Calcul du gradient

       1 q 1+(∂xIσ λx )^{2 0 0} 0 r ¹ 1+ ∂y Iσ λy 2 0 0 0 q ¹ 1+(∂z Iσ λz )²         avec Iσ = Gσ ? I.

Cette m´ethode permet de garder un tr`es bon contraste aux contours et mˆeme parfois de les am´eliorer en utilisant des fonctions de diffusion pr´esentant certaines propri´et´es.

Diffusion non-lin´eaire anisotrope avec connaissances a priori

On peut utiliser l’a priori disponible pour contrˆoler la diffusion [Sanchez-Ortiz et al., 1999]. Par exemple, si l’on filtre des images d’un objet ayant une sym´etrie de r´evolution, on peut p´enaliser la diffusion radiale.

Mais il faut d´ej`a avoir une id´ee du contenu de l’image pour contrˆoler la diffusion avec des connaissances a priori, ce qui est pour nous le but de la diffusion. Cependant, on peut avoir une id´ee de l’emplacement des ´el´ements grˆace au positionnement de la sonde ou `a un recalage primaire sur un atlas anatomique.

7.2 Diffusion anisotrope pour les images 4D

7.2.1 Calcul du gradient

La plupart des images ´echographiques 4D sont acquises par une sonde rotationnelle, elles sont donc en coordonn´ees sph´eriques.

Mais les connaissances m´edicales et notre repr´esentation habituelle du monde physique sont en coordonn´ees cart´esiennes et les algorithmes classiques travaillent sur des images acquises selon une grille rectangulaire. Il faut donc changer de syst`eme de coordonn´ees :

7.2. Diffusion anisotrope pour les images 4D

Fig. 7.1 – Rep`ere sph´erique des images de la sonde rotationnelle.

       x = x₀− r. sin α − α0 2
. sin θ y = x₀ + r. sin α −^α0 2
. cos θ z = R − r. cos α − ^α0 2
(7.2)

Ce changement de coordonn´ees n’est pas bijectif, car les donn´ees de l’axe central appa-raissent dans chaque plan des images de la sonde. Il faut donc traiter `a part la multiplicit´e des donn´ees sur cet axe. `A la p´eriph´erie, la r´esolution angulaire ´etant constante, la r´ e-solution spatiale diminue avec le rayon, il faut donc interpoler. On peut donc essayer de travailler directement sur les donn´es sph´eriques.

Diff´erentes m´ethodes de calcul du gradient `

A partir de ces donn´ees polaires, plusieurs m´ethodes sont possibles pour calculer le gradient de l’intensit´e de l’image. Elles poss`edent chacune des avantages (⊕) et des incon-v´enients ( ) d´ecrits ci-apr`es :

– Interpoler l’image en coordonn´ees cart´esiennes, puis calculer le gradient cart´esien classique sur l’image en coordonn´ees cart´esiennes.

⊕ le gradient est calcul´e directement en coordonn´ees cart´esiennes, et il y a la pos-sibilit´e d’utiliser des filtres r´ecursifs (la convolution avec un masque de n’importe quelle taille est calcul´ee de fa¸con r´ecursive `a partir des valeurs sur un voisinage du point [Malandain, 1992]), donc on gagne en rapidit´e de calcul et on a la possibilit´e de travailler `a diff´erentes ´echelles avec un temps de calcul constant ;

le calcul est bas´e sur des donn´ees interpol´ees donc sur des approximations, ce qui entraˆıne des erreurs vis `a vis des donn´ees r´eelles. De plus, un lissage gaussien est int´egr´e dans ce type de calcul, ce qui n’est pas forc´ement d´esirable dans le processus de diffusion anisotrope.

– Calculer le gradient de l’image en coordonn´ees polaires (les composantes sont dans le rep`ere local polaire) sur l’image polaire, puis passer au gradient cart´esien par la matrice Jacobienne de changement de coordonn´ees.

⊕ il y a possibilit´e d’utiliser des filtres r´ecursifs, bas´es sur des donn´ees r´eelles ; la matrice Jacobienne est exacte car calcul´ee de fa¸con analytique alors que les composantes du gradient sont des sauts d’intensit´e calcul´es sur des voisinages pas forc´ement locaux car la r´esolution spatiale d´ecroˆıt avec r et elle peut donc ˆetre tr`es faible loin du centre. Le r´esultat du calcul est donc fauss´e par cette h´et´erog´en´eit´e entre des coefficients de changement de rep`ere exacts et des d´eriv´ees approch´ees. – Calculer le gradient cart´esien sur l’image polaire, en utilisant des masques polaires

et des filtres cart´esiens, puis interpoler.

C’est la m´ethode utilis´ee dans [Herlin and Ayache, 1992; Montagnat et al., 1999] et d´ecrite sur la fig. 7.2 : le voisinage du point M utilis´e est V 1, V 2, V 3, V 4, qui sont des points de donn´ees polaires mais les valeurs du filtre sont calcul´ees sur la grille cart´esienne.

⊕ le gradient est bas´e sur des donn´ees r´eelles, et il est obtenu en coordonn´ees car-t´esiennes ;

une interpolation est n´ecessaire en dehors du masque, et le temps de calcul est important si la taille des filtres est importante.

– Calculer le gradient cart´esien sur l’image cart´esienne, en utilisant des masques po-laires et des filtres cart´esiens.

⊕ le calcul est bas´e sur des donn´ees r´eelles, donc pas d’interpolation n´ecessaire, et le gradient obtenu est en coordonn´ees cart´esiennes ;

le temps de calcul est important, comme pour la m´ethode pr´ec´edente, et il y a des sauts de voisinage : il faut prendre des voisinages importants pour ne pas avoir une trop grosse influence de la faible r´esolution angulaire sur les changements de voisinage polaire.

– Calculer le gradient polaire sur l’image polaire et faire la diffusion en coordonn´ees polaires.

⊕ il y a possibilit´e d’utiliser des filtres r´ecursifs, car l’´echantillonnage est r´egulier en coordonn´ees polaires, et le calcul est bas´e sur des donn´ees r´eelles ;

le passage des d´eriv´ees partielles au gradient entraˆıne le mˆeme probl`eme qu’avec la matrice Jacobienne : on m´elange un calcul analytique local et un calcul discret. En effet dans les syst`emes de coordonn´ees autres que cart´esiens, des facteurs d’´echelle interviennent sur les composantes du gradient (par exemple ¹_r pour la composante en α du gradient polaire). Ces facteurs d’´echelle sont exacts alors que les d´eriv´ees partielles sont des sauts d’intensit´e sur des voisinages de grande taille `a la p´eriph´erie. Ces diff´erentes m´ethodes sont donc loin d’ˆetre ´equivalentes, car elles utilisent plus ou moins les donn´ees de la saisie ´echographique et elles ont des temps de calcul tr`es diff´erents. De plus, le passage du domaine continu au domaine discret donne des r´esultats plus ou

7.2. Diffusion anisotrope pour les images 4D

Fig. 7.2 – Voisinage polaire et masque cart´esien.

moins valides mˆeme si certaines ´equivalences peuvent ˆetre ´etablies.

De plus amples tests sur des images synth´etiques sont n´ecessaires pour quantifier plus pr´ecis´ement l’erreur de chacune des approches. Pour les calculs suivants, les donn´ees ont ´et´e consid´er´ees sur une grille cart´esienne dans un but d’efficacit´e, le gain obtenu en utilisant une m´ethode plus pr´ecise de d´erivation n’ayant pas ´et´e d´emontr´e pour notre application.