Mise en œuvre num´ erique

La m´ethode des ´el´ements finis est largement utilis´ee pour calculer la r´eponse approch´ee d’un syst`eme `a partir de conditions limites et initiales donn´ees [Kardestuncer and Norrie, 1987; Bathe, 1996; Zienkiewicz and Taylor, 1994]. C’est l’outil le plus populaire pour le calcul de structure et de m´ecanique des milieux continus ainsi que dans de nombreux probl`emes de propagation. Une des raisons de ce succ`es est probablement le fait que la formulation ´el´ements finis se combine tr`es bien avec l’outil informatique. Cette m´ethode est donc appropri´ee pour mod´eliser la propagation ´electrique `a l’´echelle macroscopique [Rogers et al., 1996].

4.3.1 Formulation et mise en œuvre

Pour simplifier l’´ecriture, les d´etails sont d’abord donn´es pour la r´esolution du pro-bl`eme :    ∂_tu = ∆u ∂_nu|_∂Ω = 0 (4.8)

On veut donc r´esoudre ce probl`eme sur un domaine Ω avec des conditions aux limites de Neumann sur ∂Ω la fronti`ere du domaine Ω, avec n la normale au domaine au point consid´er´e.

Pour ´etudier math´ematiquement un probl`eme, il est plus commode de passer de la formulation « ´equationnelle » pr´ec´edente `a la formulation variationnelle. Pour cela, il faut ´

ecrire (4.8) sous la forme :    ∀ψ ∈ V, R Ω∂_tu · ψ =^R_Ω∆u · ψ ∂_nu|_∂Ω = 0 (4.9)

avec V l’espace fonctionnel des fonctions admissibles, qui est pour nous l’ensemble des fonctions continues d´erivables sur Ω (plus pr´ecis´ement V = H1). En effet on veut un potentiel d’action continu sur ce domaine et la formulation fait apparaˆıtre des d´erivations. Cette formulation variationnelle permet de prouver l’existence et l’unicit´e de la solution (th´eor`eme de Lax-Milgram) sous certaines hypoth`eses, et d’´etudier plus facilement une approximation de la solution. C’est donc le point de d´epart d’une r´esolution par une m´ethode d’´el´ements finis.

La m´ethode des ´el´ements finis consiste `a chercher une solution approch´ee du pro-bl`eme (4.9) en se pla¸cant dans un espace V_hde dimension finie, ce qui d´efinit le « probl`eme approch´e » d’ordre h. La r´esolution se d´eroule en plusieurs ´etapes :

1. analyse math´ematique du probl`eme de d´epart avec, en particulier, son ´ecriture sous forme variationnelle et l’´etude des propri´et´es :

4.3. Mise en œuvre num´erique

– unicit´e de la solution – propri´et´es de convergence 2. mise en œuvre

– cr´eation de la t´etra´edrisation (le maillage, not´e T_h) du domaine `a consid´erer ; – d´efinitions des ´el´ements finis, c’est `a dire construction de l’espace de dimension

finie V_h;

– g´en´eration des tableaux ´el´ementaires correspondants `a la contribution de chaque ´

el´ement T de T_h `a la matrice, au second membre du syst`eme et aux contraintes ; – r´esolution du syst`eme, c’est `a dire calcul du champ approchant la solution

cherch´ee ;

– pr´esentation et exploitation des r´esultats.

La t´etra´edrisation utilis´ee correspond au maillage construit dans le chapitre 3. Nous utilisons des ´el´ements t´etra´edriques lin´eaires avec 4 nœuds par ´el´ement. Pour la r´esolution num´erique par la m´ethode des ´el´ements finis mise en place, on cherche donc une solution continue de la forme : u = N X i=1 φ_i· u_i (4.10)

avec u_i les valeurs aux nœuds du maillage, et φ_i les fonctions de base associ´ees `a ces nœuds. On utilise des fonctions de base lin´eaires, pour lesquelles il existe une formule explicite, d´etaill´ee dans l’annexe B.

Dans le probl`eme (4.9), en int´egrant par partie le membre de droite on obtient :

∂_t Z Ω u · ψ = Z ∂Ω ψ · ∇u.n − Z Ω ∇u.∇ψ (4.11)

Le premier terme du membre de droite est nul avec des conditions limites de Neumann. Comme cette expression est vraie pour toute fonction de V, on peut l’´ecrire au nœud j, avec ψ = φ_j, et si on remplace u par son expression de (4.10) :

∂_t N X i=1 u_i Z Ω φ_iφ_j = − N X i=1 u_i Z Ω ∇φ_i.∇φ_j (4.12)

Ce qui fait apparaˆıtre les termes des matrices de masse M et de raideur K de la base de fonctions choisies :    M_ij = R Ωφ_iφ_j K_ij = R Ω∇φ_i.∇φ_j (4.13)

Dans notre calcul, on utilise une matrice de masse M diagonale, ce qui revient `a attribuer `a chaque nœud une masse correspondant `a un quart de la somme des volumes des t´etra`edres auxquels il appartient (pour cette matrice de masse de la base, la masse volumique est

unitaire, elle est de ρ dans le cas de la matrice de masse de m´ecanique du chapitre suivant, qui est aussi prise diagonale).

On calcule la matrice de rigidit´e K en faisant les produits scalaires des vecteurs de forme d´etaill´es dans l’annexe B, qui repr´esentent les gradients des fonctions de base. Dans notre cas, les fonctions de bases sont lin´eaires, donc leur gradient est constant par t´etra`edre, l’int´egration volumique revient donc `a multiplier par le volume du t´etra`edre V_T. Soit : K_ij = V_T ^Si 6V_T · ^Sj 6V_T ⁼ Si. Sj 36V_T avec les S_i d´efinis dans l’annexe B.

On obtient donc pour la formulation globale :

∂_tu_h = −M⁻¹Ku_h

Si l’on revient au syst`eme initial que l’on veut r´esoudre (4.7), il suffit de modifier la matrice de raideur pour prendre en compte l’anisotropie :

K_ij = Z

Ω

D∇φ_i.∇φ_j

en prenant soin de replacer D dans le rep`ere cart´esien (il a ´et´e d´efinit dans le rep`ere de la fibre).

Pour l’int´egration temporelle, nous avons mis en œuvre les sch´emas explicites d’Euler et Runge–Kutta d’ordre 4. Ce dernier a permis d’augmenter le pas de temps d’un facteur 4, mais le coˆut de calcul ´etant multipli´e par 4, il n’y a pas de gain de temps. Le gain en pr´ecision, ´etudi´e par Yves Coudi`ere, n’a pas paru significatif, le sch´ema d’Euler est donc utilis´e pour la suite.

Pour le sch´ema explicite d’Euler, la mise `a jour donne : 

 

uτ +∆τ = uτ + ∆τ /e−l2e2M−1Kuτ+ kuτ(1 − uτ)(uτ− a) − uτzτ

zτ +∆τ = zτ + ∆τ−kuτ(uτ− a − 1) + zτ (4.14)

En pratique, les valeurs M_ii et K_ii sont stock´ees au niveau du nœud i et les valeurs Kij sont stock´ees au niveau de l’arˆete reliant les nœuds i et j, ce qui permet de r´esoudre ce syst`eme localement sans r´ealiser l’assemblage des matrices M et K (comme dans l’ap-proche masse-tenseurs pour la r´esolution m´ecanique [Cotin et al., 2000]). Cela permet aussi de facilement modifier les param`etres ´electriques localement.

4.3. Mise en œuvre num´erique

Donc on obtient pour le nœud i :    u^{τ +∆τ}_i = uτ i + ∆τ /e−l2e2M⁻¹_ii P j∈JK_ijuτ j + kuτ i(1 − uτ i)(uτ i − a) − uτ izτ i  z_i^{τ +∆τ} = zτ i + ∆τ−kuτ i(uτ i − a − 1) + zτ i  (4.15) avec J l’ensemble des indices des nœuds voisins de i, auquel on ajoute l’indice i.

La contrainte de stabilit´e li´ee `a l’approximation de ∆u est ∆τc < h<sup>2</sup>/el et celle li´ee `a l’approximation de u(1 − u)(u − a) est ∆τ_c < e/1 − a, avec h le pas d’espace (en pratique, on prend la longueur d’arˆete maximale). Ce qui oblige `a prendre un pas de temps tr`es faible pour garantir la stabilit´e (environ 10⁻⁴).

Une r´eflexion est men´ee sur l’utilisation d’un sch´ema semi-implicite, ce qui permet une bien meilleure stabilit´e, et ceci devrait ˆetre r´ealis´e dans le cadre d’ICEMA-2, en mˆeme temps que la parall´elisation de ce calcul.

4.3.2 Conditions limites et conditions initiales

Pour les conditions initiales, la conduction dans le nœud auriculo-ventriculaire est tr`es lente, mais quand le potentiel d’action sort du nœud, il se propage tout d’un coup `a une vitesse tr`es vive jusqu’aux fibres de Purkinje `a travers le faisceau de His. Le r´eseau des fibres de Purkinje se ramifie comme un arbre `a l’int´erieur des ventricules et se termine `a la surface de l’endocarde ventriculaire (vitesses de conduction : nœud auriculo-ventriculaire 0,05 ms⁻¹, faisceau de His 1-1,5 ms⁻¹, Purkinje 3-3,5 ms⁻¹).

Ce r´eseau sp´ecial de conduction n’est pas mod´elis´e de fa¸con histologique ni physio-logique mais uniquement ph´enom´enologique. Les conditions initiales correspondent `a un potentiel nul `a tous les nœuds, sauf sur les nœuds de la surface des endocardes repr´ esen-tant les extr´emit´es du r´eseau de Purkinje. La condition initiale pour ces nœuds l`a est un potentiel u<sub>init</sub> impos´e pendant un temps donn´e t<sub>init</sub> `a partir d’un temps t₀. Il faut que l’int´egrale de ce signal (u_initt_init) soit sup´erieure `a un certain seuil pour que le processus de r´eaction-diffusion se d´eclenche.

Ceci est synchronis´e sur l’ECG : t₀ correspond au d´ebut de l’onde Q sur l’ECG (voir page 17) et t_init `a sa dur´ee, car cette onde repr´esente l’instant o`u la vague ´electrique commence sa propagation dans le myocarde.

Les conditions limites impos´ees sur la surface du maillage sont des conditions de Neu-mann : les valeurs du potentiel sont libres, mais la d´eriv´ee normale sur la fronti`ere est nulle. Il n’y a donc pas de r´eflexion du potentiel sur la surface.

4.3.3 Temps de calcul

Le calcul de la vague de propagation du potentiel d’action prend quelques minutes sur un PC standard, dans le cas d’un maillage de 10 000 `a 40 000 ´el´ements. Un travail

de parall´elisation est en cours pour distribuer le maillage sur plusieurs ordinateurs, afin d’obtenir une r´esolution plus rapide ou de pouvoir travailler avec des maillages plus fins. En effet, la structure de donn´ees n´ecessaire pour g´erer un maillage avec des propri´et´es ´

electrom´ecaniques rend difficile l’utilisation de maillages tr`es fins (plus de 100 000 nœuds), car les ressources m´emoire n´ecessaires sont alors trop importantes pour un seul ordinateur.