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Quelques mod`eles d’analyse de la variance.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Quelques mod`eles d’analyse de la variance.

1

1. Notations

1.1. La notation synth´ etique d’un total : application aux effectifs

On consid` ere un tableau de donn´ ees provenant de r´ esultats exp´ erimentaux effectu´ es dans certaines conditions symbolis´ ees par un ou plusieurs indices. Ces exp´ eriences peuvent ˆ etre r´ ep´ et´ ees ou non en fonction des indices que l’on consid` ere, chacune des cases du tableau comportant ainsi une ou plusieurs donn´ ees. On note l’effectif de chaque case du tableau en rempla¸cant y par n et en conservant les indices associ´ es ` a y. La somme des effectifs suivant l’un des indices est not´ ee en rempla¸cant cet indice par le symbole +. On adopte cette notation, classique en statistique, pour all´ eger et uniformiser les notations. Ainsi par exemple, dans les cas o` u nos donn´ ees sont index´ ees par un, deux ou trois indices, on obtient les notations ci-dessous.

1. On a observ´ e n valeurs de la variable Y . Chacune d’entre elle correspond ` a un r´ esultat exp´ erimental effectu´ e dans la condition i, 1 6 i 6 I. On construit donc un tableau comportant I lignes. L’effectif de chaque case du tableau est alors not´ e n

i

, l’effectif total n

+

est ´ evidemment donn´ e par la formule :

n

+

=

I

X

i=1

n

i

.

Bien entendu on a n

+

= n.

2. On a observ´ e n valeurs de la variable Y que l’on regroupe en fonction des valeurs des deux indices i, 1 6 i 6 I, et j, 1 6 j 6 J, associ´ es aux conditions exp´ erimentales.

On construit ainsi un tableau ` a I lignes et J colonnes.

– L’effectif de la case (i, j) du tableau, situ´ ee ` a l’intersection de la i−` eme ligne et de la j−` eme colonne est alors not´ e n

i,j

.

– La somme des effectifs par rapport ` a l’indice i, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans la colonne j du tableau, est not´ ee n

+,j

.

n

+,j

=

I

X

i=1

n

i,j

.

1Les r´ef´erences [3], [4], [7], [5], [8], [11] ayant servi `a l’´elaboration de ce document sont mentionn´ees dans la bibliographie.

(2)

– La somme des effectifs par rapport ` a l’indice j, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans la ligne i du tableau, est not´ ee n

i,+

.

n

i,+

=

J

X

j=1

n

i,j

.

– La somme des effectifs par rapport aux indices i et j, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans le tableau, est not´ ee n

+,+

.

n

+,+

=

I

X

i=1 J

X

j=1

n

i,j

.

Bien entendu on a n

+,+

= n.

2. On a observ´ e n valeurs de la variable Y que l’on regroupe en fonction des valeurs des trois indices i, 1 6 i 6 I, j, 1 6 j 6 J , et k, 1 6 k 6 K, associ´ es aux conditions exp´ erimentales. On construit ainsi un multitableau ` a I lignes, J colonnes et une profondeur de K.

– L’effectif de la case (i, j, k) du multitableau, situ´ ee ` a l’intersection de la i−` eme ligne et de la j−` eme colonne ` a la profondeur k est alors not´ e n

i,j,k

.

– La somme des effectifs par rapport ` a l’indice i, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans la colonne j ` a la profondeur k du multitableau, est not´ ee n

+,j,k

.

n

+,j,k

=

I

X

i=1

n

i,j,k

.

– La somme des effectifs par rapport ` a l’indice j, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans la ligne i ` a la profondeur k du multitableau, est not´ ee n

i,+,k

.

n

i,+,k

=

J

X

j=1

n

i,j,k

.

– La somme des effectifs par rapport ` a l’indice i, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans les cases transversales, c’est-` a-dire sur toute la profondeur du tableau, situ´ ees aux intersections de la ligne i et de la colonne j du multitableau, est not´ ee n

i,j,+

.

n

i,j,+

=

K

X

k=1

n

i,j,k

.

– La somme des effectifs par rapport aux indices i et j, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans la tranche de profondeur k du multitableau, est not´ ee n

+,+,k

.

n

+,+,k

=

I

X

i=1 J

X

j=1

n

i,j,k

.

(3)

– La somme des effectifs par rapport aux indices i et k, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans la tranche verticale de position j du multitableau, est not´ ee n

+,j,+

.

n

+,j,+

=

I

X

i=1 K

X

k=1

n

i,j,k

.

– La somme des effectifs par rapport aux indices j et k, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans la tranche horizontale de position i du multitableau, est not´ ee n

i,+,+

.

n

i,+,+

=

J

X

j=1 K

X

k=1

n

i,j,k

.

– La somme des effectifs par rapport aux indices i, j et k, c’est-` a-dire le nombre de donn´ ees dans le tableau, est not´ ee n

+,+,+

.

n

+,+,+

=

I

X

i=1 J

X

j=1 K

X

k=1

n

i,j

.

Bien entendu on a n

+,+,+

= n.

On peut bien sˆ ur g´ en´ eraliser cette notation lorsque l’on consid` ere plus de trois indices.

1.2. La notation synth´ etique d’une moyenne

Lorsque l’on dispose d’un tableau de donn´ ees index´ ees par un ou plusieurs indices on note la moyenne par rapport ` a l’un de ces indices en le rempla¸cant par le symbole •. On adopte cette notation, classique en statistique, pour all´ eger et uniformiser les notations.

Ainsi par exemple, dans les cas o` u nos donn´ ees sont index´ ees par un, deux ou trois indices, on obtient les notations ci-dessous.

1. On a observ´ e n = I valeurs de la variable Y index´ ee par un indice i, not´ ees y

1

, . . . , y

n

. La moyenne de ces valeurs y

1

, . . . , y

n

par rapport ` a l’indice i est donc not´ ee y

. Dans ce cas il s’agit simplement de la moyenne y :

y

= 1 I

I

X

i=1

y

i

= 1 I y

+

.

2. On a observ´ e n = I × J valeurs de la variable Y index´ ee par deux indices i et j , not´ ees y

1,1

, . . . , y

1,J

, y

2,1

, . . . , y

2,J

,. . .,y

I,J

, . . . , y

I,J

.

– La moyenne de ces valeurs y

1,1

, . . . , y

I,J

par rapport ` a l’indice i est not´ ee y

•,j

. Il s’agit simplement de la moyenne y

j

des valeurs de la j−` eme colonne du tableau :

y

•,j

= 1 I

I

X

i=1

y

i,j

= 1

I y

+,j

.

(4)

– La moyenne de ces valeurs y

1,1

, . . . , y

I,J

par rapport ` a l’indice j est not´ ee y

i,•

. Il s’agit simplement de la moyenne y

i

des valeurs de la i−` eme ligne :

y

i,•

= 1 J

J

X

j=1

y

i,j

= 1 J y

i,+

.

– La moyenne de ces valeurs y

1,1

, . . . , y

I,J

par rapport aux indices i et j est not´ ee y

•,•

. Il s’agit simplement de la moyenne y, parfois aussi appel´ ee grande moyenne du tableau :

y

•,•

= 1 IJ

I

X

i=1 J

X

j=1

y

i,j

= 1 IJ y

+,+

.

3. On a observ´ e n = I ×J ×K valeurs de la variable Y index´ ee par trois indices i, j et k, not´ ees y

1,1,1

, . . . , y

1,1,K

, y

2,1,1

, . . . , y

2,1,K

, . . .,y

I,1,1

, . . . , y

I,1,K

, . . . , y

1,2,1

, . . . , y

1,2,K

, . . ., y

I,J,1

, . . . , y

I,J,K

.

– La moyenne de ces valeurs y

1,1,1

, . . . , y

I,J,K

par rapport ` a l’indice i est not´ ee y

•,j,k

: y

•,j,k

= 1

I

I

X

i=1

y

i,j,k

= 1 I y

+,j,k

.

– La moyenne de ces valeurs y

1,1,1

, . . . , y

I,J,K

par rapport ` a l’indice j est not´ ee y

i,•,k

: y

i,•,k

= 1

J

J

X

j=1

y

i,j,k

= 1 J y

i,+,k

.

– La moyenne de ces valeurs y

1,1,1

, . . . , y

I,J,K

par rapport ` a l’indice k est not´ ee y

i,j,•

: y

i,j,•

= 1

K

K

X

k=1

y

i,j,k

= 1 K y

i,j,+

.

– La moyenne de ces valeurs y

1,1,1

, . . . , y

I,J,K

par rapport aux indices i et j est not´ ee y

•,•,k

:

y

•,•,k

= 1 IJ

I

X

i=1 J

X

j=1

y

i,j,k

= 1

IJ y

+,+,k

.

– La moyenne de ces valeurs y

1,1,1

, . . . , y

I,J,K

par rapport aux indices i et k est not´ ee y

•,j,•

:

y

•,j,•

= 1 IK

I

X

i=1 K

X

k=1

y

i,j,k

= 1

IK y

+,j,+

.

(5)

– La moyenne de ces valeurs y

1,1,1

, . . . , y

I,J,K

par rapport aux indices j et k est not´ ee y

i,•,•

:

y

i,•,•

= 1 J K

J

X

j=1 K

X

k=1

y

i,j,k

= 1

J K y

i,+,+

.

– La moyenne de ces valeurs y

1,1,1

, . . . , y

I,J,K

par rapport aux indices i, j et k, est not´ ee y

•,•,•

. Il s’agit simplement de la moyenne y, parfois aussi appel´ ee grande moyenne du tableau :

y

•,•,•

= 1 IJ K

I

X

i=1 J

X

j=1 K

X

k=1

y

i,j,k

= 1

IJ K y

+,+,+

.

On ´ etend cette notation ` a la situation o` u les valeurs que la variable Y va prendre ne sont pas encore connues, c’est-` a-dire lorsque l’on remplace les nombres y

i

, y

i,j

ou y

i,j,k

par les variables al´ eatoires Y

i

, Y

i,j

ou Y

i,j,k

. Ceci permettra d’obtenir des formules simples pour les estimateurs des param` etres des mod` eles ´ etudi´ es par la suite.

On peut bien sˆ ur g´ en´ eraliser cette notation lorsque les valeurs prises par la variable Y d´ ependent de plus de trois indices.

2. Introduction

2.1. Un peu de vocabulaire

i. On appelle r´ eponse une variable dont on cherche ` a comprendre le comportement.

On consid` erera dans le cadre de ce cours des r´ eponses quantitatives continues. Une r´ eponse est g´ en´ eralement not´ ee Y et c’est le cas syst´ ematiquement dans la suite.

ii. On appelle facteur toute variable dont on veut se servir pour analyser les variations de la r´ eponse. On note g´ en´ eralement les facteurs par des lettres romaines majuscules A, B, . . .. Dans le contexte de l’analyse de la variance tous les facteurs sont consid´ er´ es comme des variables qualitatives. Les niveaux ou modalit´ es d’un facteur sont not´ es en indi¸cant la majuscule romaine associ´ ee au facteur : A

1

, . . ., A

I

o` u I d´ esigne le nombre total de modalit´ es du facteur A. Pour l’analyse d’une r´ eponse ` a l’aide de variables quantitatives on utilisera des techniques de r´ egression, lin´ eaire ou non, et pour l’analyse d’une r´ eponse ` a l’aide d’un m´ elange de variables quantitatives et qualitatives on pourra se servir de l’analyse de la covariance.

iii. Un mod` ele statistique est une ´ equation reliant les diff´ erentes mesures Y

i,j,...

de

la r´ eponse Y aux effets des niveaux A

1

, . . . , A

I

, B

1

, . . . , B

J

, . . . des facteurs A, B ,

. . . pour lesquels ont ´ et´ e r´ ealis´ es ces diff´ erentes mesures au travers d’une relation

(6)

fonctionnelle f et tout en mod´ elisant les fluctuations exp´ erimentales ` a l’aide de variables al´ eatoires d’erreur g´ en´ eralement not´ ee

i,j,...

sur lesquelles on fait porter certaines hypoth` eses :

Y

i,j,...

= f (A

i

, B

j

, . . .) +

i,j,...

.

iv. Les mod` eles associ´ es ` a l’analyse de la variance ont une forme particuli` ere : ce sont des mod` eles lin´ eaires. Dans le cas la relation fonctionnelle f s’´ ecrit simplement comme une somme de diff´ erents termes. Ainsi on souhaite par exemple ´ etudier une r´ eponse continue Y ` a l’aide d’un facteur qualitatif A ` a effets fixes, un nombre identique J de r´ ep´ etitions ayant ´ et´ e effectu´ ees pour chacun des niveaux du facteur.

On introduit le mod` ele :

Y

i,j

= µ + α

i

+

i,j

, i = 1 . . . I, j = 1 . . . J, avec la contrainte suppl´ ementaire

I

X

i=1

α

i

= 0,

o` u Y

i,j

est la valeur prise par la r´ eponse Y dans la condition A

i

lors de la j−` eme r´ ep´ etition. On postule les hypoth` eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j), 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J, L (

i,j

) = N (0, σ

2

),

Cov(

i,j

,

k,l

) = 0 si (i, j) 6= (k, l) avec 1 6 i, k 6 I, et 1 6 j, l 6 J.

Les µ, α

1

, . . . , α

I

sont donc des termes du mod` ele. On dit parfois que

i,j

est le terme d’erreur dans le mod` ele.

On remarque que les hypoth` eses faites sur les termes d’erreur

i,j

font partie int´ e- grante de la d´ efiniton du mod` ele. Ceci explique le soin particulier que l’on doit avoir pour v´ erifier que les conditions d’utilisation des mod` eles sont bien remplies, la validit´ e des conclusions obtenues ` a l’aide du mod` ele d´ ependant fortement de son utilisation opportune ou non.

v. En fonction du type d’effet auquel les termes du mod` ele sont associ´ es, ces termes ont un nom diff´ erent.

• Un terme associ´ e ` a l’effet direct d’un des facteurs du mod` ele est appel´ e effet principal, on le note g´ en´ eralement par la lettre grecque minuscule associ´ ee ` a la majuscule romaine d´ esignant le facteur, par exemple pour le facteur A on notera α

i

l’effet du niveau A

i

, pour 1 6 i 6 I.

• L’ensemble des termes associ´ es aux effets de l’interaction de deux des facteurs du

mod` ele est appel´ e interaction d’ordre 1. On les note g´ en´ eralement par les lettres

grecques minuscules mises entre parenth` eses associ´ ees aux majuscules romaines

d´ esignant les deux facteurs dont on ´ etudie l’interaction et indic´ ees par les niveaux

des deux facteurs. Par exemple si l’interaction d’ordre 2 met en jeu les facteurs

A et B, on note les termes associ´ es ` a ces effets par (αβ )

1,1

, (αβ)

1,2

, . . . , (αβ)

1,I

,

. . . (αβ)

2,1

, . . . (αβ)

i,j

, . . . (αβ )

I,J

pour 1 6 i 6 I et 1 6 j 6 J .

(7)

• Plus g´ en´ eralement l’ensemble des termes associ´ es aux effets de l’interaction de k des facteurs du mod` ele, k > 2, est appel´ e interaction d’ordre k − 1. On les note g´ en´ eralement par les lettres grecques minuscules mises entre parenth` eses associ´ ees aux majuscules romaines d´ esignant les k facteurs dont on ´ etudie l’interaction et indic´ ees par les niveaux de ces k facteurs. Par exemple (αβγ)

i,j,k

pour l’interaction d’ordre k − 1 entre les facteurs A, B et C.

Ainsi on souhaite par exemple ´ etudier une r´ eponse continue Y ` a l’aide de trois facteurs qualitatifs ` a effets fixes A, B et C pour lesquels on a fait un nombre de r´ ep´ etitions identiques, not´ e K, pour chaque combinaison des niveaux des trois facteurs. Le facteur A a I modalit´ es, le facteur B a J modalit´ es et le facteur C a K modalit´ es.

On introduit le mod` ele :

Y

i,j,k,l

= µ + α

i

+ β

j

+ γ

k

+ (αβ )

i,j

+ (αγ )

i,k

+ (βγ)

j,k

+ (αβγ)

i,j,k

+

i,j,k,l

, i = 1 . . . I, j = 1 . . . J, k = 1 . . . K, l = 1 . . . L,

avec les contraintes suppl´ ementaires

I

X

i=1

α

i

= 0,

J

X

j=1

β

j

= 0 et

K

X

k=1

γ

k

= 0,

I

X

i=1

(αβ)

i,j

= 0, ∀j ∈ {1, . . . , J } et

J

X

j=1

(αβ)

i,j

= 0, ∀i ∈ {1, . . . , I } ,

I

X

i=1

(αγ )

i,k

= 0, ∀k ∈ {1, . . . , K } et

K

X

k=1

(αγ)

i,k

= 0, ∀i ∈ {1, . . . , I } ,

J

X

j=1

(βγ)

j,k

= 0, ∀k ∈ {1, . . . , K } et

K

X

k=1

(βγ)

j,k

= 0, ∀j ∈ {1, . . . , J } ,

I

X

i=1

(αβγ )

i,j,k

= 0, ∀(j, k) ∈ {1, . . . , J } × {1, . . . , K } ,

J

X

j=1

(αβγ)

i,j,k

= 0, ∀(i, k) ∈ {1, . . . , I } × {1, . . . , K} ,

K

X

k=1

(αβγ)

i,j,k

= 0, ∀(i, j) ∈ {1, . . . , I} × {1, . . . , J} ,

o` u Y

i,j,k,l

est la valeur prise par la r´ eponse Y dans la condition (A

i

, B

j

, C

k

) lors de la l−` eme r´ ep´ etition. On postule les hypoth` eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k, l), 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J, 1 6 k 6 K, 1 6 l 6 L, L (

i,j,k,l

) = N (0, σ

2

), Cov(

i,j,k,l

,

m,n,o,p

) = 0 si (i, j, k, l) 6= (m, n, o, p)

avec 1 6 i, m 6 I, 1 6 j, n 6 J, 1 6 k, o 6 K et 1 6 l, p 6 L.

(8)

Les termes α

i

, β

j

et γ

k

sont donc les effets principaux associ´ es aux trois facteurs A, B et C. Les termes (αβ)

i,j

sont associ´ es aux interactions d’ordre 2 entre les facteurs A et B , les termes (αγ )

i,k

sont associ´ es aux interactions d’ordre 2 entre les facteurs A et C, les termes (βγ)

j,k

sont associ´ es aux interactions d’ordre 2 entre les facteurs B et C, les termes (αβγ)

i,j,k

sont associ´ es ` a l’interaction d’ordre 3 entre les facteurs A, B et C.

On remarque qu’` a nouveau les hypoth` eses faites sur les termes d’erreur

i,j,k,l

font partie int´ egrante de la d´ efiniton du mod` ele. Ceci explique le soin particulier que l’on doit avoir pour v´ erifier que les conditions d’utilisation des mod` eles sont bien remplies, la validit´ e des conclusions obtenues ` a l’aide du mod` ele d´ ependant fortement de son utilisation opportune ou non.

• Dans certaines situations particuli` eres, celles o` u l’un ou plusieurs des facteurs sont dits emboˆıt´ es dans un autre facteur, on introduira d’autres notations qui seront d´ ecrites ` a la section 5 et ` a la section 7.

2.2. Plans ´ equilibr´ es, plans d´ es´ equilibr´ es

De mani` ere g´ en´ erale, tout dispositif exp´ erimental comportant au moins un facteur et com- portant un nombre identique de r´ ep´ etitions dans chacune des modalit´ es des facteurs est un plan ´ equilibr´ e. Dans la suite on appelera plan ´ equilibr´ e tout plan v´ erifiant cette condition.

2

Pour de multiples raisons on conseille, lors de la phase de planification exp´ erimentale, de pr´ evoir d’utiliser des plans ´ equilibr´ es pour l’analyse des effets ou des interactions d’un ou plusieurs facteurs qualitatifs sur une r´ eponse exp´ erimentale mod´ elis´ ee par une variable continue. En particulier dans le cas o` u le plan est ´ equilibr´ e :

1. Les estimations des param` etres d’un mod` ele o` u les facteurs sont ` a effets fixes seront faciles ` a calculer puisque l’on est dans une situation que l’on d´ enomme en statistique par plan d’exp´ erience orthogonal. Concr` etement ceci signifie que pour estimer l’effet d’un des termes du mod` ele, il n’est pas n´ ecessaire d’estimer les effets des autres termes du mod` ele. Ceci se traduit dans les formules par le fait que l’estimation des effets des termes du mod` ele se fait comme si le mod` ele ne comportait pas d’autres termes que celui que l’on cherche ` a estimer.

2. Lorsque l’on ne dispose d’aucune information a priori sur les possibles r´ esultats de l’exp´ erience, la situation la plus propice ` a mettre en ´ evidence une diff´ erence, si elle

2Cette condition est plus restrictive que celle que l’on peut d´efinir plus g´en´eralement en statistique pour ´etudier des mod`eles d’analyse de la variance. On peut aussi facilement traiter le cas o`u le plan est d´es´equilibr´e mais `a effectifs proportionnels. Par exemple, dans le cas o`u l’on consid`ere deux facteurs, un dispositif exp´erimental d´es´equilibr´e `a effectifs proportionnels est tel que :

ni,j=ni,+×n+,j

n+,+

,

o`u les notattionsni,j, ni,+, n+,j et n+,+ ont ´et´e d´efinies au paragraphe 1.1. Cette notion se g´en´eralise directement au cas o`u le plan comporte kfacteurs aveck>2.

(9)

existe, entre les diff´ erents effets pour lesquels des tests sont r´ ealis´ es est associ´ ee ` a une r´ epartition des essais o` u le plan ´ equilibr´ e. On renvoie ` a la section 11 pour un expos´ e plus d´ etaill´ e du calcul de la puissance associ´ ee aux diff´ erents tests r´ ealis´ es lors d’une analyse de la variance.

N´ eanmoins il est possible d’utiliser tous les mod` eles expos´ es dans les sections suivantes dans le contexte particulier des plans ´ equilibr´ es lorsqu’en fait le plan est d´ es´ equilibr´ e, c’est-

`

a-dire lorsque le nombre de r´ ep´ etitions varie d’une case ` a l’autre du tableau de donn´ ees. En aucun cas on ne supprimera des observations pour se ramener ` a une situation o` u le plan est ´ equilibr´ e. Il y a deux faits qu’il faut absolument avoir ` a l’esprit lorsque l’on se sert de ce type de mod` eles, donc pour lesquels le plan est d´ es´ equilibr´ e.

1. D’une part, l’estimation des effets des diff´ erents niveaux des facteurs ou de leurs interactions n’est plus aussi simple que pr´ ec´ edemment,sauf dans le cas d’un mod` ele d’analyse de la variance ` a un facteur ou lorsque le plan est dit ` a effectifs propor- tionnels. En effet, ces estimations ne sont plus ind´ ependantes les unes des autres.

Voir par exemple la situation ´ etudi´ ee dans le paragraphe 12.2.5 o` u l’on insiste sur les diff´ erences qui d´ ecoulent de cette situation. On renvoie ` a [4] pour plus de d´ etails.

2. D’autre part, les lois des statistiques de test que l’on utilise pour tester les diff´ erentes hypoth` eses pr´ esentes dans le tableau de l’analyse de la variance ne sont, dans la majorit´ e des cas, connues qu’approximativement. On renvoie ` a nouveau ` a [4] pour plus de d´ etails.

Dans la suite, on se bornera ` a exposer la th´ eorie de l’analyse de la variance dans le cadre des plans ´ equilibr´ es, c’est-` a-dire dans le cas o` u le nombre de r´ ep´ etitions est constant d’une case ` a l’autre du tableau.

2.3. Risque global associ´ e au tableau de l’analyse de la variance

Lorsque l’on r´ ealise une ´ etude de la significativit´ e des effets de deux ou de plus de facteurs, en s’int´ eressant ou non ` a la significativit´ e de leurs interactions, avec un mod` ele d’analyse de la variance, le tableau de l’analyse de la variance que l’on ´ etudie permet de prendre plusieurs d´ ecisions, chacune associ´ ee au test d’une hypoth` ese nulle. On prend ainsi en fait plusieurs d´ ecisions chacune d’entre elles ´ etant associ´ ees ` a un risque de premi` ere ou de seconde esp` ece. Pour plus de d´ etails sur les m´ ethodes de gestion du risque de premi` ere esp` ece associ´ ee ` a la lecture de tableaux r´ ecapitulatifs de tests statistiques voir le chapitre de cours consacr´ e ` a ce probl` eme.

Exemple 2.1. Analyse de la variance ` a deux facteurs ` a effets fixes, al´ eatoires ou mixtes

et avec r´ ep´ etitions

(10)

Pour un expos´ e complet du mod` ele d’analyse de la variance ` a deux facteurs contrˆ ol´ es avec r´ ep´ etitions voir le paragraphe 4.1.2.

Avec un tel mod` ele il est possible de tester trois hypoth` eses nulles, H

00

d’absence d’effet du premier facteur, H

000

d’absence d’effet du second facteur, H

0000

d’absence d’effet de l’in- teraction des deux facteurs. Chacune d’elles peut ˆ etre test´ ee avec un risque diff´ erent, α

0

, α

00

et α

000

. Le risque global α v´ erifiera alors la relation :

α 6 1 − (1 − α

0

)(1 − α

00

)(1 − α

000

) 6 α

0

+ α

00

+ α

000

.

La derni` ere in´ egalit´ e est une application de l’in´ egalit´ e de Bonferonni. Ainsi si l’on veut prendre une d´ ecision associ´ ee ` a un risque global de α = 5 %, on pourra fixer un seuil individuel de α

0

= α

00

= α

000

= 5/3 % ≈ 2, 67 % pour chacun des tests ´ el´ ementaires de chaque hypoth` ese H

00

, H

000

et H

0000

.

L’exemple pr´ ec´ edent met en ´ evidence le fait que, plus le tableau de l’analyse de la va- riance ´ etudi´ e comporte de tests, plus la correction ` a apporter au niveau individuel de significativit´ e de chacun des tests r´ ealis´ es sera importante. Cette correction vise ` a r´ eduire le nombre de faux positifs, effets jug´ es ` a tort comme significatifs, que l’on a d´ etect´ es. Elle est d’autant plus int´ eressante ` a faire que le nombre de tests r´ ealis´ es est important.

Remarque 2.1. La n´ ecessit´ e de l’utilisation de ce type de correction d´ epend de la formu- lation des r´ esultats qui est faite par l’utilisateur. Si celui-ci s’int´ eresse ` a un risque global portant sur l’ensemble des d´ ecisions prises ` a l’aide d’un mod` ele d’analyse de la variance il privil´ egiera une maˆırise du risque global. Si l’utilisateur s’int´ eresse au risque associ´ e ` a chacune des d´ ecisions, il maˆıtrisera le risque individuel associ´ e ` a chacune d’entre elles.

Quoi qu’il advienne il faut savoir que l’on entre dans le domaine de l’analyse de tableaux de r´ esultats. On pourra consulter [8] ou [10] pour plus de pr´ ecisions.

3. Analyse de la variance ` a un facteur

Dans toute cette section, on utilise les notations d´ efinies ` a la section 1.

3.1. Mod` eles ` a effets fixes

Un facteur contrˆ ol´ e A se pr´ esente sous I modalit´ es, chacune d’entre elles ´ etant not´ ee A

i

.

Pour chacune des modalit´ es on effectue J > 2 mesures d’une r´ eponse Y qui est une va-

riable continue. On note n = I × J le nombre total de mesures ayant ´ et´ e effectu´ ees.

(11)

On introduit le mod` ele :

Y

i,j

= µ + α

i

+

i,j

, i = 1 . . . I, j = 1 . . . J, avec la contrainte suppl´ ementaire

I

X

i=1

α

i

= 0,

o` u Y

i,j

est la valeur prise par la r´ eponse Y dans la condition A

i

lors de la j−` eme r´ ep´ etition.

On postule les hypoth` eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j), 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J, L (

i,j

) = N (0, σ

2

),

Cov(

i,j

,

k,l

) = 0 si (i, j) 6= (k, l) avec 1 6 i, k 6 I, et 1 6 j, l 6 J.

On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod` ele sont bien remplies, l’´ etude de leur v´ erification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On regroupe les valeurs que peut prendre la r´ eponse Y dans la condition A

i

lors de la j −` eme r´ ep´ etition dans le tableau suivant :

Facteur A Y

A

1

Y

1,1

, . . . , Y

1,J

.. . .. .

A

i

Y

i,1

, . . . , Y

i,J

.. . .. .

A

I

Y

I,1

, . . . , Y

I,J

On rappelle que la variation th´ eorique due au facteur A est d´ efinie par : SC

F

= J

I

X

i=1

(Y

i,•

− Y

•,•

)

2

. La variation r´ esiduelle th´ eorique est quant ` a elle d´ efinie par :

SC

R

=

I

X

i=1 J

X

j=1

(Y

i,j

− Y

i,•

)

2

! .

Enfin la variation totale th´ eorique est ´ egale ` a : SC

T OT

=

I

X

i=1 J

X

j=1

(Y

i,j

− Y

•,•

)

2

.

(12)

On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA : SC

T OT

= SC

F

+ SC

R

.

La liste y des donn´ ees exp´ erimentales y

1,1

, . . . , y

1,J

, . . . , y

2,1

, . . . , y

2,J

, . . . , y

I,J

permet de construire une r´ ealisation du tableau pr´ ec´ edent :

Facteur A y

A

1

y

1,1

, . . . , y

1,J

.. . .. .

A

i

y

i,1

, . . . , y

i,J

.. . .. .

A

I

y

I,1

, . . . , y

I,J

La variation due au facteur A observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est d´ efinie par :

sc

F

= J

I

X

i=1

(y

i,•

− y

•,•

)

2

.

La variation r´ esiduelle observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est quant ` a elle d´ efinie par :

sc

R

=

I

X

i=1 J

X

j=1

(y

i,j

− y

i,•

)

2

! .

Enfin la variation totale observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est ´ egale ` a :

sc

T OT

=

I

X

i=1 J

X

j=1

(y

i,j

− y

•,•

)

2

.

La relation fondamentale de l’ANOVA reste valable lorsqu’elle est ´ evalu´ ee sur la liste de donn´ ees y :

sc

T OT

= sc

F

+ sc

R

.

On r´ esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

(13)

Source Variation Degr´ es de libert´ e Carr´ e Moyen F D´ ecision

Facteur sc

F

I − 1 s

2F

= sc

F

I − 1 f = s

2F

s

2R

H

0

ou H

1

R´ esiduelle sc

R

n − I = I (J − 1) s

2R

= sc

R

n − I

Totale sc

T OT

n − 1 = IJ − 1

On souhaite faire le test d’hypoth` ese suivant :

H

0

: α

1

= α

2

= · · · = α

I

= 0 contre

H

1

: Il existe i

0

∈ {1, 2, . . . , I} tel que α

i0

6= 0.

Sous l’hypoth` ese nulle H

0

pr´ ec´ edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi- tions de validit´ e du mod` ele sont respect´ ees, f est la r´ ealisation d’une variable al´ eatoire qui suit une loi de Fisher ` a I − 1 et n − I degr´ es de libert´ e. On conclut alors ` a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´ erieure ou ´ egale au seuil α du test, ou ` a l’aide d’une table, rejet si la valeur f est sup´ erieure ou ´ egale ` a la valeur critique issue de la table.

Lorsque l’hypoth` ese nulle H

0

est rejet´ ee on peut proc´ eder ` a des comparaisons multiples des diff´ erents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

Les estimateurs µ, b c α

1

, . . . , α c

I

, σ b

2

des param` etres µ, α

1

, . . . , α

I

, σ

2

du mod` ele sont donn´ es par les formules suivantes :

µ b = Y

•,•

= Y , α b

i

= Y

i,•

− b µ, 1 6 i 6 I, σ b

2

= SC

R

n − I = P

I

i=1

P

J

j=1

(Y

i,j

− Y

i,•

)

2

n − I = S

R2

. Ce sont des estimateurs sans biais.

Les estimations, obtenues pour la liste de donn´ ees y et not´ ees b µ(y), c α

1

(y), . . . , α c

I

(y), σ b

2

(y), des param` etres µ, α

1

, . . . , α

I

, σ

2

du mod` ele se d´ eduisent des formules ci-dessus :

µ(y) = b y

•,•

= y, α b

i

(y) = y

i,•

− b µ(y), 1 6 i 6 I, σ b

2

(y) = sc

R

n − I = P

I

i=1

P

J

j=1

(y

i,j

− y

i,•

)

2

n − I = s

2R

.

(14)

3.2. Mod` eles ` a effets al´ eatoires

Dans ce cas les A

i

repr´ esentent un ´ echantillon de taille I pr´ elev´ e dans une population importante. Nous admettrons que les effets des A

i

, les α

i

, sont distribu´ es suivant une loi normale centr´ ee de variance σ

A2

. Le mod` ele ne d´ epend plus que de trois param` etres µ, σ

2

et σ

A2

. Pour chacune des modalit´ es on effectue J > 2 mesures d’une r´ eponse Y qui est une variable continue. On note n = I × J le nombre total de mesures ayant ´ et´ e effectu´ ees.

On introduit le mod` ele :

Y

i,j

= µ + α

i

+

i,j

, i = 1 . . . I, j = 1 . . . J,

o` u Y

i,j

est la valeur prise par la r´ eponse Y dans la condition A

i

lors de la j−` eme r´ ep´ etition.

On suppose que :

L (α

i

) = N (0, σ

A2

), ∀ i, 1 6 i 6 I, ainsi que l’ind´ ependance des effets al´ eatoires :

Cov(α

i

, α

j

) = 0 si i 6= j et 1 6 i, j 6 I.

On postule les hypoth` eses suppl´ ementaires pour les erreurs :

∀ (i, j), 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J, L (

i,j

) = N (0, σ

2

),

Cov(

i,j

,

k,l

) = 0 si (i, j) 6= (k, l) avec 1 6 i, k 6 I, et 1 6 j, l 6 J, ainsi que l’ind´ ependance des effets al´ eatoires et des erreurs :

Cov(α

i

,

j,k

) = 0 si 1 6 i, j 6 I, et 1 6 k 6 J.

On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod` ele sont bien remplies, l’´ etude de leur v´ erification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On utilise les quantit´ es SC

F

, SC

R

, SC

T OT

, sc

F

, sc

R

, sc

T OT

introduites ` a la section 3.1.

On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA : SC

T OT

= SC

F

+ SC

R

.

On r´ esume les informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

(15)

Source Variation Degr´ es de libert´ e Carr´ e Moyen F D´ ecision

Facteur sc

F

I − 1 s

2F

= sc

F

I − 1 f = s

2F

s

2R

H

0

ou H

1

R´ esiduelle sc

R

n − I = I (J − 1) s

2R

= sc

R

n − I

Totale sc

T OT

n − 1 = IJ − 1

On souhaite faire le test d’hypoth` ese suivant :

H

0

: σ

2A

= 0 contre H

1

: σ

A2

6= 0.

Sous l’hypoth` ese nulle H

0

pr´ ec´ edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi- tions de validit´ e du mod` ele sont respect´ ees, f est la r´ ealisation d’une variable al´ eatoire qui suit une loi de Fisher ` a I − 1 et n − I degr´ es de libert´ e. On conclut alors ` a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´ erieure ou ´ egale au seuil α du test, ou ` a l’aide d’une table, rejet si la valeur f est sup´ erieure ou ´ egale ` a la valeur critique issue de la table.

Les estimateurs µ, b σ c

A2

, σ b

2

des param` etres µ, σ

2A

, σ

2

du mod` ele sont donn´ es par les formules suivantes :

µ b = Y

•,•

= Y , σ c

A2

= 1

J S

F2

− S

R2

, σ b

2

= SC

R

n − I = S

R2

, o` u S

F2

= SC

F

I − 1 et S

R2

= SC

R

n − I . Ce sont des estimateurs sans biais.

Les estimations, obtenues pour la liste de donn´ ees y et not´ ees b µ(y), σ c

A2

(y), σ b

2

(y), des param` etres µ, σ

A2

, σ

2

du mod` ele se d´ eduisent des formules ci-dessus :

µ(y) = b y

•,•

= y, σ c

A2

(y) = 1

J s

2F

− s

2R

, σ b

2

(y) = sc

R

n − I = s

2R

.

(16)

4. Analyse de la variance ` a deux facteurs

Dans toute cette section, on utilise les notations d´ efinies ` a la section 1.

4.1. Mod` eles ` a effets fixes

4.1.1. Sans r´ ep´ etition

Un facteur contrˆ ol´ e A se pr´ esente sous I modalit´ es, chacune d’entre elles ´ etant not´ ee A

i

. Un facteur contrˆ ol´ e B se pr´ esente sous J modalit´ es, chacune d’entre elles ´ etant not´ ee B

j

. Pour chacun des couples de modalit´ es (A

i

, B

j

) on effectue une mesure d’une r´ eponse Y qui est une variable continue. On note n = I × J le nombre total de mesures ayant ´ et´ e effectu´ ees.

On introduit le mod` ele :

Y

i,j

= µ + α

i

+ β

j

+

i,j

, i = 1 . . . I, j = 1 . . . J, avec les contraintes suppl´ ementaires

I

X

i=1

α

i

= 0 et

J

X

j=1

β

j

= 0,

o` u Y

i,j

est la valeur prise par la r´ eponse Y dans les conditions (A

i

, B

j

). On postule les hypoth` eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j), 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J, L (

i,j

) = N (0, σ

2

),

Cov(

i,j

,

k,l

) = 0 si (i, j) 6= (k, l) avec 1 6 i, k 6 I et 1 6 j, l 6 J.

On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod` ele sont bien remplies, l’´ etude de leur v´ erification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On regroupe les valeurs que peut prendre la r´ eponse Y dans les conditions (A

i

, B

j

) dans le tableau suivant :

Facteur B

Facteur A B

1

. . . B

j

. . . B

J

A

1

Y

1,1

. . . Y

1,j

. . . Y

1,J

.. . .. . .. . .. . .. . .. . A

i

Y

i,1

. . . Y

i,j

. . . Y

i,J

.. . .. . .. . .. . .. . .. .

A

I

Y

I,1

. . . Y

1,j

. . . Y

I,J

(17)

On rappelle que la variation th´ eorique due au facteur A est d´ efinie par : SC

A

= J

I

X

i=1

(Y

i,•

− Y

•,•

)

2

.

On rappelle que la variation th´ eorique due au facteur B est d´ efinie par : SC

B

= I

J

X

j=1

(Y

•,j

− Y

•,•

)

2

. La variation r´ esiduelle th´ eorique est quant ` a elle d´ efinie par :

SC

R

=

I

X

i=1 J

X

j=1

(Y

i,j

− Y

i,•

− Y

•,j

+ Y

•,•

)

2

. Enfin la variation totale th´ eorique est ´ egale ` a :

SC

T OT

=

I

X

i=1 J

X

j=1

(Y

i,j

− Y

•,•

)

2

. On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :

SC

T OT

= SC

A

+ SC

B

+ SC

R

.

La liste y des donn´ ees exp´ erimentales y

1,1

, . . . , y

1,J

, . . . , y

2,1

, . . . , y

2,J

, . . . , y

I,J

permet de construire une r´ ealisation du tableau pr´ ec´ edent :

Facteur B

Facteur A B

1

. . . B

j

. . . B

J

A

1

y

1,1

. . . y

1,j

. . . y

1,J

.. . .. . .. . .. . .. . .. . A

i

y

i,1

. . . y

i,j

. . . y

i,J

.. . .. . .. . .. . .. . .. . A

I

y

I,1

. . . y

1,j

. . . y

I,J

La variation due au facteur A observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est d´ efinie par : sc

A

= J

I

X

i=1

(y

i,•

− y

•,•

)

2

.

(18)

La variation due au facteur B observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est d´ efinie par :

sc

B

= I

J

X

j=1

(y

•,j

− y

•,•

)

2

.

La variation r´ esiduelle observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est quant ` a elle d´ efinie par :

sc

R

=

I

X

i=1 J

X

j=1

(y

i,j

− y

i,•

− y

•,j

+ y

•,•

)

2

.

Enfin la variation totale observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est ´ egale ` a :

sc

T OT

=

I

X

i=1 J

X

j=1

(y

i,j

− y

•,•

)

2

.

La relation fondamentale de l’ANOVA reste valable lorsqu’elle est ´ evalu´ ee sur la liste de donn´ ees y :

sc

T OT

= sc

A

+ sc

B

+ sc

R

.

On introduit les d´ egres de libert´ e (Ddl) associ´ es ` a chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Source Degr´ es de libert´ e Facteur A n

A

= I − 1 Facteur B n

B

= J − 1 R´ esiduelle n

R

= (I − 1)(J − 1) Totale n

T OT

= IJ − 1

On r´ esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

(19)

Source Variation Ddl Carr´ e Moyen F D´ ecision Facteur A sc

A

n

A

s

2A

= sc

A

n

A

f

A

= s

2A

s

2R

H

00

ou H

01

Facteur B sc

B

n

B

s

2B

= sc

B

n

B

f

B

= s

2B

s

2R

H

000

ou H

001

R´ esiduelle sc

R

n

R

s

2R

= sc

R

n

R

Totale sc

T OT

n

T OT

On souhaite faire les tests d’hypoth` ese suivants :

H

00

: α

1

= α

2

= · · · = α

I

= 0 contre

H

01

: Il existe i

0

∈ {1, 2, . . . , I} tel que α

i0

6= 0.

Sous l’hypoth` ese nulle H

00

pr´ ec´ edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi- tions de validit´ e du mod` ele sont respect´ ees, f

A

est la r´ ealisation d’une variable al´ eatoire qui suit une loi de Fisher ` a I − 1 et (I − 1)(J − 1) degr´ es de libert´ e. On conclut alors ` a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´ erieure ou ´ egale au seuil α du test, ou ` a l’aide d’une table, rejet si la valeur f

A

est sup´ erieure ou ´ egale ` a la valeur critique issue de la table.

Lorsque l’hypoth` ese nulle H

00

est rejet´ ee on peut proc´ eder ` a des comparaisons multiples des diff´ erents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

H

000

: β

1

= β

2

= · · · = β

J

= 0 contre

H

001

: Il existe j

0

∈ {1, 2, . . . , J } tel que β

j0

6= 0.

Sous l’hypoth` ese nulle H

000

pr´ ec´ edente d’absence d’effet du facteur B et lorsque les condi-

tions de validit´ e du mod` ele sont respect´ ees, f

B

est la r´ ealisation d’une variable al´ eatoire

qui suit une loi de Fisher ` a J − 1 et (I − 1)(J − 1) degr´ es de libert´ e. On conclut alors ` a

(20)

l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´ erieure ou ´ egale au seuil α du test, ou ` a l’aide d’une table, rejet si la valeur f

B

est sup´ erieure ou ´ egale ` a la valeur critique issue de la table.

Lorsque l’hypoth` ese nulle H

000

est rejet´ ee on peut proc´ eder ` a des comparaisons multiples des diff´ erents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

Les estimateurs µ, b c α

1

, . . . , c α

I

, β b

1

, . . . , c β

J

, σ b

2

des param` etres µ, α

1

, . . . , α

I

, β

1

, . . . , β

J

, σ

2

du mod` ele sont donn´ es par les formules suivantes :

µ b = Y

•,•

= Y , α b

i

= Y

i,•

− µ, b 1 6 i 6 I, β b

j

= Y

•,j

− µ, b 1 6 j 6 J, σ b

2

= SC

R

(I − 1)(J − 1) = s

2R

. Ce sont des estimateurs sans biais.

Les estimations, obtenues pour la liste de donn´ ees y et not´ ees b µ(y), c α

1

(y), . . . , α c

I

(y), β b

1

(y), . . . , c β

J

(y), σ b

2

(y), des param` etres µ, α

1

, . . . , α

I

, β

1

, . . . , β

J

, σ

2

du mod` ele se d´ eduisent des formules ci-dessus :

b µ(y) = y

•,•

= y, α b

i

(y) = y

i,•

− µ(y), b 1 6 i 6 I, β b

j

(y) = y

•,j

− b µ(y), 1 6 j 6 J, σ b

2

(y) = sc

R

(I − 1)(J − 1) = s

2R

. 4.1.2. Avec r´ ep´ etitions

Un facteur contrˆ ol´ e A se pr´ esente sous I modalit´ es, chacune d’entre elles ´ etant not´ ee A

i

. Un facteur contrˆ ol´ e B se pr´ esente sous J modalit´ es, chacune d’entre elles ´ etant not´ ee B

j

. Pour chacun des couples de modalit´ es (A

i

, B

j

) on effectue K > 2 mesures d’une r´ eponse Y qui est une variable continue. On note n = I × J × K le nombre total de mesures ayant

´

et´ e effectu´ ees.

On introduit le mod` ele :

Y

i,j,k

= µ + α

i

+ β

j

+ (αβ )

i,j

+

i,j,k

, i = 1 . . . I, j = 1 . . . J, k = 1 . . . K avec les contraintes suppl´ ementaires

I

X

i=1

α

i

= 0,

J

X

j=1

β

j

= 0,

I

X

i=1

(αβ )

i,j

= 0, ∀j ∈ {1, . . . , J } et

J

X

j=1

(αβ)

i,j

= 0, ∀i ∈ {1, . . . , I} ,

o` u Y

i,j,k

est la valeur prise par la r´ eponse Y dans les conditions (A

i

, B

j

) lors du k−` eme essai. On postule les hypoth` eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k), 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J, 1 6 k 6 K, L (

i,j,k

) = N (0, σ

2

), et Cov(

i,j,k

,

l,m,n

) = 0 si (i, j, k) 6= (l, m, n) avec

1 6 i, l 6 I, 1 6 j, m 6 J et 1 6 k, n 6 K.

(21)

On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod` ele sont bien remplies, l’´ etude de leur v´ erification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On regroupe les valeurs que peut prendre la r´ eponse Y dans les conditions (A

i

, B

j

) dans le tableau suivant :

Facteur B

Facteur A B

1

. . . B

j

. . . B

J

A

1

Y

1,1,1

. . . Y

1,1,K

. . . Y

1,j,1

. . . Y

1,j,K

. . . Y

1,J,1

. . . Y

1,J,K

.. . .. . .. . .. . .. . .. .

A

i

Y

i,1,1

. . . Y

i,1,K

. . . Y

i,j,1

. . . Y

i,j,K

. . . Y

i,J,1

. . . Y

i,J,K

.. . .. . .. . .. . .. . .. .

A

I

Y

I,1,1

. . . Y

I,1,K

. . . Y

1,j,1

. . . Y

1,j,K

. . . Y

I,J,1

. . . Y

I,J,K

On rappelle que la variation th´ eorique due au facteur A est d´ efinie par : SC

A

= J

I

X

i=1

(Y

i,•,•

− Y

•,•,•

)

2

.

On rappelle que la variation th´ eorique due au facteur B est d´ efinie par : SC

B

= I

J

X

j=1

(Y

•,j,•

− Y

•,•,•

)

2

.

On rappelle que la variation th´ eorique due ` a l’interaction des facteurs A et B est d´ efinie par :

SC

AB

= I

J

X

j=1

(Y

i,j,•

− Y

i,•,•

− Y

•,j,•

+ Y

•,•,•

)

2

. La variation r´ esiduelle th´ eorique est quant ` a elle d´ efinie par :

SC

R

=

I

X

i=1 J

X

j=1 K

X

k=1

(Y

i,j,k

− Y

i,j,•

)

2

. Enfin la variation totale th´ eorique est ´ egale ` a :

SC

T OT

=

I

X

i=1 J

X

j=1 K

X

k=1

(Y

i,j,k

− Y

•,•,•

)

2

. On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :

SC

T OT

= SC

A

+ SC

B

+ SC

AB

+ SC

R

.

(22)

La liste y des donn´ ees exp´ erimentales y

1,1,1

, . . . , y

1,1,K

, . . . , y

1,2,1

, . . . , y

1,2,K

, . . . , y

I,J,K

per- met de construire une r´ ealisation du tableau pr´ ec´ edent :

Facteur B

Facteur A B

1

. . . B

j

. . . B

J

A

1

y

1,1,1

. . . y

1,1,K

. . . y

1,j,1

. . . y

1,j,K

. . . y

1,J,1

. . . y

1,J,K

.. . .. . .. . .. . .. . .. .

A

i

y

i,1,1

. . . y

i,1,K

. . . y

i,j,1

. . . y

i,j,K

. . . y

i,J,1

. . . y

i,J,K

.. . .. . .. . .. . .. . .. .

A

I

y

I,1,1

. . . y

I,1,K

. . . y

1,j,1

. . . y

1,j,K

. . . y

I,J,1

. . . y

I,J,K

La variation due au facteur A observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est d´ efinie par : sc

A

= J

I

X

i=1

(y

i,•,•

− y

•,•,•

)

2

.

La variation due au facteur B observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est d´ efinie par : sc

B

= I

J

X

j=1

(y

•,j,•

− y

•,•,•

)

2

.

La variation due ` a l’interaction des facteurs A et B observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est d´ efinie par :

sc

AB

= I

J

X

j=1

(y

i,j,•

− y

i,•,•

− y

•,j,•

+ y

•,•,•

)

2

.

La variation r´ esiduelle observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est quant ` a elle d´ efinie par : sc

R

=

I

X

i=1 J

X

j=1 K

X

k=1

(y

i,j,k

− y

i,j,•

)

2

.

Enfin la variation totale observ´ ee sur la liste de donn´ ees y est ´ egale ` a : sc

T OT

=

I

X

i=1 J

X

j=1 K

X

k=1

(y

i,j,k

− y

•,•,•

)

2

.

La relation fondamentale de l’ANOVA reste valable lorsqu’elle est ´ evalu´ ee sur la liste de donn´ ees y :

sc

T OT

= sc

A

+ sc

B

+ sc

AB

+ sc

R

.

On introduit les d´ egres de libert´ e (Ddl) associ´ es ` a chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

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