11. Puissance des tests de l’analyse de la variance
11.3. Analyse de la variance ` a deux facteurs avec interaction
F(J−1,(I−1)(J−1)) > F(J−1,(I −1)(J−1); 1−α) 1 +Iσ2B
σ2
,
o`u F(J−1,(I−1)(J−1); 1−α) est le 100(1−α) quantile de la loi de Fisher `a (J−1) et (I−1)(J −1) degr´es de libert´e et F(J −1,(I−1)(J−1)) est une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aJ −1 et (I−1)(J−1) degr´es de libert´e.
Les puissances des tests sont donc identiques `a celles o`u le facteur `a effets fixes seraient avec un autre facteur `a effets fixes et le facteur `a effets al´eatoires serait avec un autre facteur `a effets al´eatoires.
11.3. Analyse de la variance ` a deux facteurs avec interaction
Les id´ees d´evelopp´ees dans la section 11.1 pr´ec´edente sur le calcul de la puissance a pos-teriori ou la d´etermination du nombre de r´ep´etitions minimal pour obtenir un niveau de puissance sup´erieur ou ´egal `a une valeur cible 1−β0 sont directement transf´erables aux tests ´etudi´es dans cette section `a condition de remplacer les formules par celles qui sont expos´ees ci-dessous.
La puissance calcul´ee pour chacun des tests ne d´epend pas du risque de premi`ere esp`ece fix´e pour les autres tests. Ceci permettrait de calculer la puissance des tests du tableau de l’analyse de la variance mˆeme si le seuil de chaque test varie en fonction du test consid´er´e.
Voir le paragraphe 2.3 pour plus de d´etails sur la gestion des risques de premi`ere esp`ece des tests du tableau de l’analyse de la variance.
11.3.1. Mod`ele `a effets fixes
On reprend ici les notations du paragraphe 4.1.2.
On s’int´eresse `a la puissance 1 −βA, o`u βA est le risque de commettre une erreur de deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 : α1 =α2 =· · ·=αI = 0 contre
H1 : Il existe i0 ∈ {1,2, . . . , I} tel que αi0 6= 0.
Cette puissance 1−βA est donn´ee par la formule suivante : 1−βA=P
h
F0(I−1, IJ(K−1);φA)> F(I−1, IJ(K−1); 1−α)i ,
o`u F(I −1, IJ(K −1); 1−α) est le 100(1−α) quantile de la loi de Fisher `a I −1 et IJ(K−1) degr´es de libert´e etF0(I−1, IJ(K−1);φA) est une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher non-centrale `a I−1 et IJ(K−1) degr´es de libert´e et de param`etre de non-centralit´e normalis´e φA. Ce param`etre de non-centralit´e normalis´e φA vaut :
φA= 1 deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 : β1 =β2 =· · ·=βJ = 0 contre
H1 : Il existe j0 ∈ {1,2, . . . , J} tel que βj0 6= 0.
Cette puissance 1−βB est donn´ee par la formule suivante : 1−βB =P non-centralit´e normalis´e φB. Ce param`etre de non-centralit´e normalis´e φB vaut :
φB = 1 deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 : (αβ)1,1 = (αβ)1,2 =· · ·= (αβ)1,J = (αβ)2,1 =· · ·= (αβ)I,J = 0 contre
H1 : Il existe (i0, j0)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} tel que (αβ)i0,j0 6= 0.
Cette puissance 1−βAB est donn´ee par la formule suivante : 1−βAB =P
degr´es de libert´e et de param`etre de non-centralit´e normalis´eφAB. Ce param`etre de non-centralit´e normalis´e φAB vaut :
φAB = 1 11.3.2. Mod`ele `a effets al´eatoires
On reprend ici les notations du paragraphe 4.2.2.
On s’int´eresse `a la puissance 1 −βA, o`u βA est le risque de commettre une erreur de deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 : σ2A= 0 contre H1 :σA2 6= 0.
Cette puissance 1−βA est donn´ee par la formule suivante :
1−βA=P deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 : σ2B= 0 contre H1 : σB2 6= 0.
Cette puissance 1−βB est donn´ee par la formule suivante :
1−βB=P
o`u F(J−1,(I−1)(J−1); 1−α) est le 100(1−α) quantile de la loi de Fisher `a (J−1) et (I−1)(J −1) degr´es de libert´e et F(J −1,(I−1)(J−1)) est une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aJ −1 et (I−1)(J−1) degr´es de libert´e.
On s’int´eresse `a la puissance 1−βAB, o`u βAB est le risque de commettre une erreur de deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 : σ2AB = 0 contre H1 :σAB2 6= 0.
Cette puissance 1−βAB est donn´ee par la formule suivante :
1−βAB =P
F((I−1)(J−1), IJ(K−1))> F((I−1)(J−1), IJ(K−1); 1−α) 1 +Kσ2AB
σ2
, o`u F((I −1)(J −1), IJ(K −1); 1−α) est le 100(1−α) quantile de la loi de Fisher `a (I −1)(J −1) et IJ(K −1) degr´es de libert´e et F((I −1)(J −1), IJ(K −1)) est une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `a (I−1)(J−1) etIJ(K−1) degr´es de libert´e.
La diff´erence fondamentale entre ce cas et le cas o`u le facteur est `a effets fixes, expos´e au paragraphe 4.2.1, est que le calcul de la puissance repose une loi de Fisher et non sur une loi de Fisher non-centrale.
11.3.3. Mod`ele `a effets mixtes
On reprend ici les notations du paragraphe 4.3.2.
On s’int´eresse `a la puissance 1 −βA, o`u βA est le risque de commettre une erreur de deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 : α1 =α2 =· · ·=αI = 0 contre
H1 : Il existe i0 ∈ {1,2, . . . , I} tel que αi0 6= 0.
Cette puissance 1−βA est donn´ee par la formule suivante : 1−βA=P
h
F0(I −1,(I−1)(J −1);φA)> F(I−1,(I −1)(J−1); 1−α)i ,
o`u F(I−1,(I−1)(J−1); 1−α) est le 100(1−α) quantile de la loi de Fisher `a I−1 et (I−1)(J−1) degr´es de libert´e etF0(I−1, I(J−1);φA) est une variable al´eatoire qui suit
une loi de Fisher non-centrale `aI−1 et (I−1)(J−1) degr´es de libert´e et de param`etre de non-centralit´e normalis´eφA. Ce param`etre de non-centralit´e normalis´eφA vaut :
φA= deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 : σ2B= 0 contre H1 : σB2 6= 0.
Cette puissance 1−βB est donn´ee par la formule suivante :
1−βB =P deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 : σ2AB = 0 contre H1 :σAB2 6= 0.
Cette puissance 1−βAB est donn´ee par la formule suivante : 1−βAB =P
Les puissances des tests sont donc identiques `a celles o`u le facteur `a effets fixes serait avec un autre facteur `a effets fixes, le facteur `a effets al´eatoires serait avec un autre facteur `a effets al´eatoires et l’interaction dans un mod`ele o`u les deux facteurs seraient al´eatoires.
11.4. Analyse de la variance ` a deux facteurs emboˆıt´ es
Les id´ees d´evelopp´ees dans la section 11.1 pr´ec´edente sur le calcul de la puissance a pos-teriori ou la d´etermination du nombre de r´ep´etitions minimal pour obtenir un niveau de puissance sup´erieur ou ´egal `a une valeur cible 1−β0 sont directement transf´erables aux tests ´etudi´es dans cette section `a condition de remplacer les formules par celles qui sont expos´ees ci-dessous.
La puissance calcul´ee pour chacun des tests ne d´epend pas du risque de premi`ere esp`ece fix´e pour les autres tests. Ceci permettrait de calculer la puissance des tests du tableau de l’analyse de la variance mˆeme si le seuil de chaque test varie en fonction du test consid´er´e.
Voir le paragraphe 2.3 pour plus de d´etails sur la gestion des risques de premi`ere esp`ece des tests du tableau de l’analyse de la variance.
11.4.1. Mod`ele `a effets fixes
On reprend ici les notations du paragraphe 5.1.1. On s’int´eresse `a la puissance 1−βA, o`u βA est le risque de commettre une erreur de deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 : α1 =α2 =· · ·=αI = 0 contre
H1 : Il existe i0 ∈ {1,2, . . . , I} tel que αi0 6= 0.
Cette puissance 1−βA est donn´ee par la formule suivante : 1−βA=P
h
F0(I−1, IJ(K−1);φA)> F(I−1, IJ(K−1); 1−α)i ,
o`u F(I −1, IJ(K −1); 1−α) est le 100(1−α) quantile de la loi de Fisher `a I −1 et IJ(K−1) degr´es de libert´e etF0(I−1, IJ(K−1);φA) est une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher non-centrale `a I−1 et IJ(K−1) degr´es de libert´e et de param`etre de non-centralit´e normalis´e φA. Ce param`etre de non-centralit´e normalis´e φA vaut :
φA= 1 σ
v u u t
J K I
I
X
i=1
α2i.
On s’int´eresse `a la puissance 1−βB(A), o`u βB(A) est le risque de commettre une erreur de deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 :β1(1) =β2(1)=· · ·=βJ(1) =β1(2)=· · ·=βJ(I) = 0 contre
H1 : Il existe (i0, j0)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} tel que βj0(i0)6= 0.
Cette puissance 1−βB(A) est donn´ee par la formule suivante : param`etre de non-centralit´e normalis´e φB(A). Ce param`etre de non-centralit´e normalis´e φB(A) vaut : 11.4.2. Mod`ele `a effets al´eatoires
On reprend ici les notations du paragraphe 5.2.1.
On s’int´eresse `a la puissance 1 −βA, o`u βA est le risque de commettre une erreur de deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 : σ2A= 0 contre H1 :σA2 6= 0.
Cette puissance 1−βA est donn´ee par la formule suivante :
1−βA =P deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 : σB|A2 = 0 contre H1 : σ2B|A 6= 0.
Cette puissance 1−βB(A) est donn´ee par la formule suivante :
11.4.3. Mod`ele `a effets mixtes
On reprend ici les notations du paragraphe 5.3.1.
On s’int´eresse `a la puissance 1 −βA, o`u βA est le risque de commettre une erreur de deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 : α1 =α2 =· · ·=αI = 0 contre
H1 : Il existe i0 ∈ {1,2, . . . , I} tel que αi0 6= 0.
Cette puissance 1−βA est donn´ee par la formule suivante : 1−βA=P deuxi`eme esp`ece, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypoth`ese
H0 : σB|A2 = 0 contre H1 : σ2B|A 6= 0.
Cette puissance 1−βB(A) est donn´ee par la formule suivante :
1−βB(A)=P
F(I(J−1), IJ(K−1))> F(I(J −1), IJ(K −1); 1−α) 1 +Kσ2B|A
σ2
,
o`uF(I(J−1), IJ(K−1); 1−α) est le 100(1−α) quantile de la loi de Fisher `aI(J−1) et IJ(K −1) degr´es de libert´e et F(I(J −1), IJ(K −1)) est une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `a I(J−1) et IJ(K−1) degr´es de libert´e.