1
n
i,j,k.
– La somme des effectifs par rapport aux indices i et j, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans la tranche de profondeur k du multitableau, est not´ ee n
+,+,k.
n
+,+,k=
I
X
i=1 J
X
j=1
n
i,j,k.
– La somme des effectifs par rapport aux indices i et k, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans la tranche verticale de position j du multitableau, est not´ ee n
+,j,+.
n
+,j,+=
I
X
i=1 K
X
k=1
n
i,j,k.
– La somme des effectifs par rapport aux indices j et k, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans la tranche horizontale de position i du multitableau, est not´ ee n
i,+,+.
n
i,+,+=
J
X
j=1 K
X
k=1
n
i,j,k.
– La somme des effectifs par rapport aux indices i, j et k, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans le tableau, est not´ ee n
+,+,+.
n
+,+,+=
I
X
i=1 J
X
j=1 K
X
k=1
n
i,j.
Bien entendu on a n
+,+,+= n.
On peut bien sˆ ur g´ en´ eraliser cette notation lorsque l’on consid` ere plus de trois indices.
1.2. La notation synth´ etique d’une moyenne
Lorsque l’on dispose d’un tableau de donn´ ees index´ ees par un ou plusieurs indices on note la moyenne par rapport ` a l’un de ces indices en le rempla¸cant par le symbole •. On adopte cette notation, classique en statistique, pour all´ eger et uniformiser les notations.
Ainsi par exemple, dans les cas o` u nos donn´ ees sont index´ ees par un, deux ou trois indices, on obtient les notations ci-dessous.
1. On a observ´ e n = I valeurs de la variable Y index´ ee par un indice i, not´ ees y
1, . . . , y
n. La moyenne de ces valeurs y
1, . . . , y
npar rapport ` a l’indice i est donc not´ ee y
•. Dans ce cas il s’agit simplement de la moyenne y :
y
•= 1 I
I
X
i=1
y
i= 1 I y
+.
2. On a observ´ e n = I × J valeurs de la variable Y index´ ee par deux indices i et j , not´ ees y
1,1, . . . , y
1,J, y
2,1, . . . , y
2,J,. . .,y
I,J, . . . , y
I,J.
– La moyenne de ces valeurs y
1,1, . . . , y
I,Jpar rapport ` a l’indice i est not´ ee y
•,j. Il s’agit simplement de la moyenne y
jdes valeurs de la j−` eme colonne du tableau :
y
•,j= 1 I
I
X
i=1
y
i,j= 1
I y
+,j.
– La moyenne de ces valeurs y
1,1, . . . , y
I,Jpar rapport ` a l’indice j est not´ ee y
i,•. Il s’agit simplement de la moyenne y
ides valeurs de la i−` eme ligne :
y
i,•= 1 J
J
X
j=1
y
i,j= 1 J y
i,+.
– La moyenne de ces valeurs y
1,1, . . . , y
I,Jpar rapport aux indices i et j est not´ ee y
•,•. Il s’agit simplement de la moyenne y, parfois aussi appel´ ee grande moyenne du tableau :
y
•,•= 1 IJ
I
X
i=1 J
X
j=1
y
i,j= 1 IJ y
+,+.
3. On a observ´ e n = I ×J ×K valeurs de la variable Y index´ ee par trois indices i, j et k, not´ ees y
1,1,1, . . . , y
1,1,K, y
2,1,1, . . . , y
2,1,K, . . .,y
I,1,1, . . . , y
I,1,K, . . . , y
1,2,1, . . . , y
1,2,K, . . ., y
I,J,1, . . . , y
I,J,K.
– La moyenne de ces valeurs y
1,1,1, . . . , y
I,J,Kpar rapport ` a l’indice i est not´ ee y
•,j,k: y
•,j,k= 1
I
I
X
i=1
y
i,j,k= 1 I y
+,j,k.
– La moyenne de ces valeurs y
1,1,1, . . . , y
I,J,Kpar rapport ` a l’indice j est not´ ee y
i,•,k: y
i,•,k= 1
J
J
X
j=1
y
i,j,k= 1 J y
i,+,k.
– La moyenne de ces valeurs y
1,1,1, . . . , y
I,J,Kpar rapport ` a l’indice k est not´ ee y
i,j,•: y
i,j,•= 1
K
K
X
k=1
y
i,j,k= 1 K y
i,j,+.
– La moyenne de ces valeurs y
1,1,1, . . . , y
I,J,Kpar rapport aux indices i et j est not´ ee y
•,•,k:
y
•,•,k= 1 IJ
I
X
i=1 J
X
j=1
y
i,j,k= 1
IJ y
+,+,k.
– La moyenne de ces valeurs y
1,1,1, . . . , y
I,J,Kpar rapport aux indices i et k est not´ ee y
•,j,•:
y
•,j,•= 1 IK
I
X
i=1 K
X
k=1
y
i,j,k= 1
IK y
+,j,+.
– La moyenne de ces valeurs y
1,1,1, . . . , y
I,J,Kpar rapport aux indices j et k est not´ ee y
i,•,•:
y
i,•,•= 1 J K
J
X
j=1 K
X
k=1
y
i,j,k= 1
J K y
i,+,+.
– La moyenne de ces valeurs y
1,1,1, . . . , y
I,J,Kpar rapport aux indices i, j et k, est not´ ee y
•,•,•. Il s’agit simplement de la moyenne y, parfois aussi appel´ ee grande moyenne du tableau :
y
•,•,•= 1 IJ K
I
X
i=1 J
X
j=1 K
X
k=1
y
i,j,k= 1
IJ K y
+,+,+.
On ´ etend cette notation ` a la situation o` u les valeurs que la variable Y va prendre ne sont pas encore connues, c’est-` a-dire lorsque l’on remplace les nombres y
i, y
i,jou y
i,j,kpar les variables al´ eatoires Y
i, Y
i,jou Y
i,j,k. Ceci permettra d’obtenir des formules simples pour les estimateurs des param` etres des mod` eles ´ etudi´ es par la suite.
On peut bien sˆ ur g´ en´ eraliser cette notation lorsque les valeurs prises par la variable Y d´ ependent de plus de trois indices.
2. Introduction
2.1. Un peu de vocabulaire
i. On appelle r´ eponse une variable dont on cherche ` a comprendre le comportement.
On consid` erera dans le cadre de ce cours des r´ eponses quantitatives continues. Une r´ eponse est g´ en´ eralement not´ ee Y et c’est le cas syst´ ematiquement dans la suite.
ii. On appelle facteur toute variable dont on veut se servir pour analyser les variations de la r´ eponse. On note g´ en´ eralement les facteurs par des lettres romaines majuscules A, B, . . .. Dans le contexte de l’analyse de la variance tous les facteurs sont consid´ er´ es comme des variables qualitatives. Les niveaux ou modalit´ es d’un facteur sont not´ es en indi¸cant la majuscule romaine associ´ ee au facteur : A
1, . . ., A
Io` u I d´ esigne le nombre total de modalit´ es du facteur A. Pour l’analyse d’une r´ eponse ` a l’aide de variables quantitatives on utilisera des techniques de r´ egression, lin´ eaire ou non, et pour l’analyse d’une r´ eponse ` a l’aide d’un m´ elange de variables quantitatives et qualitatives on pourra se servir de l’analyse de la covariance.
iii. Un mod` ele statistique est une ´ equation reliant les diff´ erentes mesures Y
i,j,...de
la r´ eponse Y aux effets des niveaux A
1, . . . , A
I, B
1, . . . , B
J, . . . des facteurs A, B ,
. . . pour lesquels ont ´ et´ e r´ ealis´ es ces diff´ erentes mesures au travers d’une relation
fonctionnelle f et tout en mod´ elisant les fluctuations exp´ erimentales ` a l’aide de variables al´ eatoires d’erreur g´ en´ eralement not´ ee
i,j,...sur lesquelles on fait porter certaines hypoth` eses :
Y
i,j,...= f (A
i, B
j, . . .) +
i,j,....
iv. Les mod` eles associ´ es ` a l’analyse de la variance ont une forme particuli` ere : ce sont des mod` eles lin´ eaires. Dans le cas la relation fonctionnelle f s’´ ecrit simplement comme une somme de diff´ erents termes. Ainsi on souhaite par exemple ´ etudier une r´ eponse continue Y ` a l’aide d’un facteur qualitatif A ` a effets fixes, un nombre identique J de r´ ep´ etitions ayant ´ et´ e effectu´ ees pour chacun des niveaux du facteur.
On introduit le mod` ele :
Y
i,j= µ + α
i+
i,j, i = 1 . . . I, j = 1 . . . J, avec la contrainte suppl´ ementaire
I
X
i=1
α
i= 0,
o` u Y
i,jest la valeur prise par la r´ eponse Y dans la condition A
ilors de la j−` eme r´ ep´ etition. On postule les hypoth` eses classiques suivantes pour les erreurs :
∀ (i, j), 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J, L (
i,j) = N (0, σ
2),
Cov(
i,j,
k,l) = 0 si (i, j) 6= (k, l) avec 1 6 i, k 6 I, et 1 6 j, l 6 J.
Les µ, α
1, . . . , α
Isont donc des termes du mod` ele. On dit parfois que
i,jest le terme d’erreur dans le mod` ele.
On remarque que les hypoth` eses faites sur les termes d’erreur
i,jfont partie int´ e- grante de la d´ efiniton du mod` ele. Ceci explique le soin particulier que l’on doit avoir pour v´ erifier que les conditions d’utilisation des mod` eles sont bien remplies, la validit´ e des conclusions obtenues ` a l’aide du mod` ele d´ ependant fortement de son utilisation opportune ou non.
v. En fonction du type d’effet auquel les termes du mod` ele sont associ´ es, ces termes ont un nom diff´ erent.
• Un terme associ´ e ` a l’effet direct d’un des facteurs du mod` ele est appel´ e effet principal, on le note g´ en´ eralement par la lettre grecque minuscule associ´ ee ` a la majuscule romaine d´ esignant le facteur, par exemple pour le facteur A on notera α
il’effet du niveau A
i, pour 1 6 i 6 I.
• L’ensemble des termes associ´ es aux effets de l’interaction de deux des facteurs du
mod` ele est appel´ e interaction d’ordre 1. On les note g´ en´ eralement par les lettres
grecques minuscules mises entre parenth` eses associ´ ees aux majuscules romaines
d´ esignant les deux facteurs dont on ´ etudie l’interaction et indic´ ees par les niveaux
des deux facteurs. Par exemple si l’interaction d’ordre 2 met en jeu les facteurs
A et B, on note les termes associ´ es ` a ces effets par (αβ )
1,1, (αβ)
1,2, . . . , (αβ)
1,I,
. . . (αβ)
2,1, . . . (αβ)
i,j, . . . (αβ )
I,Jpour 1 6 i 6 I et 1 6 j 6 J .
• Plus g´ en´ eralement l’ensemble des termes associ´ es aux effets de l’interaction de k des facteurs du mod` ele, k > 2, est appel´ e interaction d’ordre k − 1. On les note g´ en´ eralement par les lettres grecques minuscules mises entre parenth` eses associ´ ees aux majuscules romaines d´ esignant les k facteurs dont on ´ etudie l’interaction et indic´ ees par les niveaux de ces k facteurs. Par exemple (αβγ)
i,j,kpour l’interaction d’ordre k − 1 entre les facteurs A, B et C.
Ainsi on souhaite par exemple ´ etudier une r´ eponse continue Y ` a l’aide de trois facteurs qualitatifs ` a effets fixes A, B et C pour lesquels on a fait un nombre de r´ ep´ etitions identiques, not´ e K, pour chaque combinaison des niveaux des trois facteurs. Le facteur A a I modalit´ es, le facteur B a J modalit´ es et le facteur C a K modalit´ es.
On introduit le mod` ele :
Y
i,j,k,l= µ + α
i+ β
j+ γ
k+ (αβ )
i,j+ (αγ )
i,k+ (βγ)
j,k+ (αβγ)
i,j,k+
i,j,k,l, i = 1 . . . I, j = 1 . . . J, k = 1 . . . K, l = 1 . . . L,
avec les contraintes suppl´ ementaires
I
X
i=1
α
i= 0,
J
X
j=1
β
j= 0 et
K
X
k=1
γ
k= 0,
I
X
i=1
(αβ)
i,j= 0, ∀j ∈ {1, . . . , J } et
J
X
j=1
(αβ)
i,j= 0, ∀i ∈ {1, . . . , I } ,
I
X
i=1
(αγ )
i,k= 0, ∀k ∈ {1, . . . , K } et
K
X
k=1
(αγ)
i,k= 0, ∀i ∈ {1, . . . , I } ,
J
X
j=1
(βγ)
j,k= 0, ∀k ∈ {1, . . . , K } et
K
X
k=1
(βγ)
j,k= 0, ∀j ∈ {1, . . . , J } ,
I
X
i=1
(αβγ )
i,j,k= 0, ∀(j, k) ∈ {1, . . . , J } × {1, . . . , K } ,
J
X
j=1
(αβγ)
i,j,k= 0, ∀(i, k) ∈ {1, . . . , I } × {1, . . . , K} ,
K
X
k=1
(αβγ)
i,j,k= 0, ∀(i, j) ∈ {1, . . . , I} × {1, . . . , J} ,
o` u Y
i,j,k,lest la valeur prise par la r´ eponse Y dans la condition (A
i, B
j, C
k) lors de la l−` eme r´ ep´ etition. On postule les hypoth` eses classiques suivantes pour les erreurs :
∀ (i, j, k, l), 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J, 1 6 k 6 K, 1 6 l 6 L, L (
i,j,k,l) = N (0, σ
2), Cov(
i,j,k,l,
m,n,o,p) = 0 si (i, j, k, l) 6= (m, n, o, p)
avec 1 6 i, m 6 I, 1 6 j, n 6 J, 1 6 k, o 6 K et 1 6 l, p 6 L.
Les termes α
i, β
jet γ
ksont donc les effets principaux associ´ es aux trois facteurs A, B et C. Les termes (αβ)
i,jsont associ´ es aux interactions d’ordre 2 entre les facteurs A et B , les termes (αγ )
i,ksont associ´ es aux interactions d’ordre 2 entre les facteurs A et C, les termes (βγ)
j,ksont associ´ es aux interactions d’ordre 2 entre les facteurs B et C, les termes (αβγ)
i,j,ksont associ´ es ` a l’interaction d’ordre 3 entre les facteurs A, B et C.
On remarque qu’` a nouveau les hypoth` eses faites sur les termes d’erreur
i,j,k,lfont partie int´ egrante de la d´ efiniton du mod` ele. Ceci explique le soin particulier que l’on doit avoir pour v´ erifier que les conditions d’utilisation des mod` eles sont bien remplies, la validit´ e des conclusions obtenues ` a l’aide du mod` ele d´ ependant fortement de son utilisation opportune ou non.
• Dans certaines situations particuli` eres, celles o` u l’un ou plusieurs des facteurs sont dits emboˆıt´ es dans un autre facteur, on introduira d’autres notations qui seront d´ ecrites ` a la section 5 et ` a la section 7.
2.2. Plans ´ equilibr´ es, plans d´ es´ equilibr´ es
De mani` ere g´ en´ erale, tout dispositif exp´ erimental comportant au moins un facteur et com- portant un nombre identique de r´ ep´ etitions dans chacune des modalit´ es des facteurs est un plan ´ equilibr´ e. Dans la suite on appelera plan ´ equilibr´ e tout plan v´ erifiant cette condition.
2Pour de multiples raisons on conseille, lors de la phase de planification exp´ erimentale, de pr´ evoir d’utiliser des plans ´ equilibr´ es pour l’analyse des effets ou des interactions d’un ou plusieurs facteurs qualitatifs sur une r´ eponse exp´ erimentale mod´ elis´ ee par une variable continue. En particulier dans le cas o` u le plan est ´ equilibr´ e :
1. Les estimations des param` etres d’un mod` ele o` u les facteurs sont ` a effets fixes seront faciles ` a calculer puisque l’on est dans une situation que l’on d´ enomme en statistique par plan d’exp´ erience orthogonal. Concr` etement ceci signifie que pour estimer l’effet d’un des termes du mod` ele, il n’est pas n´ ecessaire d’estimer les effets des autres termes du mod` ele. Ceci se traduit dans les formules par le fait que l’estimation des effets des termes du mod` ele se fait comme si le mod` ele ne comportait pas d’autres termes que celui que l’on cherche ` a estimer.
2. Lorsque l’on ne dispose d’aucune information a priori sur les possibles r´ esultats de l’exp´ erience, la situation la plus propice ` a mettre en ´ evidence une diff´ erence, si elle
2Cette condition est plus restrictive que celle que l’on peut d´efinir plus g´en´eralement en statistique pour ´etudier des mod`eles d’analyse de la variance. On peut aussi facilement traiter le cas o`u le plan est d´es´equilibr´e mais `a effectifs proportionnels. Par exemple, dans le cas o`u l’on consid`ere deux facteurs, un dispositif exp´erimental d´es´equilibr´e `a effectifs proportionnels est tel que :
ni,j=ni,+×n+,j
n+,+
,
o`u les notattionsni,j, ni,+, n+,j et n+,+ ont ´et´e d´efinies au paragraphe 1.1. Cette notion se g´en´eralise directement au cas o`u le plan comporte kfacteurs aveck>2.
existe, entre les diff´ erents effets pour lesquels des tests sont r´ ealis´ es est associ´ ee ` a une r´ epartition des essais o` u le plan ´ equilibr´ e. On renvoie ` a la section 11 pour un expos´ e plus d´ etaill´ e du calcul de la puissance associ´ ee aux diff´ erents tests r´ ealis´ es lors d’une analyse de la variance.
N´ eanmoins il est possible d’utiliser tous les mod` eles expos´ es dans les sections suivantes dans le contexte particulier des plans ´ equilibr´ es lorsqu’en fait le plan est d´ es´ equilibr´ e, c’est-
`
a-dire lorsque le nombre de r´ ep´ etitions varie d’une case ` a l’autre du tableau de donn´ ees. En aucun cas on ne supprimera des observations pour se ramener ` a une situation o` u le plan est ´ equilibr´ e. Il y a deux faits qu’il faut absolument avoir ` a l’esprit lorsque l’on se sert de ce type de mod` eles, donc pour lesquels le plan est d´ es´ equilibr´ e.
1. D’une part, l’estimation des effets des diff´ erents niveaux des facteurs ou de leurs interactions n’est plus aussi simple que pr´ ec´ edemment,sauf dans le cas d’un mod` ele d’analyse de la variance ` a un facteur ou lorsque le plan est dit ` a effectifs propor- tionnels. En effet, ces estimations ne sont plus ind´ ependantes les unes des autres.
Voir par exemple la situation ´ etudi´ ee dans le paragraphe 12.2.5 o` u l’on insiste sur les diff´ erences qui d´ ecoulent de cette situation. On renvoie ` a [4] pour plus de d´ etails.
2. D’autre part, les lois des statistiques de test que l’on utilise pour tester les diff´ erentes hypoth` eses pr´ esentes dans le tableau de l’analyse de la variance ne sont, dans la majorit´ e des cas, connues qu’approximativement. On renvoie ` a nouveau ` a [4] pour plus de d´ etails.
Dans la suite, on se bornera ` a exposer la th´ eorie de l’analyse de la variance dans le cadre des plans ´ equilibr´ es, c’est-` a-dire dans le cas o` u le nombre de r´ ep´ etitions est constant d’une case ` a l’autre du tableau.
2.3. Risque global associ´ e au tableau de l’analyse de la variance
Lorsque l’on r´ ealise une ´ etude de la significativit´ e des effets de deux ou de plus de facteurs, en s’int´ eressant ou non ` a la significativit´ e de leurs interactions, avec un mod` ele d’analyse de la variance, le tableau de l’analyse de la variance que l’on ´ etudie permet de prendre plusieurs d´ ecisions, chacune associ´ ee au test d’une hypoth` ese nulle. On prend ainsi en fait plusieurs d´ ecisions chacune d’entre elles ´ etant associ´ ees ` a un risque de premi` ere ou de seconde esp` ece. Pour plus de d´ etails sur les m´ ethodes de gestion du risque de premi` ere esp` ece associ´ ee ` a la lecture de tableaux r´ ecapitulatifs de tests statistiques voir le chapitre de cours consacr´ e ` a ce probl` eme.
Exemple 2.1. Analyse de la variance ` a deux facteurs ` a effets fixes, al´ eatoires ou mixtes
et avec r´ ep´ etitions
Pour un expos´ e complet du mod` ele d’analyse de la variance ` a deux facteurs contrˆ ol´ es avec r´ ep´ etitions voir le paragraphe 4.1.2.
Avec un tel mod` ele il est possible de tester trois hypoth` eses nulles, H
00d’absence d’effet du premier facteur, H
000d’absence d’effet du second facteur, H
0000d’absence d’effet de l’in- teraction des deux facteurs. Chacune d’elles peut ˆ etre test´ ee avec un risque diff´ erent, α
0, α
00et α
000. Le risque global α v´ erifiera alors la relation :
α 6 1 − (1 − α
0)(1 − α
00)(1 − α
000) 6 α
0+ α
00+ α
000.
La derni` ere in´ egalit´ e est une application de l’in´ egalit´ e de Bonferonni. Ainsi si l’on veut prendre une d´ ecision associ´ ee ` a un risque global de α = 5 %, on pourra fixer un seuil individuel de α
0= α
00= α
000= 5/3 % ≈ 2, 67 % pour chacun des tests ´ el´ ementaires de chaque hypoth` ese H
00, H
000et H
0000.
L’exemple pr´ ec´ edent met en ´ evidence le fait que, plus le tableau de l’analyse de la va- riance ´ etudi´ e comporte de tests, plus la correction ` a apporter au niveau individuel de significativit´ e de chacun des tests r´ ealis´ es sera importante. Cette correction vise ` a r´ eduire le nombre de faux positifs, effets jug´ es ` a tort comme significatifs, que l’on a d´ etect´ es. Elle est d’autant plus int´ eressante ` a faire que le nombre de tests r´ ealis´ es est important.
Remarque 2.1. La n´ ecessit´ e de l’utilisation de ce type de correction d´ epend de la formu- lation des r´ esultats qui est faite par l’utilisateur. Si celui-ci s’int´ eresse ` a un risque global portant sur l’ensemble des d´ ecisions prises ` a l’aide d’un mod` ele d’analyse de la variance il privil´ egiera une maˆırise du risque global. Si l’utilisateur s’int´ eresse au risque associ´ e ` a chacune des d´ ecisions, il maˆıtrisera le risque individuel associ´ e ` a chacune d’entre elles.
Quoi qu’il advienne il faut savoir que l’on entre dans le domaine de l’analyse de tableaux de r´ esultats. On pourra consulter [8] ou [10] pour plus de pr´ ecisions.
3. Analyse de la variance ` a un facteur
Dans toute cette section, on utilise les notations d´ efinies ` a la section 1.
3.1. Mod` eles ` a effets fixes
Un facteur contrˆ ol´ e A se pr´ esente sous I modalit´ es, chacune d’entre elles ´ etant not´ ee A
i.
Pour chacune des modalit´ es on effectue J > 2 mesures d’une r´ eponse Y qui est une va-
riable continue. On note n = I × J le nombre total de mesures ayant ´ et´ e effectu´ ees.
On introduit le mod` ele :
Y
i,j= µ + α
i+
i,j, i = 1 . . . I, j = 1 . . . J, avec la contrainte suppl´ ementaire
I
X
i=1
α
i= 0,
o` u Y
i,jest la valeur prise par la r´ eponse Y dans la condition A
ilors de la j−` eme r´ ep´ etition.
On postule les hypoth` eses classiques suivantes pour les erreurs :
∀ (i, j), 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J, L (
i,j) = N (0, σ
2),
Cov(
i,j,
k,l) = 0 si (i, j) 6= (k, l) avec 1 6 i, k 6 I, et 1 6 j, l 6 J.
On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod` ele sont bien remplies, l’´ etude de leur v´ erification fera l’objet d’un autre paragraphe.
On regroupe les valeurs que peut prendre la r´ eponse Y dans la condition A
ilors de la j −` eme r´ ep´ etition dans le tableau suivant :
Facteur A Y
A
1Y
1,1, . . . , Y
1,J.. . .. .
A
iY
i,1, . . . , Y
i,J.. . .. .
A
IY
I,1, . . . , Y
I,JOn rappelle que la variation th´ eorique due au facteur A est d´ efinie par : SC
F= J
I
X
i=1
(Y
i,•− Y
•,•)
2. La variation r´ esiduelle th´ eorique est quant ` a elle d´ efinie par :
SC
R=
I
X
i=1 J
X
j=1
(Y
i,j− Y
i,•)
2! .
Enfin la variation totale th´ eorique est ´ egale ` a : SC
T OT=
I
X
i=1 J
X
j=1
(Y
i,j− Y
•,•)
2.
On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA : SC
T OT= SC
F+ SC
R.
La liste y des donn´ ees exp´ erimentales y
1,1, . . . , y
1,J, . . . , y
2,1, . . . , y
2,J, . . . , y
I,Jpermet de construire une r´ ealisation du tableau pr´ ec´ edent :
Facteur A y
A
1y
1,1, . . . , y
1,J.. . .. .
A
iy
i,1, . . . , y
i,J.. . .. .
A
Iy
I,1, . . . , y
I,JLa variation due au facteur A observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est d´ efinie par :
sc
F= J
I
X
i=1
(y
i,•− y
•,•)
2.
La variation r´ esiduelle observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est quant ` a elle d´ efinie par :
sc
R=
I
X
i=1 J
X
j=1
(y
i,j− y
i,•)
2! .
Enfin la variation totale observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est ´ egale ` a :
sc
T OT=
I
X
i=1 J
X
j=1
(y
i,j− y
•,•)
2.
La relation fondamentale de l’ANOVA reste valable lorsqu’elle est ´ evalu´ ee sur la liste de donn´ ees y :
sc
T OT= sc
F+ sc
R.
On r´ esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :
Source Variation Degr´ es de libert´ e Carr´ e Moyen F D´ ecision
Facteur sc
FI − 1 s
2F= sc
FI − 1 f = s
2Fs
2RH
0ou H
1R´ esiduelle sc
Rn − I = I (J − 1) s
2R= sc
Rn − I
Totale sc
T OTn − 1 = IJ − 1
On souhaite faire le test d’hypoth` ese suivant :
H
0: α
1= α
2= · · · = α
I= 0 contre
H
1: Il existe i
0∈ {1, 2, . . . , I} tel que α
i06= 0.
Sous l’hypoth` ese nulle H
0pr´ ec´ edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi- tions de validit´ e du mod` ele sont respect´ ees, f est la r´ ealisation d’une variable al´ eatoire qui suit une loi de Fisher ` a I − 1 et n − I degr´ es de libert´ e. On conclut alors ` a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´ erieure ou ´ egale au seuil α du test, ou ` a l’aide d’une table, rejet si la valeur f est sup´ erieure ou ´ egale ` a la valeur critique issue de la table.
Lorsque l’hypoth` ese nulle H
0est rejet´ ee on peut proc´ eder ` a des comparaisons multiples des diff´ erents effets des niveaux du facteur voir la section 10.
Les estimateurs µ, b c α
1, . . . , α c
I, σ b
2des param` etres µ, α
1, . . . , α
I, σ
2du mod` ele sont donn´ es par les formules suivantes :
µ b = Y
•,•= Y , α b
i= Y
i,•− b µ, 1 6 i 6 I, σ b
2= SC
Rn − I = P
Ii=1
P
Jj=1
(Y
i,j− Y
i,•)
2n − I = S
R2. Ce sont des estimateurs sans biais.
Les estimations, obtenues pour la liste de donn´ ees y et not´ ees b µ(y), c α
1(y), . . . , α c
I(y), σ b
2(y), des param` etres µ, α
1, . . . , α
I, σ
2du mod` ele se d´ eduisent des formules ci-dessus :
µ(y) = b y
•,•= y, α b
i(y) = y
i,•− b µ(y), 1 6 i 6 I, σ b
2(y) = sc
Rn − I = P
Ii=1
P
Jj=1
(y
i,j− y
i,•)
2n − I = s
2R.
3.2. Mod` eles ` a effets al´ eatoires
Dans ce cas les A
irepr´ esentent un ´ echantillon de taille I pr´ elev´ e dans une population importante. Nous admettrons que les effets des A
i, les α
i, sont distribu´ es suivant une loi normale centr´ ee de variance σ
A2. Le mod` ele ne d´ epend plus que de trois param` etres µ, σ
2et σ
A2. Pour chacune des modalit´ es on effectue J > 2 mesures d’une r´ eponse Y qui est une variable continue. On note n = I × J le nombre total de mesures ayant ´ et´ e effectu´ ees.
On introduit le mod` ele :
Y
i,j= µ + α
i+
i,j, i = 1 . . . I, j = 1 . . . J,
o` u Y
i,jest la valeur prise par la r´ eponse Y dans la condition A
ilors de la j−` eme r´ ep´ etition.
On suppose que :
L (α
i) = N (0, σ
A2), ∀ i, 1 6 i 6 I, ainsi que l’ind´ ependance des effets al´ eatoires :
Cov(α
i, α
j) = 0 si i 6= j et 1 6 i, j 6 I.
On postule les hypoth` eses suppl´ ementaires pour les erreurs :
∀ (i, j), 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J, L (
i,j) = N (0, σ
2),
Cov(
i,j,
k,l) = 0 si (i, j) 6= (k, l) avec 1 6 i, k 6 I, et 1 6 j, l 6 J, ainsi que l’ind´ ependance des effets al´ eatoires et des erreurs :
Cov(α
i,
j,k) = 0 si 1 6 i, j 6 I, et 1 6 k 6 J.
On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod` ele sont bien remplies, l’´ etude de leur v´ erification fera l’objet d’un autre paragraphe.
On utilise les quantit´ es SC
F, SC
R, SC
T OT, sc
F, sc
R, sc
T OTintroduites ` a la section 3.1.
On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA : SC
T OT= SC
F+ SC
R.
On r´ esume les informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :
Source Variation Degr´ es de libert´ e Carr´ e Moyen F D´ ecision
Facteur sc
FI − 1 s
2F= sc
FI − 1 f = s
2Fs
2RH
0ou H
1R´ esiduelle sc
Rn − I = I (J − 1) s
2R= sc
Rn − I
Totale sc
T OTn − 1 = IJ − 1
On souhaite faire le test d’hypoth` ese suivant :
H
0: σ
2A= 0 contre H
1: σ
A26= 0.
Sous l’hypoth` ese nulle H
0pr´ ec´ edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi- tions de validit´ e du mod` ele sont respect´ ees, f est la r´ ealisation d’une variable al´ eatoire qui suit une loi de Fisher ` a I − 1 et n − I degr´ es de libert´ e. On conclut alors ` a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´ erieure ou ´ egale au seuil α du test, ou ` a l’aide d’une table, rejet si la valeur f est sup´ erieure ou ´ egale ` a la valeur critique issue de la table.
Les estimateurs µ, b σ c
A2, σ b
2des param` etres µ, σ
2A, σ
2du mod` ele sont donn´ es par les formules suivantes :
µ b = Y
•,•= Y , σ c
A2= 1
J S
F2− S
R2, σ b
2= SC
Rn − I = S
R2, o` u S
F2= SC
FI − 1 et S
R2= SC
Rn − I . Ce sont des estimateurs sans biais.
Les estimations, obtenues pour la liste de donn´ ees y et not´ ees b µ(y), σ c
A2(y), σ b
2(y), des param` etres µ, σ
A2, σ
2du mod` ele se d´ eduisent des formules ci-dessus :
µ(y) = b y
•,•= y, σ c
A2(y) = 1
J s
2F− s
2R, σ b
2(y) = sc
Rn − I = s
2R.
4. Analyse de la variance ` a deux facteurs
Dans toute cette section, on utilise les notations d´ efinies ` a la section 1.
4.1. Mod` eles ` a effets fixes
4.1.1. Sans r´ ep´ etition
Un facteur contrˆ ol´ e A se pr´ esente sous I modalit´ es, chacune d’entre elles ´ etant not´ ee A
i. Un facteur contrˆ ol´ e B se pr´ esente sous J modalit´ es, chacune d’entre elles ´ etant not´ ee B
j. Pour chacun des couples de modalit´ es (A
i, B
j) on effectue une mesure d’une r´ eponse Y qui est une variable continue. On note n = I × J le nombre total de mesures ayant ´ et´ e effectu´ ees.
On introduit le mod` ele :
Y
i,j= µ + α
i+ β
j+
i,j, i = 1 . . . I, j = 1 . . . J, avec les contraintes suppl´ ementaires
I
X
i=1
α
i= 0 et
J
X
j=1
β
j= 0,
o` u Y
i,jest la valeur prise par la r´ eponse Y dans les conditions (A
i, B
j). On postule les hypoth` eses classiques suivantes pour les erreurs :
∀ (i, j), 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J, L (
i,j) = N (0, σ
2),
Cov(
i,j,
k,l) = 0 si (i, j) 6= (k, l) avec 1 6 i, k 6 I et 1 6 j, l 6 J.
On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod` ele sont bien remplies, l’´ etude de leur v´ erification fera l’objet d’un autre paragraphe.
On regroupe les valeurs que peut prendre la r´ eponse Y dans les conditions (A
i, B
j) dans le tableau suivant :
Facteur B
Facteur A B
1. . . B
j. . . B
JA
1Y
1,1. . . Y
1,j. . . Y
1,J.. . .. . .. . .. . .. . .. . A
iY
i,1. . . Y
i,j. . . Y
i,J.. . .. . .. . .. . .. . .. .
A
IY
I,1. . . Y
1,j. . . Y
I,JOn rappelle que la variation th´ eorique due au facteur A est d´ efinie par : SC
A= J
I
X
i=1
(Y
i,•− Y
•,•)
2.
On rappelle que la variation th´ eorique due au facteur B est d´ efinie par : SC
B= I
J
X
j=1
(Y
•,j− Y
•,•)
2. La variation r´ esiduelle th´ eorique est quant ` a elle d´ efinie par :
SC
R=
I
X
i=1 J
X
j=1
(Y
i,j− Y
i,•− Y
•,j+ Y
•,•)
2. Enfin la variation totale th´ eorique est ´ egale ` a :
SC
T OT=
I
X
i=1 J
X
j=1
(Y
i,j− Y
•,•)
2. On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :
SC
T OT= SC
A+ SC
B+ SC
R.
La liste y des donn´ ees exp´ erimentales y
1,1, . . . , y
1,J, . . . , y
2,1, . . . , y
2,J, . . . , y
I,Jpermet de construire une r´ ealisation du tableau pr´ ec´ edent :
Facteur B
Facteur A B
1. . . B
j. . . B
JA
1y
1,1. . . y
1,j. . . y
1,J.. . .. . .. . .. . .. . .. . A
iy
i,1. . . y
i,j. . . y
i,J.. . .. . .. . .. . .. . .. . A
Iy
I,1. . . y
1,j. . . y
I,JLa variation due au facteur A observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est d´ efinie par : sc
A= J
I
X
i=1
(y
i,•− y
•,•)
2.
La variation due au facteur B observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est d´ efinie par :
sc
B= I
J
X
j=1
(y
•,j− y
•,•)
2.
La variation r´ esiduelle observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est quant ` a elle d´ efinie par :
sc
R=
I
X
i=1 J
X
j=1
(y
i,j− y
i,•− y
•,j+ y
•,•)
2.
Enfin la variation totale observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est ´ egale ` a :
sc
T OT=
I
X
i=1 J
X
j=1
(y
i,j− y
•,•)
2.
La relation fondamentale de l’ANOVA reste valable lorsqu’elle est ´ evalu´ ee sur la liste de donn´ ees y :
sc
T OT= sc
A+ sc
B+ sc
R.
On introduit les d´ egres de libert´ e (Ddl) associ´ es ` a chaque ligne du tableau de l’ANOVA :
Source Degr´ es de libert´ e Facteur A n
A= I − 1 Facteur B n
B= J − 1 R´ esiduelle n
R= (I − 1)(J − 1) Totale n
T OT= IJ − 1
On r´ esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :
Source Variation Ddl Carr´ e Moyen F D´ ecision Facteur A sc
An
As
2A= sc
An
Af
A= s
2As
2RH
00ou H
01Facteur B sc
Bn
Bs
2B= sc
Bn
Bf
B= s
2Bs
2RH
000ou H
001R´ esiduelle sc
Rn
Rs
2R= sc
Rn
RTotale sc
T OTn
T OTOn souhaite faire les tests d’hypoth` ese suivants :
H
00: α
1= α
2= · · · = α
I= 0 contre
H
01: Il existe i
0∈ {1, 2, . . . , I} tel que α
i06= 0.
Sous l’hypoth` ese nulle H
00pr´ ec´ edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi- tions de validit´ e du mod` ele sont respect´ ees, f
Aest la r´ ealisation d’une variable al´ eatoire qui suit une loi de Fisher ` a I − 1 et (I − 1)(J − 1) degr´ es de libert´ e. On conclut alors ` a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´ erieure ou ´ egale au seuil α du test, ou ` a l’aide d’une table, rejet si la valeur f
Aest sup´ erieure ou ´ egale ` a la valeur critique issue de la table.
Lorsque l’hypoth` ese nulle H
00est rejet´ ee on peut proc´ eder ` a des comparaisons multiples des diff´ erents effets des niveaux du facteur voir la section 10.
H
000: β
1= β
2= · · · = β
J= 0 contre
H
001: Il existe j
0∈ {1, 2, . . . , J } tel que β
j06= 0.
Sous l’hypoth` ese nulle H
000pr´ ec´ edente d’absence d’effet du facteur B et lorsque les condi-
tions de validit´ e du mod` ele sont respect´ ees, f
Best la r´ ealisation d’une variable al´ eatoire
qui suit une loi de Fisher ` a J − 1 et (I − 1)(J − 1) degr´ es de libert´ e. On conclut alors ` a
l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´ erieure ou ´ egale au seuil α du test, ou ` a l’aide d’une table, rejet si la valeur f
Best sup´ erieure ou ´ egale ` a la valeur critique issue de la table.
Lorsque l’hypoth` ese nulle H
000est rejet´ ee on peut proc´ eder ` a des comparaisons multiples des diff´ erents effets des niveaux du facteur voir la section 10.
Les estimateurs µ, b c α
1, . . . , c α
I, β b
1, . . . , c β
J, σ b
2des param` etres µ, α
1, . . . , α
I, β
1, . . . , β
J, σ
2du mod` ele sont donn´ es par les formules suivantes :
µ b = Y
•,•= Y , α b
i= Y
i,•− µ, b 1 6 i 6 I, β b
j= Y
•,j− µ, b 1 6 j 6 J, σ b
2= SC
R(I − 1)(J − 1) = s
2R. Ce sont des estimateurs sans biais.
Les estimations, obtenues pour la liste de donn´ ees y et not´ ees b µ(y), c α
1(y), . . . , α c
I(y), β b
1(y), . . . , c β
J(y), σ b
2(y), des param` etres µ, α
1, . . . , α
I, β
1, . . . , β
J, σ
2du mod` ele se d´ eduisent des formules ci-dessus :
b µ(y) = y
•,•= y, α b
i(y) = y
i,•− µ(y), b 1 6 i 6 I, β b
j(y) = y
•,j− b µ(y), 1 6 j 6 J, σ b
2(y) = sc
R(I − 1)(J − 1) = s
2R. 4.1.2. Avec r´ ep´ etitions
Un facteur contrˆ ol´ e A se pr´ esente sous I modalit´ es, chacune d’entre elles ´ etant not´ ee A
i. Un facteur contrˆ ol´ e B se pr´ esente sous J modalit´ es, chacune d’entre elles ´ etant not´ ee B
j. Pour chacun des couples de modalit´ es (A
i, B
j) on effectue K > 2 mesures d’une r´ eponse Y qui est une variable continue. On note n = I × J × K le nombre total de mesures ayant
´
et´ e effectu´ ees.
On introduit le mod` ele :
Y
i,j,k= µ + α
i+ β
j+ (αβ )
i,j+
i,j,k, i = 1 . . . I, j = 1 . . . J, k = 1 . . . K avec les contraintes suppl´ ementaires
I
X
i=1
α
i= 0,
J
X
j=1
β
j= 0,
I
X
i=1
(αβ )
i,j= 0, ∀j ∈ {1, . . . , J } et
J
X
j=1
(αβ)
i,j= 0, ∀i ∈ {1, . . . , I} ,
o` u Y
i,j,kest la valeur prise par la r´ eponse Y dans les conditions (A
i, B
j) lors du k−` eme essai. On postule les hypoth` eses classiques suivantes pour les erreurs :
∀ (i, j, k), 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J, 1 6 k 6 K, L (
i,j,k) = N (0, σ
2), et Cov(
i,j,k,
l,m,n) = 0 si (i, j, k) 6= (l, m, n) avec
1 6 i, l 6 I, 1 6 j, m 6 J et 1 6 k, n 6 K.
On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod` ele sont bien remplies, l’´ etude de leur v´ erification fera l’objet d’un autre paragraphe.
On regroupe les valeurs que peut prendre la r´ eponse Y dans les conditions (A
i, B
j) dans le tableau suivant :
Facteur B
Facteur A B
1. . . B
j. . . B
JA
1Y
1,1,1. . . Y
1,1,K. . . Y
1,j,1. . . Y
1,j,K. . . Y
1,J,1. . . Y
1,J,K.. . .. . .. . .. . .. . .. .
A
iY
i,1,1. . . Y
i,1,K. . . Y
i,j,1. . . Y
i,j,K. . . Y
i,J,1. . . Y
i,J,K.. . .. . .. . .. . .. . .. .
A
IY
I,1,1. . . Y
I,1,K. . . Y
1,j,1. . . Y
1,j,K. . . Y
I,J,1. . . Y
I,J,KOn rappelle que la variation th´ eorique due au facteur A est d´ efinie par : SC
A= J
I
X
i=1
(Y
i,•,•− Y
•,•,•)
2.
On rappelle que la variation th´ eorique due au facteur B est d´ efinie par : SC
B= I
J
X
j=1
(Y
•,j,•− Y
•,•,•)
2.
On rappelle que la variation th´ eorique due ` a l’interaction des facteurs A et B est d´ efinie par :
SC
AB= I
J
X
j=1
(Y
i,j,•− Y
i,•,•− Y
•,j,•+ Y
•,•,•)
2. La variation r´ esiduelle th´ eorique est quant ` a elle d´ efinie par :
SC
R=
I
X
i=1 J
X
j=1 K
X
k=1
(Y
i,j,k− Y
i,j,•)
2. Enfin la variation totale th´ eorique est ´ egale ` a :
SC
T OT=
I
X
i=1 J
X
j=1 K
X
k=1
(Y
i,j,k− Y
•,•,•)
2. On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :
SC
T OT= SC
A+ SC
B+ SC
AB+ SC
R.
La liste y des donn´ ees exp´ erimentales y
1,1,1, . . . , y
1,1,K, . . . , y
1,2,1, . . . , y
1,2,K, . . . , y
I,J,Kper- met de construire une r´ ealisation du tableau pr´ ec´ edent :
Facteur B
Facteur A B
1. . . B
j. . . B
JA
1y
1,1,1. . . y
1,1,K. . . y
1,j,1. . . y
1,j,K. . . y
1,J,1. . . y
1,J,K.. . .. . .. . .. . .. . .. .
A
iy
i,1,1. . . y
i,1,K. . . y
i,j,1. . . y
i,j,K. . . y
i,J,1. . . y
i,J,K.. . .. . .. . .. . .. . .. .
A
Iy
I,1,1. . . y
I,1,K. . . y
1,j,1. . . y
1,j,K. . . y
I,J,1. . . y
I,J,KLa variation due au facteur A observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est d´ efinie par : sc
A= J
I
X
i=1
(y
i,•,•− y
•,•,•)
2.
La variation due au facteur B observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est d´ efinie par : sc
B= I
J
X
j=1
(y
•,j,•− y
•,•,•)
2.
La variation due ` a l’interaction des facteurs A et B observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est d´ efinie par :
sc
AB= I
J
X
j=1
(y
i,j,•− y
i,•,•− y
•,j,•+ y
•,•,•)
2.
La variation r´ esiduelle observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est quant ` a elle d´ efinie par : sc
R=
I
X
i=1 J
X
j=1 K
X
k=1
(y
i,j,k− y
i,j,•)
2.
Enfin la variation totale observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est ´ egale ` a : sc
T OT=
I
X
i=1 J
X
j=1 K
X
k=1