10. Comparaisons multiples
10.7. Deux facteurs avec r´ ep´ etitions
2t((I−1)(J−1); 1− α 2k)
`
a la place de
q(I,(I −1)(J−1); 1−α) o`ut((I−1)(J−1); 1− α
2k) est le 100(1− α
2k) quantile de la loi de Student `a (I−1)(J−1) degr´es de libert´e.
10.7. Deux facteurs avec r´ ep´ etitions
On peut adapter les m´ethodes de comparaison des effets des diff´erentes modalit´es, ex-pos´ees aux paragraphes 10.1, 10.2 et 10.3 dans le cas de l’analyse de la variance `a un facteur `a effets fixes, au cas o`u l’on consid`ere un mod`ele `a deux facteurs avec interaction
`
a effets fixes ou `a effets mixtes. On commence par d´etailler les modifications `a faire pour utiliser les m´ethodes de Tukey et de Scheff´e.
On reprend ici les notations du paragraphe 4.1.2 ou du paragraphe 4.3.2 en fonction de la situation consid´er´ee. La diff´erence fondamentale entre ces deux situations r´esidant dans le fait que pour la premi`ere, deux facteurs `a effets fixes, on utilisera lecarr´e moyen r´esiduels2R dans les statistiques de test tandis que dans la seconde,un facteur `a effets fixes et un facteur `a effets al´eatoires, on utilisera lecarr´e moyen associ´e au terme de l’interaction s2AB dans les statistiques de test.
10.7.1. Contrastes Mod`ele `a effets fixes
Dans le cas d’un mod`ele o`u les deux facteurs sont `a effets fixes, c’est-`a-dire le cas envisag´e au paragraphe 4.1.2, il peut ˆetre int´eressant, en fonction de la significativit´e des diff´erents tests auxquels on a proc´ed´e, d’´etudier les constrastes expos´es ci-dessous.
H0000 : (αβ)1,1 = (αβ)1,2 =· · ·= (αβ)1,J = (αβ)2,1 =· · ·= (αβ)I,J = 0 contre
H0001 : Il existe (i0, j0)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} tel que (αβ)i0,j0 6= 0.
Si l’on rejete l’hypoth`ese nulle H0000 il peut ˆetre int´eressant de comparer entre elles les r´eponses moyennes dans chacun des couples de modalit´es Ai et Bj. Les contrastes LAB qui permettent de comparer les moyennes de la r´eponse µi,j =µ+αi+βj + (αβ)i,j dans
deux diff´erentes configurations exp´erimentales modalit´e i du facteur A et modalit´e j du facteur B contre modalit´ei0 du facteurA et modalit´ej0 du facteur B sont :
LAB =µi,j−µi0,j0. Une estimation sans biais de LAB est donn´ee par :
LdAB(y) =yi,j,•−yi0,j0,•.
Si l’on ne peut rejeter l’hypoth`ese nulle H0000 il peut ˆetre int´eressant de comparer entre elles les r´eponses moyennes dans chacune des modalit´esAi ou dans chacune des modalit´es Bj.
Les contrastes mettent en jeu des moyennes associ´ees soit au premier facteur A soit au second facteur B. Il y a ainsi deux types de contrastes :
L=l1α1+l2α2+· · ·+lIαI, L0 =l01β1+l02β2+· · ·+lJ0βJ, avec PI
i=1li = 0 et PJ
j=1l0j = 0.
Des estimateurs sans biais de L etL0 sont alors :
Lb=l1αc1+l2cα2+· · ·+lIαcI, Lb0 =l01βb1+l02βb2+· · ·+lJ0cβJ. Ainsi des estimations sans biais de Let L0 s’´ecrivent :
L(y) =b l1y1,•,•+l2y2,•,•+· · ·+lIyI,•,•, Lb0(y) =l10y•,1,•+l02y•,2,•+· · ·+l0Jy•,J,•. Mod`ele `a effets mixtes
Dans le cas d’un mod`ele mixte, c’est-`a-dire le cas envisag´e au paragraphe 4.3.2, il peut ˆ
etre int´eressant, en fonction de la significativit´e du test de l’effet du facteur `a effets fixes, d’´etudier les constrastes du type :
L=l1α1 +l2α2+· · ·+lIαI, avec PI
i=1li = 0.
Un estimateur sans biais de Lest alors :
Lb=l1cα1 +l2αc2+· · ·+lIαcI. Ainsi une estimation sans biais de Ls’´ecrit :
L(y) =b l1y1,•,•+l2y2,•,•+· · ·+lIyI,•,•.
10.7.2. M´ethode de Tukey Mod`ele `a effets fixes
LAB est significativement diff´erent de 0 au seuil α si, en supposant que yi,j,• >yi0,j0,•, on
a IJ et IJ(K −1) degr´es de libert´e. Sinon on ne peut rejeter l’hypoth`ese d’absence de diff´erence entre LAB et 0 au seuil α.
Si un contraste Lmet en jeu des moyennes associ´ees au facteur A`a effets fixes, on utilise l’estimation s2R calcul´ee pour le mod`ele incluant les deux facteurs et on change le nombre de degr´es de libert´e de la loi de l’´etendue Studentis´ees enI et IJ(K−1).
On d´ecide que le contraste L est significativement diff´erent de 0 au seuil α si : L(y)b IJ(K−1) degr´es de libert´e. Sinon on ne peut rejeter l’hypoth`ese d’absence de diff´erence entre Let 0 au seuil α.
De mˆeme si le contraste L0 met en jeu des moyennes associ´ees au facteur B `a effets fixes, on utilise l’estimation s2R calcul´ee pour le mod`ele incluant les deux facteurs et on change le nombre de degr´es de libert´e de la loi de l’´etendue Studentis´ees en J et IJ(K−1).
On d´ecide que le contraste L0 est significativement diff´erent de 0 au seuil α si : Lb0(y) IJ(K−1) degr´es de libert´e. Sinon on ne peut rejeter l’hypoth`ese d’absence de diff´erence entre L0 et 0 au seuil α.
Mod`ele `a effets mixtes
Si un contraste Lmet en jeu des moyennes associ´ees au facteur A`a effets fixes, on utilise l’estimations2AB calcul´ee pour le mod`ele incluant les deux facteurs et on change le nombre de degr´es de libert´e de la loi de l’´etendue Studentis´ees enI et (I−1)(J −1).
On d´ecide que le contraste L est significativement diff´erent de 0 au seuil α si : L(y)b
10.7.3. M´ethode de Scheff´e Mod`ele `a effets fixes
LAB est significativement diff´erent de 0 au seuil α si, en supposant que yi,j,• >yi0,j0,•, on IJ(K−1) degr´es de libert´e. Sinon on ne peut rejeter l’hypoth`ese d’absence de diff´erence entre LAB et 0 au seuilα.
Si un contraste Lmet en jeu des moyennes associ´ees au facteur A`a effets fixes, on utilise l’estimation s2R calcul´ee pour le mod`ele incluant les deux facteurs et on change le nombre de degr´es de libert´e de la loi de Fisher en I−1 et IJ(K−1).
On d´ecide que le contraste L est significativement diff´erent de 0 au seuil α si : L(y)b IJ(K−1) degr´es de libert´e. Sinon on ne peut rejeter l’hypoth`ese d’absence de diff´erence entre Let 0 au seuil α.
De mˆeme si le contraste L0 met en jeu des moyennes associ´ees au facteur B `a effets fixes, on utilise l’estimation s2R calcul´ee pour le mod`ele incluant les deux facteurs et on change le nombre de degr´es de libert´e de la loi de Fisher en J−1 et IJ(K−1).
On d´ecide que le contraste L0 est significativement diff´erent de 0 au seuil α si : Lb0(y) IJ(K−1) degr´es de libert´e. Sinon on ne peut rejeter l’hypoth`ese d’absence de diff´erence entre L0 et 0 au seuil α.
Mod`ele `a effets mixtes
Si un contraste Lmet en jeu des moyennes associ´ees au facteur A`a effets fixes, on utilise l’estimations2AB calcul´ee pour le mod`ele incluant les deux facteurs et on change le nombre de degr´es de libert´e de la loi de Fisher en I−1 et (I−1)(J−1).
On d´ecide que le contraste L est significativement diff´erent de 0 au seuil α si : L(y)b (I−1)(J−1) degr´es de libert´e. Sinon on ne peut rejeter l’hypoth`ese d’absence de diff´erence entre Let 0 au seuil α.
10.7.4. M´ethode de Bonferroni et m´ethodes associ´ees
On adapte ici, de mani`ere similaire, la proc´edure de Bonferroni et toutes celles qui en d´ecoule.
Mod`ele `a effets fixes
Si l’on souhaite r´ealiser un nombre fini k de comparaisons de contrastes associ´es au facteur A on pourra utiliser la valeur critique
t(IJ(K−1); 1− α
`
Si l’on souhaite r´ealiserun nombre fini k0 de comparaisonsde contrastes associ´es au facteur B on pourra utiliser la valeur critique
t(IJ(K−1); 1− α
Mod`ele `a effets mixtes
Si l’on souhaite r´ealiser un nombre fini k de comparaisons de contrastes associ´es au facteur A on pourra utiliser la valeur critique
t((I −1)(J−1); 1− α
Ainsi dans le cas de comparaisons deux `a deux des effets des modalit´es du facteur A `a effets fixes la valeur critique que l’on utilisera avec la proc´edure de Bonferroni est :
√
2t((I−1)(J−1); 1− α 2k)
rs2AB J K
o`ut((I−1)(J−1); 1− α
2k) est le 100(1− α
2k) quantile de la loi de Student `a (I−1)(J−1) degr´es de libert´e.
10.7.5. Cas d’un plan non ´equilibr´e et des comparaisons deux `a deux
Dans les deux situations, effets fixes ou mixtes, on peut utiliser la proc´edure de Tukey en rempla¸cant le nombre de r´ep´etitions K par la moyenne harmonique Kh du nombre de r´ep´etitions Ki et Ki0 effectu´ees dans chacune des deux conditions dont on souhaite comparer les effets. On rappelle l’expression de Kh :
Kh = 1