Mod` ele Hook´ een

Dans le mod`ele Hook´een, on utilise une densit´e volumique d’´energie W :

W = ¹

2^{λ tr (E )}

2

et donc en int´egrant sur le t´etra`edre :

W = ^λV

2 ^{tr (E )}

2

Alors on obtient pour la force :

F_k= ^∂W

∂P_k ^{= λV tr (E )}

∂ tr (E ) ∂P_k Et avec le calcul effectu´e au-dessus, cela donne :

Fk= − ^λ

36V ^{tr (E )} X

i6=j

Kij(Pi− Pj)

Ces diff´erents mod`eles ont ´et´e test´es, mais leur utilisation n´ecessite l’ajout d’une contrainte d’incompressibilit´e pour garantir une conservation du volume. En effet, il faut empˆecher le mod`ele de tendre vers 0, ce qui minimise l’´energie et est donc la tendance naturelle de ces mod`eles.

Et la stabilisation de ces mod`eles n´ecessite alors des pas de temps tr`es faibles, qui ne sont pas compatibles avec la simulation sur un cycle entier. C’est pourquoi actuellement

C.2. Mod`eles de mat´eriau

nous utilisons l’´elasticit´e lin´eaire, en attendant de mettre en place une formulation non-lin´eaire satisfaisante.

Annexe D

Actions de Recherche Coop´erative

ICEMA et ICEMA-2

Le but d’ICEMA est une mod´elisation du cœur en associant des mesures de l’activit´e ´electrique du cœur et de son activit´e m´ecanique par l’imagerie m´edicale 4D pour obtenir une repr´esentation dynamique de l’activit´e ´electrom´ecanique cardiaque ainsi que la mise en place d’un sch´ema de r´etroaction pour adapter les param`etres du mod`ele aux donn´ees du patient [Ayache et al., 2001; Sermesant et al., 2002b]. Ces mesures dynamiques, obser-vables chez l’homme de mani`ere non invasive, sont le reflet macroscopique du couplage `a l’´echelle de la cellule musculaire cardiaque entre excitation ´electrique et contraction m´ e-canique, couplage pour lequel ICEMA dispose d’un mod`ele math´ematique d´evelopp´e par des membres de cette action (projet Sosso). Pour ˆetre complet, ce syst`eme devrait ˆetre ferm´e en l’int´egrant dans un mod`ele de la circulation compl`ete, dont ICEMA dispose ´ ega-lement sous forme d’un syst`eme `a variables macroscopiques et partiellement observables, command´e par un contrˆoleur ext´erieur au syst`eme cardio-vasculaire : le Syst`eme Nerveux Autonome (SNA).

De la repr´esentation ´electrom´ecanique cardiaque ainsi obtenue, valid´ee par des mesures ´electrocardiographiques et d’imagerie 4D, pourront alors ˆetre extraits des param`etres de nature physiologique qui seront utiles au physiologiste et au clinicien. Le suivi de ces param`etres leur permettra `a terme :

1. de mieux expliquer le fonctionnement du couplage excitation-contraction dans le cœur ;

2. de faciliter le diagnostic de certaines pathologies du syst`eme cardio-vasculaire et de son contrˆoleur ;

3. de proposer des lois de commande ´electriques et de calibration pour stimulateur cardiaque artificiel implantable (pacemaker) suppl´eant `a des dysfonctionnements de l’activit´e ´electrique du cœur ou de son contrˆole par le SNA.

par ce programme de recherche. On peut en particulier citer :

– les troubles du rythme et de la conduction (cons´equences h´emodynamiques d’un trouble du rythme ou d’une anomalie du tissu nodal) ;

– l’insuffisance cardiaque (inefficacit´e de la pompe par faiblesse de la contractilit´e myocardique) ;

– le post-infarctus : ´evaluation des cons´equences ´electriques et m´ecaniques d’un in-farctus (classiquement, les inin-farctus du cœur droit donnent plutˆot des troubles de la conduction, et les infarctus du cœur gauche des troubles de la contraction : peut on faire pr´ecis´ement la part des choses?) ;

– les anomalies du contrˆoleur (le SNA). Certaines syncopes (dites « vasovagales ») sont dues `a un dysfonctionnement du contrˆoleur, en particulier des m´ecano-r´ecepteurs. Elles peuvent actuellement ˆetre pr´evenues par l’implantation de stimulateurs sen-sibles `a l’acc´el´eration des fibres musculaires cardiaques (boucle m´ecano-´electrique). Une am´elioration de la commande de tels stimulateurs aurait des cons´equences im-portantes dans le traitement de ces syncopes.

Ces travaux se poursuivent dans le cadre d’ICEMA-21 avec de nouveaux partenaires. L’objectif est toujours la mise au point d’un dispositif utilisant des mesures cardiaques in vivo (activit´e ´electrique et d´eformations) pour recaler des mod`eles du comportement ´

electrom´ecanique du cœur afin de simuler trois champs : l’excitation ´electrique (potentiel d’action), les d´eformations et les contraintes du muscle cardiaque d’un patient.

Mais trois directions nouvelles et indispensables, du point de vue m´ethodologique, pour atteindre l’objectif fix´e sont suivies :

– la mod´elisation et la simulation de l’activit´e ´electrique qui va fournir l’entr´ee du mod`ele ´electrom´ecanique actuel et permettre d’envisager l’assimilation des mesures ´electriques. Les choix de mod´elisation seront guid´es par une « cible clinique » pr´ecise : la dysplasie arythmog`ene du ventricule droit. Il s’agira que les mod`eles retenus aident `

a comprendre ce qui se passe dans cette situation o`u interviennent des troubles de la conduction ;

– les techniques d’assimilation de donn´ees g´eom´etriques, m´ecaniques et ´electriques adapt´ees `a la situation pr´esente. Le tr`es grand nombre de variables d’´etat `a estimer (plusieurs millions pour une discr´etisation « raisonnable » des trois champs qui nous int´eressent) fait que ce probl`eme d’assimilation est d’une difficult´e comparable `a celle rencontr´ee en m´et´eorologie par exemple ;

– la parall´elisation des calculs de simulation pour atteindre des temps de calcul rai-sonnables.

La composition de l’´equipe ICEMA-2 a ´et´e adapt´ee pour mener ces travaux. Dans le mod`ele ´electrom´ecanique que nous pr´esentons ici, c’est principalement la troisi`eme direc-tion (parall´elisation) qui est concern´ee, en effet dans le but d’aide au diagnostic et de simulation que nous nous sommes fix´es, le temps de calcul est pr´epond´erant.

D.1. Objectifs

D.1 Objectifs

La r´esolution num´erique d’un mod`ele du cœur permet d’obtenir la valeur de chacune des variables d’´etat en tout point et `a tout instant, les r´esultats d´ependant alors essen-tiellement de l’acuit´e du mod`ele. Mˆeme si le fonctionnement du syst`eme cardio-vasculaire et de ses r´egulations est complexe, il est possible d’envisager l’existence d’une description assez fine pour que les simulations puissent correspondre pr´ecis´ement aux ph´enom`enes m´ecaniques et physiologiques. Mais alors, le tr`es grand nombre de param`etres d’un tel mod`ele et la difficult´e de leur identification ne permettent pas l’obtention de simulations r´ealistes.

Parall`element, les diverses mesures in vivo de l’activit´e cardiaque (´electrique et cin´ e-matique) sont bruit´ees, d´elicates `a obtenir et avec un ´echantillonnage spatial et temporel faible, ce qui rend leur interpr´etation et donc le diagnostic malais´e. Il est ainsi particuli` e-rement important, `a partir de mesures ´eparses dans l’espace et dans le temps, de pouvoir remonter `a une connaissance globale de l’organe et de son activit´e.

En outre certaines grandeurs telles contraintes et pressions sont difficilement mesu-rables. Par exemple les variations de la pression intra-ventriculaire lors des phases isovo-lumiques, qui sont les plus significatives, ne sont pas directement accessibles. Pourtant, la d´etermination des contraintes et de leur propagation dans le myocarde revˆet une im-portance particuli`ere puisqu’elle conditionne le bon fonctionnement du cœur en tant que pompe. Certains indicateurs tels la contractilit´e, la compliance ou l’interd´ependance ven-triculaire sont directement li´es `a la pression intra-ventriculaire et permettent d’identifier diverses pathologies (insuffisance cardiaque, certaines dysplasies,. . . ).

La d´etermination des efforts dans le cœur directement `a partir de mesures est donc hors de port´ee et ne pourra ˆetre obtenue qu’`a l’aide de donn´ees ´electriques et cin´ematiques via la mod´elisation. En effet, l’introduction d’un mod`ele ´electrom´ecanique tenant compte de la physiologie du cœur permet de relier les trois types de mesures potentiellement disponibles :

– l’activit´e ´electrique ; – la cin´ematique ;

– les contraintes dans le muscle cardiaque.

L’exploitation des diff´erents couplages permet alors d’avoir acc`es `a des variables non directement mesurables.

L’interaction mod´elisation-observation permet ´egalement de valider de nouvelles tech-niques visant `a fournir un diagnostic de troubles de conduction ou d’insuffisance cardiaque, `

a partir de s´equences d’images. En effet, la validation des m´ethodes de traitement d’images sur des patients est toujours extrˆemement difficile et les simulations num´eriques actuelle-ment propos´ees pour la validation des m´ethodes sont en g´en´eral trop ´eloign´ees de la r´ealit´e physiologique pour que des conclusions pertinentes puissent en ˆetre tir´ees. De plus, l’ima-gerie m´edicale est devenue une m´ethode possible pour valider des mod`eles rh´eologiques

par des mesures in vivo et une telle approche est donc aussi int´eressante pour le domaine de la biom´ecanique.

La d´emarche propos´ee dans ICEMA-2 avec asservissement d’un mod`ele sur des don-n´ees exp´erimentales vise `a tirer parti de la richesse d’un mod`ele physique complexe en exploitant de mani`ere adaptative l’ensemble des mesures disponibles.