Analyse de la variance ` a trois facteurs

σb² = SC_R

(I−1)(J −1) =S_R², o`u S_B|A² = SCB|A

nB|A

etS_R² = SC_R n_R . Ce sont des estimateurs sans biais.

Les estimations, obtenues pour la liste de données y et notées bµ(y), cα₁(y), . . . , αc_I(y), σd_B|A² (y),σb²(y), des paramètresµ,α₁, . . . ,α_I,σ²_B|A,σ² du modèle se déduisent des formules ci-dessus :

µ(y) =b y•,•,• =y, αb_i(y) =yi,•,•−bµ(y), 16i6I, σd_B|A² (y) = 1

K s²_B|A−s²_R ,

σb²(y) = sc_R

(I−1)(J−1) =s²_R.

6. Analyse de la variance ` a trois facteurs

Dans toute cette section, on utilise les notations d´efinies `a la section 1.

6.1. Mod` eles ` a effets fixes

6.1.1. Sans r´ep´etition

Un facteur contrôlé A se présente sous I modalités, chacune d’entre elles étant notéeAi. Un facteur contrôléB se présente sous J modalités, chacune d’entre elles étant notéeB_j. Un facteur contrôléC se présente sousK modalités, chacune d’entre elles étant notéeC_k. Pour chacun des couples de modalités (Ai, Bj, Ck) on effectue une mesure d’une réponse Y qui est une variable continue. On noten =I×J×K le nombre total de mesures ayant

et´e effectu´ees.

On introduit le mod`ele : les hypoth`eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k 6K, L(_i,j,k) =N(0, σ²),

Cov(_i,j,k, _l,m,n) = 0 si (i, j, k)6= (l, m, n) avec 16i, l 6I, 16j, m6J et 16k, n6K.

On suppose que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies, l’étude de leur vérification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On rappelle que la variation due au facteur A est d´efinie par : scA=J K

i=1

(yi,•,•−y•,•,•)². On rappelle que la variation due au facteur B est d´efinie par :

sc_B =IK

j=1

(y•,j,•−y•,•,•)². On rappelle que la variation due au facteur C est d´efinie par :

sc_C =IJ

k=1

(y•,•,k −y•,•,•)².

On rappelle que la variation due `a l’interaction des facteurs A et B est d´efinie par : sc_AB =K

On rappelle que la variation due `a l’interaction des facteurs B et C est d´efinie par :

On rappelle que la variation due à l’interaction des facteurs A et C est définie par : sc_AC =J La variation résiduelle est quant à elle définie par :

sc_R=

Enfin la variation totale est ´egale `a : sc_{T OT} =

On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :

sc_{T OT} =sc_A+sc_B+sc_C +sc_AB +sc_AC+sc_BC +sc_R.

On introduit les dégres de liberté (Ddl) associés à chaque ligne du tableau de l’ANOVA : Source Degrés de liberté

Facteur A n_A=I−1

On r´esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carr´e Moyen F D´ecision

Facteur A sc_A n_A s²_A= sc_A

f_A = s²_A

s²_R H0⁰ ou H⁰1

Facteur B sc_B n_B s²_B= scB

n_B f_B = s²_B

s²_R H⁰⁰0 ou H⁰⁰1

Facteur C sc_C n_C s²_C = sc_C

n_C f_C = s²_C

s²_R H⁰⁰⁰0 ou H⁰⁰⁰1

Interaction AB scAB nAB s²_AB = sc_AB

n_AB fAB = s²_AB

s²_R H0⁽⁴⁾ ou H⁽⁴⁾1

Interaction AC sc_AC n_AC s²_AC = sc_AC

n_AC f_AC = s²_AC

s²_R H₀⁽⁵⁾ ou H⁽⁵⁾₁

Interaction BC sc_BC n_BC s²_BC = sc_BC

n_BC f_BC = s²_BC

s²_R H0⁽⁶⁾ ou H⁽⁶⁾1

R´esiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R n_R

Totale sc_{T OT} n_{T OT}

On souhaite faire les tests d’hypoth`ese suivants :

H⁰0 : α1 =α2 =· · ·=αI = 0 contre

H⁰1 : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i₀ 6= 0.

Sous l’hypothèse nulle H⁰₀ précédente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, fA est la réalisation d’une variable aléatoire

qui suit une loi de Fisher à I−1 et (I−1)(J−1)(K−1) degrés de liberté. On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_A est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulleH⁰0 est rejetée on peut procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

H0⁰⁰ :β₁ =β₂ =· · ·=β_J = 0 contre

H⁰⁰₁ : Il existe j₀ ∈ {1,2, . . . , J}tel que β_j₀ 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH0⁰⁰ précédente d’absence d’effet du facteurB et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_B est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à J−1 et (I−1)(J−1)(K−1) degrés de liberté. On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeurf_B est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulle H0⁰⁰ est rejetée on peut procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

H0⁰⁰⁰ :γ1 =γ2 =· · ·=γK = 0 contre

H⁰⁰⁰₁ : Il existe k₀ ∈ {1,2, . . . , K} tel que γ_k₀ 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰⁰⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur C et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_C est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher àK−1 et (I−1)(J−1)(K−1) degrés de liberté. On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeurf_C est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulle H⁰⁰⁰0 est rejetée on peut procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

H⁽⁴⁾₀ : (αβ)_1,1 = (αβ)_1,2 =· · ·= (αβ)_1,J = (αβ)_2,1 =· · ·= (αβ)_I,J = 0 contre

H1⁽⁴⁾ : Il existe (i₀, j₀)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} tel que (αβ)_i₀_,j₀ 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁽⁴⁾0 précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteursA et B et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_AB est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I−1)(J−1) et (I−1)(J−1)(K−1) degrés de liberté. On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou

egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur f_AB est sup´erieure ou

egale `a la valeur critique issue de la table.

H⁽⁵⁾0 : (αγ)_1,1 = (αγ)_1,2 =· · ·= (αγ)_1,K = (αγ)_2,1 =· · ·= (αγ)_I,K = 0 contre

H⁽⁵⁾1 : Il existe (i0, k0)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , K} tel que (αγ)i0,k0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁽⁵⁾0 précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteursA et C et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_AC est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I−1)(K−1) et (I−1)(J−1)(K−1) degrés de liberté. On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou

egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur f_AC est sup´erieure ou

egale `a la valeur critique issue de la table.

H⁽⁶⁾0 : (βγ)1,1 = (βγ)1,2 =· · ·= (βγ)1,K = (βγ)2,1 =· · ·= (βγ)J,K = 0 contre

H⁽⁶⁾1 : Il existe (j₀, k₀)∈ {1,2, . . . , J} × {1,2, . . . , K} tel que (βγ)_j₀_,k₀ 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH0⁽⁶⁾ précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteursB et C et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_BC est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (J−1)(K−1) et (I−1)(J−1)(K−1) degrés de liberté. On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou

egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur f_BC est sup´erieure ou

egale `a la valeur critique issue de la table.

Les estimations µ,b cα₁, . . . , cα_I, βb₁, . . . , cβ_J, γb₁, . . . , γc_K, (αβ\)_1,1, . . . , (αβ)\_I,J, (αγ\)_1,1, . . . , (αγ)\_I,K, (βγ)\_1,1, . . . , (βγ)\_J,K, σb² des paramètres µ, α₁, . . . , α_I, β₁, . . . , β_J, γ₁, . . . , γ_K, (αβ)_1,1, . . . , (αβ)_I,J, (αγ)_1,1, . . . , (αγ)_I,K, (βγ)_1,1, . . . , (βγ)_J,K,σ² du modèle se déduisent des formules suivantes :

bµ=y•,•,• =y,

αb_i =yi,•,•−µ,b 16i6I, βb_j =y•,j,•−µ,b 16j 6J, γb_k =y•,•,k−µ,b 16k 6K, (αβ\)_i,j =yi,j,•−yi,•,•−y•,j,•+µ,b 16i6I, 16j 6J,

(αγ\)_i,k =yi,•,k−yi,•,•−y•,•,k+bµ, 16i6I, 16k 6K, (βγ)\_j,k =y•,j,k−y•,j,•−y•,•,k+bµ, 16j 6J, 16k6K, σb² = sc_R

(I−1)(J−1)(K−1) =s²_R.

6.1.2. Avec r´ep´etitions

Un facteur contrôlé A se présente sous I modalités, chacune d’entre elles étant notéeA_i. Un facteur contrôléB se présente sous J modalités, chacune d’entre elles étant notéeB_j. Un facteur contrôléC se présente sousK modalités, chacune d’entre elles étant notéeC_k. Pour chacun des couples de modalités (A_i, B_j, C_k) on effectueL>2 mesures d’une réponse Y qui est une variable continue. On note n =I×J ×K×Lle nombre total de mesures ayant été effectuées.

On introduit le mod`ele :

Y_i,j,k,l =µ+α_i+β_j +γ_k+ (αβ)_i,j+ (αγ)_i,k+ (βγ)_j,k+ (αβγ)_i,j,k+_i,j,k,l, essai. On postule les hypoth`eses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k, l),16i6I, 16j 6J, 16k6K, 16l 6L, L(_i,j,k,l) =N(0, σ²), Cov(_i,j,k,l, _m,n,o,p) = 0 si (i, j, k, l)6= (m, n, o, p)

avec 16i, m6I, 16j, n6J, 16k, o6K et 16l, p6L.

On suppose que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies, l’étude de leur vérification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On rappelle que la variation due au facteur A est d´efinie par : On rappelle que la variation due au facteur B est d´efinie par :

scB=IKL

j=1

(y•,j,•,•−y•,•,•,•)². On rappelle que la variation due au facteur C est d´efinie par :

sc_C =IJ L

k=1

(y•,•,k,• −y•,•,•,•)².

On rappelle que la variation due `a l’interaction des facteurs A et B est d´efinie par : sc_AB =KL

On rappelle que la variation due `a l’interaction des facteurs B et C est d´efinie par : scBC =IL

On rappelle que la variation due `a l’interaction des facteurs A et C est d´efinie par : sc_AC =J L

La variation due à l’interaction d’ordre 2 entre les facteursA, B et C est définie par : sc_R=L La variation résiduelle est quant à elle définie par :

scR=L Enfin la variation totale est ´egale `a :

sc_{T OT} = On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :

sc_{T OT} =sc_A+sc_B+sc_C +sc_AB +sc_AC+sc_BC +sc_ABC+sc_R.

On introduit les dégres de liberté (Ddl) associés à chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Source Degr´es de libert´e

FacteurA n_A=I −1

FacteurB n_B =J−1

FacteurC n_C =K−1

InteractionAB n_AB = (I−1)(J −1) InteractionAC n_AC = (I−1)(K−1) InteractionBC n_BC = (J −1)(K−1) InteractionABC n_ABC = (I−1)(J−1)(K−1) R´esiduelle n_R=IJ K(L−1)

Totale n_{T OT} =IJ KL−1

On r´esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carr´e Moyen F D´ecision

Facteur A sc_A n_A s²_A= sc_A

f_A= s²_A

s²_R H0⁰ ou H⁰1

Facteur B sc_B n_B s²_B = scB

n_B f_B = s²_B

s²_R H⁰⁰0 ou H⁰⁰1

Facteur C sc_C n_C s²_C = sc_C

n_C f_C = s²_C

s²_R H⁰⁰⁰0 ou H⁰⁰⁰1

Interaction AB scAB nAB s²_AB = sc_AB

n_AB fAB = s²_AB

s²_R H0⁽⁴⁾ ou H⁽⁴⁾1

Interaction AC sc_AC n_AC s²_AC = sc_AC

n_AC f_AC = s²_AC

s²_R H₀⁽⁵⁾ ou H⁽⁵⁾₁

Interaction BC sc_BC n_BC s²_BC = sc_BC

n_BC f_BC = s²_BC

s²_R H0⁽⁶⁾ ou H⁽⁶⁾1

Interaction ABC sc_ABC n_ABC s²_ABC = sc_ABC

n_ABC f_ABC = s²_ABC

s²_R H0⁽⁷⁾ ou H⁽⁷⁾1

R´esiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R n_R

Totale scT OT nT OT

On souhaite faire les tests d’hypoth`ese suivants :

H⁰0 : α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0 contre

H⁰₁ : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i₀ 6= 0.

Sous l’hypothèse nulle H⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, fA est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher àI−1 etIJ K(L−1) degrés de liberté. On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur fA est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

Lorsque l’hypothèse nulle H⁰0 est rejetée on peut procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

H0⁰⁰ :β₁ =β₂ =· · ·=β_J = 0 contre

H⁰⁰1 : Il existe j₀ ∈ {1,2, . . . , J}tel que β_j₀ 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH0⁰⁰ précédente d’absence d’effet du facteurB et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_B est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher àJ−1 etIJ K(L−1) degrés de liberté. On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_B est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

Lorsque l’hypothèse nulle H⁰⁰0 est rejetée on peut procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

H0⁰⁰⁰ :γ₁ =γ₂ =· · ·=γ_K = 0 contre

H⁰⁰⁰1 : Il existe k₀ ∈ {1,2, . . . , K} tel que γ_k₀ 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰⁰⁰₀ précédente d’absence d’effet du facteur C et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_C est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher àK−1 etIJ K(L−1) degrés de liberté. On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_C est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

Lorsque l’hypothèse nulle H⁰⁰⁰0 est rejetée on peut procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir la section 10.

H⁽⁴⁾0 : (αβ)_1,1 = (αβ)_1,2 =· · ·= (αβ)_1,J = (αβ)_2,1 =· · ·= (αβ)_I,J = 0 contre

H1⁽⁴⁾ : Il existe (i0, j0)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} tel que (αβ)i0,j0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁽⁴⁾0 précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteursA et B et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_AB est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I−1)(J−1) et IJ K(L−1) degrés de liberté. On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_AB est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

H⁽⁵⁾0 : (αγ)_1,1 = (αγ)_1,2 =· · ·= (αγ)_1,K = (αγ)_2,1 =· · ·= (αγ)_I,K = 0 contre

H⁽⁵⁾1 : Il existe (i₀, k₀)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , K} tel que (αγ)_i₀_,k₀ 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁽⁵⁾0 précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteursA et C et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_AC est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I−1)(K−1) et IJ K(L−1) degrés de liberté. On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_AC est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

H⁽⁶⁾0 : (βγ)_1,1 = (βγ)_1,2 =· · ·= (βγ)_1,K = (βγ)_2,1 =· · ·= (βγ)_J,K = 0 contre

H⁽⁶⁾1 : Il existe (j₀, k₀)∈ {1,2, . . . , J} × {1,2, . . . , K} tel que (βγ)_j₀_,k₀ 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH0⁽⁶⁾ précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteursB et C et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_BC est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (J−1)(K−1) etIJ K(L−1) degrés de liberté. On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_BC est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

H⁽⁷⁾0 : (αβγ)_1,1,1 = (αβγ)_1,1,2 =· · ·= (αβγ)_1,1,K = (αβγ)_2,1,1 =· · ·= (αβγ)_I,J,K = 0 contre

H1⁽⁷⁾ :∃ (i₀, j₀, k₀)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} × {1,2, . . . , K} |(αβγ)_i₀_,j₀_,k₀ 6= 0.

Sous l’hypothèse nulle H⁽⁷⁾0 précédente d’absence d’effet de l’interaction, d’ordre 3, des facteurs A, B et C et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, f_ABC est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I−1)(J−1)(K−1) et IJ K(L−1) degrés de liberté. On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est

inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_ABC est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

Les estimations µ,b cα₁, . . . , cα_I, βb₁, . . . , cβ_J, γb₁, . . . , γc_K, (αβ\)_1,1, . . . , (αβ)\_I,J, (αγ\)_1,1, . . . , (αγ)\_I,K,(βγ)\_1,1, . . . ,(βγ)\_J,K,(αβγ)\_1,1,1, . . . ,(αβγ)\_I,J,K,σb² des paramètres µ,α₁, . . . ,α_I, β₁, . . . , β_J, γ₁, . . . , γ_K, (αβ)_1,1, . . . , (αβ)_I,J, (αγ)_1,1, . . . , (αγ)_I,K, (βγ)_1,1, . . . , (βγ)_J,K, (αβγ)_1,1,1, . . . , (αβγ)_I,J,K, σ² du modèle se déduisent des formules suivantes :

µb=y•,•,•,• =y,

αbi =yi,•,•,•−µ,b 16i6I, βbj =y•,j,•,•−µ,b 16j 6J, γbk =y•,•,k,•−bµ, 16k6K, (αβ)\_i,j =y_i,j,•,•−y_{i,•,•,•}−y_{•,j,•,•}+µ,b 16i6I, 16j 6J,

(αγ)\_i,k =y_i,•,k,•−y_{i,•,•,•}−y_{•,•,k,•}+µ,b 16i6I, 16k 6K, (βγ)\_j,k =y_•,j,k,•−y_{•,j,•,•}−y_{•,•,k,•}+µ,b 16j 6J, 16k 6K,

(αβγ)\_i,j,k =yi,j,k,•−yi,j,•,•−yi,•,k,•−y•,j,k,•+yi,•,•,•+y•,j,•,•+y•,•,k,•−µ,b 16i6I, 16j 6J, 16k 6K,

σb² = scR

(I−1)(J−1)(K −1) =s²_R.

6.2. Mod` eles ` a effets al´ eatoires

6.2.1. Sans r´ep´etition

Les α_i représentent un échantillon de taille I prélevé dans une population importante.

Nous admettrons que les effets des A_i, les α_i, sont distribués suivant une loi normale centrée de variance σ_A². Les β_j représentent un échantillon de taille J prélevé dans une population importante. Nous admettrons que les effets des B_j, les β_j, sont distribués sui-vant une loi normale centrée de variance σ_B². Les γ_k représentent un échantillon de taille K prélevé dans une population importante. Nous admettrons que les effets desC_k, lesγ_k, sont distribués suivant une loi normale centrée de variance σ²_C. Pour chacun des couples de modalités (A_i, B_j, C_k) on effectue une mesure d’une réponse Y qui est une variable continue. On note n=I×J×K le nombre total de mesures ayant été effectuées.

On introduit le mod`ele :

Y_i,j,k =µ+α_i+β_j +γ_k+ (αβ)_i,j+ (αγ)_i,k+ (βγ)_j,k+_i,j,k, i= 1. . . I, j = 1. . . J, k = 1. . . K,

o`u Yi,j,k est la valeur prise par la r´eponse Y dans les conditions (Ai, Bj, Ck). On suppose

que :

L(α_i) =N(0, σ²_A), ∀i,16i6I, L(β_j) =N(0, σ²_B), ∀ j,16j 6J, L(γk) = N(0, σ_C²), ∀ k,16k 6K,

L((αβ)_i,j) =N(0, σ_AB² ), ∀ (i, j),16i6I, 16j 6J, L((αγ)_i,k) =N(0, σ²_AC), ∀ (i, k),16i6I, 16k6K, L((βγ)_j,k) = N(0, σ_BC² ), ∀(j, k),16j 6J, 16k6K,

ainsi que l’indépendance des effets aléatoiresα_i,β_j, γ_k, (αβ)_i,j, (αγ)_i,k et (βγ)_j,k. On postule les hypothèses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k 6K, L(_i,j,k) =N(0, σ²),

Cov(_i,j,k, _l,m,n) = 0 si (i, j, k)6= (l, m, n) avec 16i, l 6I, 16j, m6J et 16k, n6K, ainsi que l’ind´ependance des effets al´eatoires α_i, β_j, γ_k, (αβ)_i,j, (αγ)_i,k et (βγ)_j,k et des erreurs _i,j,k.

On suppose que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies, l’étude de leur vérification fera l’objet d’un autre paragraphe.

On utilise les quantit´es sc_A, sc_B, sc_C, sc_AB, sc_AC, sc_BC, sc_R et sc_{T OT} introduites `a la section 6.1.1.

On rappelle la relation fondamentale de l’ANOVA :

sc_{T OT} =sc_A+sc_B+sc_C +sc_AB +sc_AC+sc_BC +sc_R.

On introduit les dégres de liberté (Ddl) associés à chaque ligne du tableau de l’ANOVA : Source Degrés de liberté

Facteur A n_A=I−1

Facteur B n_B=J−1

Facteur C n_C =K−1

Interaction AB n_AB = (I−1)(J−1) Interaction AC n_AC = (I−1)(K−1) Interaction BC n_BC = (J−1)(K −1) R´esiduelle n_R= (I−1)(J −1)(K−1)

Totale n_{T OT} =IJ K −1

On r´esume ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carr´e Moyen F D´ecision

Facteur A sc_A n_A s²_A= scA

n_A f_A= s²_A

s²_AB+s²_AC−s²_R H⁰0 ouH⁰1

Facteur B sc_B n_B s²_B = sc_B

n_B f_B = s²_B

s²_AB+s²_BC −s²_R H⁰⁰0 ouH⁰⁰1

Facteur C scC nC s²_C = sc_C

n_C fC = s²_C

s²_AC+s²_BC −s²_R H0⁰⁰⁰ ouH⁰⁰⁰1

Interaction AB sc_AB n_AB s²_AB = sc_AB

n_AB f_AB = s²_AB

s²_R H⁽⁴⁾₀ ouH⁽⁴⁾₁

Interaction AC sc_AC n_AC s²_AC = sc_AC

n_AC f_AC = s²_AC

s²_R H⁽⁵⁾0 ouH⁽⁵⁾1

Interaction BC sc_BC n_BC s²_BC = sc_BC

n_BC f_BC = s²_BC

s²_R H⁽⁶⁾0 ouH⁽⁶⁾1

R´esiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R n_R

Totale scT OT nT OT

On souhaite faire les tests d’hypoth`ese suivants : H⁰0 : σ²_A= 0

contre H⁰₁ :σ_A² 6= 0.

Sous l’hypothèse nulle H⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_A est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit approximativement⁵ une loi de Fisher àI −1 et n⁰ degrés de liberté avec :

n⁰ = (s²_AB+s²_AC−s²_R)² s²_AB2

(I−1)(J−1) + s²_AC2

(I−1)(K −1)+ s²_R2

(I−1)(J−1)(K −1) .

On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur fA est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

H₀⁰⁰ : σ_B² = 0 contre H⁰⁰1 : σ²_B 6= 0.

n⁰⁰ = (s²_AB+s²_BC −s²_R)² s²_AB2

(I−1)(J−1)+ s²_BC2

(J−1)(K−1) + s²_R2

(I−1)(J−1)(K−1) .

On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur fB est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

H⁰⁰⁰0 : σ_C² = 0 contre H₁⁰⁰⁰ :σ_C² 6= 0.

n⁰⁰⁰ = (s²_AC+s²_BC−s²_R)² s²_AC2

(I−1)(K−1)+ s²_BC2

(J−1)(K −1) + s²_R2

(I−1)(J−1)(K −1) .

5On utilise ici l’approximation dite de Satterthwaite.

On conclut alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_C est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

H⁽⁴⁾0 : σ²_AB = 0 contre H⁽⁴⁾1 :σ_AB² 6= 0.

egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur f_AB est sup´erieure ou

egale `a la valeur critique issue de la table.

H⁽⁵⁾0 : σ_AC² = 0 contre H⁽⁵⁾₁ : σ²_AC 6= 0.

egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur f_AC est sup´erieure ou

egale `a la valeur critique issue de la table.

H⁽⁶⁾0 : σ²_BC = 0 contre H1⁽⁶⁾ : σ_BC² 6= 0.

egale au seuil α du test, ou `a l’aide d’une table, rejet si la valeur f_BC est sup´erieure ou

egale `a la valeur critique issue de la table.

Les estimations µ,b σc_A², σc_B², σc_C², σd_AB² , σd²_AC, σd²_BC, σb² des paramètres µ, σ_A², σ²_B, σ²_C, σ_AB² , σ_AC² , σ_BC² , σ² du modèle se déduisent des formules suivantes :

µb=y•,•,• =y, σc²_A= 1

J K s²_A−s²_AB−s²_AC +s²_R ,

σc²_B = 1

IK s²_B−s²_AB−s²_BC +s²_R ,

σc²_C = 1

IJ s²_C−s²_AC −s²_BC +s²_R ,

σd²_AB = 1

K s²_AB −s²_R ,

σd²_AC = 1

J s²_AC−s²_R ,

σd²_BC = 1

I s²_BC −s²_R ,

σb² = sc_R

(I−1)(J −1)(K−1) =s²_R.

Remarque 6.1. Ainsi lorsque les trois facteurs sont al´eatoires, et que l’on cherche `a

Dans le document Quelques mod`eles d’analyse de la variance. (Page 47-91)