Analyse de la variance ` a trois facteurs totalement emboˆıt´ es

σd²_AB = 1

KL s²_AB−s²_R ,

σd²_AC = 1

J L s²_AC−s²_R ,

σd²_BC = 1

IL s²_BC −s²_R ,

σ[²_ABC = 1

L s²_ABC−s²_R ,

σb² = scR

IJ K(L−1) =s²_R.

7. Analyse de la variance ` a trois facteurs totalement emboˆıt´ es

Dans toute cette section, on utilise les notations d´efinies `a la section 1.

On est dans la situation particuli`ere, semblable `a celle de la section 5, o`u les effets des ni-veaux du facteurB n’ont pas de signification concr`ete, par exemple ces niveaux d´ependent du niveau du facteur Aconsid´er´e et une ´etude des effets principaux du facteur B n’a pas de pertinence. On complique la situation en rajoutant un niveau d’imbrication par rap-port aux mod`eles expos´es `a la section 5. Ainsi le facteur C est emboˆıt´e dans le facteurB qui lui mˆeme est emboˆıt´e dans le facteur A.

Un tel plan d’exp´erience est dit compl`etement hi´erarchis´e ou totalement emboˆıt´e<sup>9</sup>. Il n’est utilisable que si l’on dispose de r´ep´etitions. Dans le cas contraire o`u les essais ne seraient pas r´ep´et´es, l’effet dˆu au facteur C ne pourra ˆetre ´etudi´e et le mod`ele que l’on devra utiliser pour ´etudier les donn´ees sera l’un de ceux expos´es `a la section 5.

9en anglaiscompletely nested model oucompletely hierarchical model.

Pour signaler cette situation particuli`ere on note les effets du facteur B par β_j(i) et ceux du facteur C par γ_k(j(i)).

7.1. Mod` eles ` a effets fixes

7.1.1. Avec r´ep´etitions

Un facteur contrˆol´e A se pr´esente sous I modalit´es, chacune d’entre elles ´etant not´eeA_i. Un facteur contrˆol´e B se pr´esente sous J modalit´es, chacune d’entre elles d´ependant du niveau A_i du facteur A et ´etant alors not´ee B_j(i). Un facteur contrˆol´e C se pr´esente sous K modalit´es, chacune d’entre elles d´ependant du niveau B_j(i) du facteur B et donc du niveauAi du facteurAet ´etant alors not´eeCk(j(i)). Pour chacun des couples de modalit´es (A_i, B_j(i), C_k(j(i))) on effectue L > 2 mesures d’une r´eponse Y qui est une variable conti-nue. On note n =I×J ×K×L le nombre total de mesures ayant ´et´e effectu´ees.

On introduit le mod`ele :

Y_i,j,k,l =µ+α_i+β_j(i)+γ_k(j(i))+_i,j,k,l, i= 1. . . I, j= 1. . . J, k= 1. . . K, l= 1. . . L, avec les contraintes suppl´ementaires

I

X

i=1

α_i = 0,

J

X

j=1

β_j(i)= 0, ∀i∈ {1, . . . , I},

et

K

X

k=1

γ_k(j(i)) = 0, ∀(i, j)∈ {1, . . . , I} × {1, . . . , J},

o`uY<sub>i,j,k,l</sub> est la valeur prise par la r´eponse Y dans les conditions (A<sub>i</sub>, B<sub>j(i)</sub>, C<sub>k(j(i))</sub>) lors du l−`eme essai. On postule les hypoth`eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k, l),16i6I, 16j 6J, 16k6K, 16l 6L, L(_i,j,k,l) =N(0, σ²), Cov(_i,j,k,l, _m,n,o,p) = 0 si (i, j, k, l)6= (m, n, o, p)

avec 16i, m6I, 16j, n6J, 16k, o6K et 16l, p6L.

On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod`ele sont bien remplies, l’´etude de leur v´erification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On rappelle que la variation due au facteur A est d´efinie par : sc_A=J KL

I

X

i=1

(yi,•,•,• −y•,•,•,•)².

On rappelle que la variation due au facteur B dans A est d´efinie par : scB|A=KL

I

X

i=1 J

X

j=1

(yi,j,•,• −yi,•,•,•)².

On rappelle que la variation due au facteur C dansB qui lui mˆeme est dansA est d´efinie par :

scC|B|A=L

I

X

i=1 J

X

j=1 K

X

k=1

(yi,j,k,• −yi,j,•,•)².

La variation r´esiduelle est quant `a elle d´efinie par :

sc_R=L

I

X

i=1 J

X

j=1 K

X

k=1

(y_i,j,k,l−y_i,j,k,•)².

Enfin la variation totale est ´egale `a :

sc_{T OT} =

I

X

i=1 J

X

j=1 K

X

k=1 L

X

l=1

(y_i,j,k,l−y•,•,•,•)².

On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :

scT OT =scA+scB|A+scC|B|A+scR.

On introduit les d´egres de libert´e (Ddl) associ´es `a chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Source Degr´es de libert´e

FacteurA n_A =I−1

FacteurB dans A nB|A=I(J−1) FacteurC dans B n_C|B|A =IJ(K−1) R´esiduelle nR=IJ K(L−1)

Totale nT OT =IJ KL−1

On r´esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carr´e Moyen F D´ecision

Facteur A sc_A n_A s²_A= sc_A

nA

f_A= s²_A

s²_R H⁰0 ouH1⁰

Facteur B dans A scB|A nB|A s²_B|A= scB|A

nB|A

fB|A= s²_B|A

s²_R H⁰⁰0 ouH1⁰⁰

Facteur C dans B sc_C|B|A n_C|B|A s²_C|B|A= scC|B|A

nC|B|A

f_C|B|A= s²_C|B|A

s²_R H⁰⁰⁰0 ouH1⁰⁰⁰

R´esiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R

nR

Totale sc_{T OT} n_{T OT}

On souhaite faire les tests d’hypoth`ese suivants :

H⁰0 : α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0 contre

H⁰1 : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i0 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup><sub>0</sub> pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fA est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aI−1 etIJ K(L−1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur fA est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

Lorsque l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup>0 est rejet´ee on peut proc´eder `a des comparaisons multiples des diff´erents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

H⁰⁰0 : β₁₍₁₎=β₂₍₁₎=· · ·=β_J(1) =β₁₍₂₎=· · ·=β_J(I)= 0 contre

H⁰⁰1 : Il existe (i₀, j₀)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J}tel que β_j0(i0) 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>00</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur B dans A et lorsque les conditions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fB|A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aI(J−1) et IJ K(L−1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur fB|A est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

H⁰⁰⁰0 : γ_1(1(1))=γ_2(1(1)) =· · ·=γ_K(1(1)) =γ_1(1(2)) =· · ·=γ_K(J(I)) = 0 contre

H₁⁰⁰⁰ : ∃(i₀, j₀, k₀)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} × {1,2, . . . , K} | γ_k0(j0(i0)) 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulleH<sup>000</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet du facteurC dansB et lorsque les conditions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fC|B|A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `a IJ(K −1) et IJ K(L− 1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeurfC|B|A est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

Les estimations µ,b cα₁, . . . , cα_I, βd₁₍₁₎, . . . ,βd_J(I), γ\_1(1(1)), . . . ,γ\_K(J(I)), σb² des param`etres µ, α<sub>1</sub>, . . . , α<sub>I</sub>, β<sub>1(1)</sub>, . . . , β<sub>J(I)</sub>, γ<sub>1(1(1))</sub>, . . . , γ<sub>K(J(I))</sub>, σ<sup>2</sup> du mod`ele se d´eduisent des formules suivantes :

bµ=y•,•,•,• =y,

αb_i =yi,•,•,•−bµ, 16i6I,

βd_j(i)=yi,j,•,•−yi,•,•,•, 16i6I, 16j 6J,

γ\_k(j(i))=yi,j,k,• −yi,j,•,•, 16i6I, 16j 6J, 16k 6K, σb² = scR

IJ K(L−1) =s²_R.

7.2. Mod` eles ` a effets al´ eatoires

7.2.1. Avec r´ep´etitions

Les α_i repr´esentent un ´echantillon de taille I pr´elev´e dans une population importante.

Nous admettrons que les effets des Ai, les αi, sont distribu´es suivant une loi normale centr´ee de variance σ_A². Les β_j(i) repr´esentent un ´echantillon de tailleJ pr´elev´e dans une population importante d´ependant du niveau A_i du facteur A. Nous admettrons que les effets des B_j(i), les β_j(i), sont distribu´es suivant une loi normale centr´ee de variance σ²_B|A. Lesγ_k(j(i))repr´esentent un ´echantillon de tailleK pr´elev´e dans une population importante d´ependant du niveauB_j(i) du facteur B et donc du niveau A_i du facteur A. Nous admet-trons que les effets des C_k(j(i)), les γ_k(j(i)), sont distribu´es suivant une loi normale centr´ee

de variance σ²_C|B|A. Pour chacun des couples de modalit´es (A_i, B_j(i), C_k(j(i))) on effectue L>2 mesures d’une r´eponseY qui est une variable continue. On noten =I×J×K×L le nombre total de mesures ayant ´et´e effectu´ees.

On introduit le mod`ele :

Yi,j,k,l =µ+αi+β_j(i)+γ_k(j(i))+i,j,k,l, i= 1. . . I, j = 1. . . J, k = 1. . . K, l= 1. . . L,

o`uY<sub>i,j,k,l</sub> est la valeur prise par la r´eponse Y dans les conditions (A<sub>i</sub>, B<sub>j(i)</sub>, C<sub>k(j(i))</sub>) lors du l−`eme essai. On suppose que :

L(α_i) =N(0, σ²_A), ∀i,16i6I, L β_j(i)

=N(0, σ²_B|A), ∀ (i, j),16i6I, 16j 6J, L γk(j(i))

=N(0, σ²_C|B|A), ∀ (i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k6K, ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoiresα_i,β_j(i), et γ_k(j(i)).

On postule les hypoth`eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k, l),16i6I, 16j 6J, 16k6K, 16l 6L, L(i,j,k,l) =N(0, σ²), Cov(_i,j,k,l, _m,n,o,p) = 0 si (i, j, k, l)6= (m, n, o, p)

avec 16i, m6I, 16j, n6J, 16k, o6K et 16l, p6L,

ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoiresα_i,β_j(i), et γ_k(j(i)) et des erreurs_i,j,k,l. On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod`ele sont bien remplies, l’´etude de leur v´erification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On utilise les quantit´es scA, scB|A,scC|B|A,scR et scT OT introduites `a la section 7.1.1.

On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :

scT OT =scA+scB|A+scC|B|A+scR.

On introduit les d´egres de libert´e (Ddl) associ´es `a chaque ligne du tableau de l’ANOVA : Source Degr´es de libert´e

FacteurA n_A =I−1

FacteurB dans A nB|A=I(J−1) FacteurC dans B nC|B|A =IJ(K−1) R´esiduelle n_R=IJ K(L−1)

Totale n_{T OT} =IJ KL−1

On r´esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carr´e Moyen F D´ecision

Facteur A sc_A n_A s²_A= sc_A

n_A f_A = s²_A

s²_B|A H⁰0 ouH1⁰

Facteur B dans A scB|A nB|A s²_B|A= sc_B|A nB|A

fB|A = s²_B|A

s²_C|B|A H⁰⁰0 ouH1⁰⁰

Facteur C dans B scC|B|A nC|B|A s²_C|B|A= scC|B|A

nC|B|A

fC|B|A= s²_C|B|A

s²_R H⁰⁰⁰0 ouH1⁰⁰⁰

R´esiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R

n_R

Totale sc_{T OT} n_{T OT}

On souhaite faire les tests d’hypoth`ese suivants : H⁰0 : σ²_A= 0

contre H⁰1 :σ_A² 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, f_A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aI−1 etI(J−1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur f<sub>A</sub> est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

H⁰⁰₀ : σ²_B|A = 0 contre H1⁰⁰ : σ_B|A² 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>00</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur B dans A et lorsque les conditions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fB|A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aI(J−1) etIJ(K−1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur fB|A est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

H0⁰⁰⁰ : σ²_C|B|A= 0 contre H⁰⁰⁰1 : σ_C|B|A² 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulleH<sup>000</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet du facteurC dansB et lorsque les conditions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fC|B|A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `a IJ(K −1) et IJ K(L− 1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeurfC|B|A est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

Les estimations µ,b σc²_A,σd_B|A² , σ\_C|B|A² , σb² des param`etres µ,σ<sub>A</sub><sup>2</sup>,σ<sub>B|A</sub><sup>2</sup> , σ<sup>2</sup><sub>C|B|A</sub>, σ<sup>2</sup> du mod`ele se d´eduisent des formules suivantes :

bµ=y•,•,•,• =y, σc²_A= 1

J KL s²_A−s²_B|A ,

σd²_B|A = 1

KL s²_B|A−s²_C|B|A ,

σ\²_C|B|A= 1

L s²_C|B|A−s²_R ,

σb² = sc_R

IJ K(L−1) =s²_R.

7.3. Mod` eles ` a effets mixtes

7.3.1. Avec r´ep´etitions

Premier cas : Deux facteurs sont `a effets fixes et un facteur est `a effets al´eatoires.

Un facteur contrˆol´e A se pr´esente sous I modalit´es, chacune d’entre elles ´etant not´eeA_i. Un facteur contrˆol´eBse pr´esente sousJ modalit´es, chacune d’entre elles d´ependant du ni-veauA_i du facteurAet ´etant alors not´eeB_j(i). Nous admettrons que les effets desC_k(j(i)), lesγ_k(j(i)), sont distribu´es suivant une loi normale centr´ee de varianceσ_C|B|A² . Pour chacun des couples de modalit´es (A_i, B_j(i), C_k(j(i))) on effectue L > 2 mesures d’une r´eponse Y qui est une variable continue. On note n = I ×J ×K ×L le nombre total de mesures ayant ´et´e effectu´ees.

On introduit le mod`ele :

Y_i,j,k,l =µ+α_i+β_j(i)+γ_k(j(i))+_i,j,k,l, i= 1. . . I, j= 1. . . J, k= 1. . . K, l= 1. . . L, avec les contraintes suppl´ementaires

I

X

i=1

α_i = 0,

J

X

j=1

β_j(i) = 0, ∀i∈ {1, . . . , I}, o`uYi,j,k,l est la valeur prise par la r´eponse Y dans les conditions (Ai, Bj(i), Ck(j(i))) lors du l−`eme essai. On suppose que :

L γ_k(j(i))

=N(0, σ²_C|B|A), ∀ (i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k6K, ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoiresγk(j(i)).

On postule les hypoth`eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k, l),16i6I, 16j 6J, 16k6K, 16l 6L, L(_i,j,k,l) =N(0, σ²), Cov(_i,j,k,l, _m,n,o,p) = 0 si (i, j, k, l)6= (m, n, o, p)

avec 16i, m6I, 16j, n6J, 16k, o6K et 16l, p6L, ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoiresγ_k(j(i)) et des erreurs_i,j,k,l.

On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod`ele sont bien remplies, l’´etude de leur v´erification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On utilise les quantit´es sc_A, scB|A,scC|B|A,sc_R et sc_{T OT} introduites `a la section 7.1.1.

On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :

sc_{T OT} =sc_A+scB|A+scC|B|A+sc_R.

On introduit les d´egres de libert´e (Ddl) associ´es `a chaque ligne du tableau de l’ANOVA : Source Degr´es de libert´e

FacteurA n_A =I−1

FacteurB dans A nB|A=I(J−1) FacteurC dans B nC|B|A =IJ(K−1) R´esiduelle n_R=IJ K(L−1)

Totale n_{T OT} =IJ KL−1

On r´esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carr´e Moyen F D´ecision

Facteur A sc_A n_A s²_A= sc_A

nA

f_A= s²_A

s²_C|B|A H⁰0 ouH1⁰

Facteur B dans A scB|A nB|A s²_B|A= scB|A

nB|A

fB|A = s²_B|A

s²_C|B|A H⁰⁰0 ouH1⁰⁰

Facteur C dans B scC|B|A nC|B|A s²_C|B|A= sc_C|B|A

n_C|B|A fC|B|A= s²_C|B|A

s²_R H⁰⁰⁰0 ouH1⁰⁰⁰

R´esiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R

n_R

Totale scT OT nT OT

On souhaite faire les tests d’hypoth`ese suivants :

H⁰0 : α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0 contre

H⁰1 : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i0 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup><sub>0</sub> pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fA est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aI−1 et IJ(K−1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur fA est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

Lorsque l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup>0 est rejet´ee on peut proc´eder `a des comparaisons multiples des diff´erents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

H⁰⁰₀ : β₁₍₁₎=β₂₍₁₎=· · ·=β_J(1) =β₁₍₂₎=· · ·=β_J(I)= 0 contre

H⁰⁰1 : Il existe (i0, j0)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J}tel que βj0(i0) 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>00</sup><sub>0</sub> pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur B dans A et lorsque les conditions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fB|A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aI(J−1) etIJ(K−1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur fB|A est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

H0⁰⁰⁰ : σ²_C|B|A= 0 contre H⁰⁰⁰1 : σ_C|B|A² 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulleH<sup>000</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet du facteurC dansB et lorsque les conditions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fC|B|A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `a IJ(K −1) et IJ K(L− 1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeurfC|B|A est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

Les estimations bµ, αc₁, . . . , cα_I, βd₁₍₁₎, . . . , βd_J(I), σ\²_C|B|A, σb² des param`etres µ, α<sub>1</sub>, . . . , α<sub>I</sub>, β<sub>1(1)</sub>, . . . ,β<sub>J(I)</sub>, σ<sub>C|B|A</sub><sup>2</sup> ,σ<sup>2</sup> du mod`ele se d´eduisent des formules suivantes :

µb=y•,•,•,• =y,

αb_i =yi,•,•,•−µ,b 16i6I,

βd_j(i) =yi,j,•,•−yi,•,•,•, 16i6I, 16j 6J, σ\_C|B|A² = 1

L s²_C|B|A−s²_R ,

σb² = sc_R

IJ K(L−1) =s²_R.

Deuxi`eme cas : Un facteur est `a effets fixes et deux facteurs sont `a effets al´eatoires.

Un facteur contrˆol´e A se pr´esente sous I modalit´es, chacune d’entre elles ´etant not´eeAi. Les β_j(i) repr´esentent un ´echantillon de taille J pr´elev´e dans une population importante d´ependant du niveau A_i du facteur A. Nous admettrons que les effets des B_j(i), les β_j(i), sont distribu´es suivant une loi normale centr´ee de variance σ_B|A² . Les γ_k(j(i)) repr´esentent

un ´echantillon de taille K pr´elev´e dans une population importante d´ependant du niveau B_j(i) du facteur B et donc du niveau A_i du facteur A. Nous admettrons que les effets des C_k(j(i)), les γ_k(j(i)), sont distribu´es suivant une loi normale centr´ee de varianceσ_C|B|A² . Pour chacun des couples de modalit´es (A_i, B_j(i), C_k(j(i))) on effectue L>2 mesures d’une r´eponse Y qui est une variable continue. On note n =I×J×K ×Lle nombre total de mesures ayant ´et´e effectu´ees.

On introduit le mod`ele :

Y_i,j,k,l =µ+α_i+β_j(i)+γ_k(j(i))+_i,j,k,l, i= 1. . . I, j= 1. . . J, k= 1. . . K, l= 1. . . L, avec les contraintes suppl´ementaires

I

X

i=1

α_i = 0,

o`uY<sub>i,j,k,l</sub> est la valeur prise par la r´eponse Y dans les conditions (A<sub>i</sub>, B<sub>j(i)</sub>, C<sub>k(j(i))</sub>) lors du l−`eme essai. On suppose que :

L β_j(i)

=N(0, σ²_B|A), ∀ (i, j),16i6I, 16j 6J, L γ_k(j(i))

=N(0, σ²_C|B|A), ∀ (i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k6K, ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoiresβ_j(i), et γ_k(j(i)).

On postule les hypoth`eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k, l),16i6I, 16j 6J, 16k6K, 16l 6L, L(_i,j,k,l) =N(0, σ²), Cov(_i,j,k,l, _m,n,o,p) = 0 si (i, j, k, l)6= (m, n, o, p)

avec 16i, m6I, 16j, n6J, 16k, o6K et 16l, p6L, ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoiresβ_j(i), et γ_k(j(i)) et des erreurs_i,j,k,l.

On suppose que les conditions d’utilisation de ce mod`ele sont bien remplies, l’´etude de leur v´erification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On utilise les quantit´es sc_A, scB|A,scC|B|A,sc_R et sc_{T OT} introduites `a la section 7.1.1.

On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :

sc_{T OT} =sc_A+sc_B|A+sc_C|B|A+sc_R.

On introduit les d´egres de libert´e (Ddl) associ´es `a chaque ligne du tableau de l’ANOVA : Source Degr´es de libert´e

FacteurA n_A =I−1

FacteurB dans A nB|A=I(J−1) FacteurC dans B nC|B|A =IJ(K−1) R´esiduelle n_R=IJ K(L−1)

Totale n_{T OT} =IJ KL−1

On r´esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carr´e Moyen F D´ecision

Facteur A sc_A n_A s²_A= sc_A

nA

f_A = s²_A

s²_B|A H⁰0 ouH1⁰

Facteur B dans A scB|A nB|A s²_B|A= scB|A

nB|A

fB|A = s²_B|A

s²_C|B|A H⁰⁰0 ouH1⁰⁰

Facteur C dans B scC|B|A nC|B|A s²_C|B|A= sc_C|B|A

n_C|B|A fC|B|A= s²_C|B|A

s²_R H⁰⁰⁰0 ouH1⁰⁰⁰

R´esiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R

n_R

Totale scT OT nT OT

On souhaite faire les tests d’hypoth`ese suivants :

H⁰0 : α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0 contre

H⁰1 : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i0 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup><sub>0</sub> pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fA est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `a I−1 et I(J −1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur fA est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

Lorsque l’hypoth`ese nulle H<sup>0</sup>0 est rejet´ee on peut proc´eder `a des comparaisons multiples des diff´erents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

H⁰⁰₀ : σ²_B|A = 0 contre H1⁰⁰ : σ_B|A² 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulle H<sup>00</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet du facteur B dans A et lorsque les conditions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, fB|A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `aI(J−1) etIJ(K−1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur fB|A est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

H0⁰⁰⁰ : σ²_C|B|A= 0 contre H⁰⁰⁰1 : σ_C|B|A² 6= 0.

Sous l’hypoth`ese nulleH<sup>000</sup>0 pr´ec´edente d’absence d’effet du facteurC dansB et lorsque les conditions de validit´e du mod`ele sont respect´ees, f_C|B|A est la r´ealisation d’une variable al´eatoire qui suit une loi de Fisher `a IJ(K −1) et IJ K(L− 1) degr´es de libert´e. On conclut alors `a l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inf´erieure ou ´egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeurf<sub>C|B|A</sub> est sup´erieure ou ´egale `a la valeur critique issue de la table.

Les estimationsµ,b cα₁, . . . ,cα_I,σd_B|A² ,σ\_C|B|A² ,σb² des param`etresµ,α<sub>1</sub>, . . . ,α<sub>I</sub>,σ<sup>2</sup><sub>B|A</sub>,σ<sub>C|B|A</sub><sup>2</sup> , σ<sup>2</sup> du mod`ele se d´eduisent des formules suivantes :

bµ=y•,•,•,• =y,

αb_i =yi,•,•,•−bµ, 16i6I, σd²_B|A = 1

KL s²_B|A−s²_C|B|A ,

σ\²_C|B|A= 1

L s²_C|B|A−s²_R ,

σb² = sc_R

IJ K(L−1) =s²_R.

8. Analyse de la variance ` a trois facteurs

Dans le document Quelques mod`eles d’analyse de la variance. (Page 91-104)