Partie II Interaction entre mod` eles biom´ ecanique, ´ electrom´ eca-
8.4 Adaptation du mod` ele anatomique ` a une image 3D
Cette ´etape d’adaptation du mod`ele anatomique `a une image 3D donn´ee est n´ecessaire pour fusionner plusieurs sources d’information dans un mˆeme maillage (chapitre 3). Mais c’est aussi un pr´erequis pour r´ealiser une segmentation et un suivi de mouvement dans une s´equence temporelle. C’est pourquoi cette ´etape de « recalage » doit ˆetre robuste mais aussi rapide, car contrˆol´ee visuellement.
Pour r´ealiser ce recalage non rigide, on utilise une approche hi´erarchique en relˆachant successivement les contraintes sur la transformation cherch´ee (coarse to fine), qui a ´et´e propos´ee dans [Montagnat and Delingette, 1998], et qui combine facilement le recalage et les mod`eles d´eformables.
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A l’´echelle grossi`ere, on recherche successivement une transformation rigide, une simi-litude puis une transformation affine. `A une ´echelle plus fine, la minimisation des ´energies interne et externe pr´esent´ees pr´ec´edemment permet d’obtenir des d´eformations plus lo-cales.
Toutes les ´echelles utilisent les m´ethodes pr´esent´ees dans la section 8.2 pour d´eterminer le point de contour de l’image le plus proche de chaque nœud de la surface du maillage. Une fois les appariements d´etermin´es, ce champ d’appariements est utilis´e soit pour le calcul d’une transformation globale, soit pour le calcul de d´eformations locales `a travers des forces externes.
8.4.1 Calcul de la transformation globale
L’alignement initial est simplement donn´e par la superposition grossi`ere des axes de l’image et du mod`ele. Puis nous estimons it´erativement les correspondances ponctuelles entre le mod`ele et l’image puis la transformation, avec une approche de type « plus proche voisin it´er´e » (Iterative Closest Point) [Besl and McKay, 1992; Zhang, 1994].
La transformation calcul´ee est successivement de type rigide, puis similitude et enfin affine (le passage d’une transformation `a l’autre se faisant lorsque la classe de transfor-mation pr´ec´edente a converg´e).
Cette approche fonctionne bien avec le crit`ere aux moindres carr´es standard dans le cas d’images peu bruit´ees ou synth´etiques. Mais lors des essais sur des images r´eelles, il est apparu dans le cas des similitudes et transformations affines que ce proc´ed´e it´eratif convergeait fr´equemment vers l’optimum obtenu quand tout les points du mod`ele sont mis en correspondance avec le mˆeme voxel, ce qui donne une transformation singuli`ere, mais une erreur nulle.
8.4. Adaptation du mod`ele anatomique `a une image 3D
Pour ´eviter ce probl`eme, nous utilisons un nouveau crit`ere de recalage affine C d´ e-velopp´e par X. Pennec, qui est sym´etrique et invariant par transformation affine sur le mod`ele et l’image. Cette caract´eristique rend ce crit`ere plus robuste vis-`a-vis de la sin-gularit´e d´ecrite pr´ec´edemment. Si (Pi)i∈N
s et (Ii)i∈N
s sont les points appari´es du mod`ele et de l’image, A la transformation affine et T la translation `a d´eterminer, le crit`ere `a minimiser :
C(A,T ) =X
i
t(APi+ T − Ii) · Id + tAA · (APi+ T − Ii)
Ce crit`ere peut ˆetre d´eduit d’une formulation statistique : consid´erons que les Pi sont la mesure bruit´ee d’un ensemble de points ei inconnus mais exacts et que les Ii sont une mesure bruit´ee de la transform´ee du mˆeme ensemble de points exacts. Si l’on prend alors un bruit Gaussien isotrope et stationnaire, on a le mod`ele statistique : Pi = ei+ i et Ii = A.ei+T +νiavec i ≈ νi ≈ Gσ2. Alors une estimation par maximum de vraisemblance de l’ensemble des points exacts (connaissant la transformation) donne la solution explicite :
ei = Id + tAA−1. Pi + tA(Ii− T )
En rempla¸cant cette valeur dans le crit`ere du maximum de vraisemblance, on obtient le crit`ere pr´ec´edemment d´ecrit. Comme dans le cas des moindres carr´es, ce crit`ere a une solution explicite pour la transformation, tout ceci ´etant d´etaill´e dans [Pennec, 2002]).
L’estimation du facteur d’´echelle est diff´erente des moindres carr´es et de la m´ethode Procrustes (o`u le facteur d’´echelle est le rapport de l’inertie des deux ensembles). Elle est sym´etrique (comme la m´ethode Procrustes [Goodall, 1991]) mais prend en compte les correspondances individuelles et pas uniquement des propri´et´es globales des ensembles de points.
L’utilisation de ce crit`ere a permis d’initialiser correctement le mod`ele avec une trans-formation globale, avant de l’ajuster plus finement par les d´eformations locales d´ecrites ci-dessous.
8.4.2 Calcul des d´eformations locales
Pour calculer les d´eformations locales, on se place donc dans le cadre des mod`eles d´eformables, avec les ´energies interne et externe pr´esent´ees pr´ec´edemment. Le mod`ele est alors int´egr´e dans une ´equation de la dynamique, et le d´eplacement U (vecteur 3 × n) des points Pi du mod`ele suit :
Md
2U
dt2 + CdU
dt + KU = F
avec M la matrice de masse, C la matrice d’amortissement, K la matrice de raideur, U le vecteur d´eplacement et F le vecteur des forces externes (incluant ´eventuellement la force de contraction ´electrom´ecanique).
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A chaque pas de temps, les appariements dus `a l’´energie externe (et donc la force appliqu´ee correspondante) sont mis `a jour.
8.4.3 R´esultats d’adaptation du maillage `a des images 3D
Dans le chapitre 3, pour construire le mod`ele biom´ecanique, il faut fusionner plusieurs sources d’informations dans un mˆeme maillage. Pour cela il faut, par exemple, pouvoir d´ e-former le maillage dans l’atlas afin de d´efinir les diff´erentes zones anatomiques du maillage (section 3.3.3).
C’est pourquoi un premier travail a ´et´e de d´eformer le maillage issu des donn´ees d’un myocarde de chien (DTI) vers une image 3D des zones anatomiques du cœur humain, venant du Visible Man Project.
Bien que l’angle de rotation entre le maillage initial et les donn´ees soit assez impor-tant et que ce soit un cas inter-esp`eces, les r´esultats sont visuellement assez satisfaisants (fig 8.7).
Fig. 8.7 – Adaptation d’un maillage de cœur de chien aux donn´ees du Visible Man. Bleu : avant d´eformation, vert : apr`es d´eformation. La rotation est bien retrouv´ee et cet ajustement inter-esp`eces donne de bons r´esultats visuellement.
Une autre adaptation du maillage a ´et´e faite vers une IRM d’un cœur humain. Dans ce cas, le calcul de la similitude et de la transformation affine avec le crit`ere des moindres carr´es standard donnait une r´eduction du maillage vers un voxel.
Le ventricule droit est assez bruit´e et le biais de l’IRM donne des contrastes tr`es diff´ e-rents dans les diff´erentes parties de l’image, l’ajustement des param`etres de segmentation n’est donc pas facilit´e.
La segmentation automatique du myocarde dans une IRM est assez difficile, et la m´ethode pr´esent´ee donne d’assez bons r´esultats visuels (fig. 8.8), d’autant plus que la r´esolution suivant le grand axe est assez faible (9 coupes).
Le temps total d’adaptation du maillage prend environ une minute sur un PC standard, de la premi`ere transformation rigide `a la fin de la d´eformation locale.