Mod` ele de bruit de quantification du convertisseur

num´erique-analogique

Il est possible de construire un mod`ele pouvant pr´edire la d´egradation de la performance en fonction de la dispersion ´emul´ee. La p´enalit´e que l’on obtient provient d’un bruit de quantification suppl´ementaire li´e au changement de la distribution du signal sur les niveaux de quantification du DAC [93]. Comme on peut l’observer sur les figures 3.8 et 3.9, la dispersion ´etale le signal sur les niveaux de quantification des DACs. Pour de grandes dispersions, la distribution du signal sur les niveaux de quantification atteint une forme gaussienne.

Il existe dans la litt´erature une formule de pr´ediction du bruit de quantification en fonction du facteur de crˆete du signal, peak-to-average power ratio (PAPR), qui est le rapport du carr´e de la valeur crˆete par rapport `a la variance du signal [23]. Le signal doit ˆetre centr´e, c’est-`a-dire de moyenne nulle. De ce fait, on d´efinit le PAPR en fonction de X_max la valeur maximale en absolue des ´echantillons du signal et σ2

P AP R = ^X 2 max σ2 x (3.14)

On peut noter que le PAPR est invariant par normalisation et ne d´epend donc pas de la puissance du signal. La figure 3.12 illustre le PAPR pour chaque tributaire en fonction de la dispersion ´emul´ee, dans le cas d’un signal parfait (i.e. sans filtrage ou autres pr´e-compensations). On observe une d´ependance ´evidente entre le PAPR et la dispersion jusqu’`a 103− 104 ps/nm de dispersion, au-del`a, la distribution du signal est devient totalement gaussienne et le PAPR sature. Pour une dispersion nulle et un signal non retour `a z´ero, non-return-to-zero (NRZ) parfait comme illustr´e en 3.8, le PAPR vaut exactement 1 (0 dB).

Figure 3.12: PAPR d’un signal NRZ th´eorique parfait en fonction de la dispersion chromatique cumul´ee du signal pour la partie r´eelle et imaginaire

des deux polarisations (X et Y), et sa moyenne.

Cependant, la distribution du signal va ´egalement d´ependre d’autres param`etres, comme la pr´e-compensation du filtrage, la forme des impulsions et le format de modulation. C’est pourquoi, la figure 3.13 repr´esente le PAPR r´eel du signal charg´e dans les DACs. On remarque pour une dispersion nulle, c’est `a dire sans filtre de dispersion et uniquement les filtres de compensation et de formatage des impulsions, le PAPR est d´ej`a de 6 dB. Pour les plus fortes dispersions, le PAPR atteint quasiment 16 dB.

La formule (3.15), extraite de [23], permet de pr´edire la p´enalit´e li´ee `a la quantification. La formule de base est donn´ee en ´emettant l’hypoth`ese que la distribution du signal est uniforme sur les niveaux de quantification, ce qui n’est pas v´erifier dans notre cas. Toutefois, l’´ecart de la distribution du signal `a la

Figure 3.13: PAPR du signal pr´e-compens´e charg´e dans les DACs en fonction de la dispersion chromatique cumul´ee du signal pour la partie r´eelle et imaginaire

(I et Q) des deux polarisations (X et Y), et sa moyenne.

distribution uniforme peut ˆetre pris en compte par l’ajout d’un terme correctif d´ependant du PAPR du signal. N´eanmoins cette correction n’est valide que pour un faible ´ecart, nous allons donc v´erifier le domaine de valid´e. Effectivement, pour de grandes dispersions, la distribution n’est pas uniforme mais gaussienne, comme on vient de le voir. Le rapport signal sur bruit, SN R_Q, provenant du bruit de quantification peut s’exprimer de la fa¸con suivante :

SN RQ_dB = 6.02 × Nef f + 4.77 − 10 × log₁₀(P AP R) (3.15) o`u N_{ef f} est le nombre de bit effectif du DAC (ENOB).

Pour appliquer la formule pr´ec´edente, il est n´ecessaire de connaitre l’ENOB des DACs. Les constructeurs de DACs communiquent que tr`es rarement l’ENOB de leur composant, en particulier ceux ayant des fr´equences d’´echantillonnages tr`es ´

elev´ees, typiquement plus de 50 GS/s. En partie car il est difficile de maintenir un ENOB correct `a ces fr´equences d’´echantillonnages. Par ailleurs, il d´epend souvent lui-mˆeme de la fr´equence du signal `a g´en´erer. Pour ce type de composant, un DAC de 8 bits `a 65 GS/s, un ENOB caract´eristique se situe entre 4 et 7 pour un signal `

a 32 GBd. Je vais donc choisir d’´evaluer l’ENOB `a l’aide du mod`ele (3.15) et consid´erer que le SN R_{T Rx} se d´ecoupe en deux termes de bruit ind´ependants : un bruit de quantification, 1/SN R_Q, et un bruit ´electrique, 1/SN R_E ind´ependant du signal g´en´er´e, de la fa¸con suivante :

1 SN R_{T Rx} ⁼ 1 SN R_Q ⁺ 1 SN R_E^{. (3.16)}

En consid´erant que le bruit ´electrique ne d´epend pas du signal g´en´er´e, ceci revient `

a supposer que quel que soit le PAPR du signal le SN R_E est constant. Ainsi en appliquant le mod`ele aux mesures de SN R<sub>T Rx</sub> obtenu dans la section 3.3.2 (figure 3.11) et en cherchant `a conserver le SN R_E constant quel que soit la dispersion, on obtient le r´esultat repr´esent´e sur la figure 3.14. On retrouve le SN R_{T Rx}en fonction de la dispersion ´emul´ee de la figure 3.11 en bleu, auquel on a aussi repr´esent´e le SN R_Qet le SN R_E en fonction de la dispersion ´emul´ee. On remarque que le SN R_E est constant jusqu’`a 104 ps/nm de dispersion. En revanche, il est impossible de maintenir la valeur du SN R<sub>E</sub> constant pour les dispersions sup´erieures `a 4.104

ps/nm sans changer la valeur de l’ENOB, or cette derni`ere est une valeur fixe pour un DAC donn´e. Ce r´esultat montre que le mod`ele fonctionne parfaitement pour les dispersions inf´erieures `a 104 ps/nm. N´eanmoins, la limite de validit´e du mod`ele est atteinte pour des dispersions sup´erieures `a 4.104 ps/nm, car la distribution du signal est trop ´eloign´ee d’une distribution uniforme puisque qu’elle tend vers une distribution gaussienne. Ainsi pour les grandes dispersions ´emul´ees, on constate que la prise en compte du PAPR seul n’est pas suffisante. L’ENOB trouv´e, pour arriver `a ce r´esultat, est de N_{ef f} = 5.2 qui semble tout `a fait correct par rapport `

a la valeur attendu.

Figure 3.14: Evolution du SN RT Rx en fonction de la dispersion cumul´ee ´emul´ee et s´eparation du SN R_{T Rx} en la contribution d’un SN R_Q et SN R_E

pour un ENOB de 5.2.

Le mod`ele propos´e offre la possibilit´e de pr´edire la quantit´e de bruit li´ee au bruit de quantification en connaissant l’ENOB. Ainsi, il est possible de connaitre

la d´egradation ou l’am´elioration de la performance li´ee au DAC en changeant certains param`etres du signal qui modifient son PAPR. Inversement, il permet aussi d’´evaluer l’ENOB des DACs qui est un param`etre important pour ce type de composant et rarement donn´e dans les documentations. Dans le cadre de cette ´

etude, la calibration du SN R_{T Rx} sera utilis´ee directement.