iso-trope gaussienne
Mˆeme si dans la majorit´e des transmissions coh´erentes, on observe un bruit totalement blanc additif gaussien sur les constellations, en particulier sur les syst`emes non g´er´es en dispersion, il se peut que dans certains cas, g´er´es en dispersion par exemple, les hypoth`eses soient mises en d´efaut. Il est donc important de s’´equiper d’outils pour venir ´evaluer les propri´et´es de la distribution du bruit. Je vais introduire trois outils permettant le contrˆole des hypoth`eses de circularit´e et de gaussianit´e des distorsions non-lin´eaires du signal.
2.3.1 L’anisotropie
Dans l’ensemble des bruits optiques, certains bruits produisent sur le champ optique uniquement un bruit de phase dont la puissance diff`ere du bruit en amplitude. On peut mentionner par exemple : le r´esidu de bruit de phase des lasers, ou les distorsions non-lin´eaires li´ees `a l’effet Kerr qui dans le cas de faible dispersion chromatique produisent un bruit de phase plus important que sur l’amplitude [63]. Cela a pour cons´equence d’observer une anisotropie du bruit r´esultant sur la constellation. On se placera toujours dans le cas de faibles perturbations o`u le bruit de phase pourra ˆetre approch´e par sa tangente. Dans le cas d’une analyse en phase et en quadrature, le bruit en quadrature est ´equivalent au bruit suivant la partie imaginaire, comme on peut l’observer `a droite sur la figure 2.6.
Figure 2.6: Illustration d’un bruit anisotrope suivant le bruit en quadradature. A gauche : constellation simul´ee dont le bruit en quadrature est plus important (b = 2). A droite : transformation en phase et en quadrature pour analyse,
mettant en ´evidence le bruit plus important sur la partie imaginaire.
Une mesure simple de l’anisotropie de la distribution du bruit serait de comparer la variance en phase σIP2 et la variance en quadrature σ2IQ d’un symbole ou de la combinaison des symboles suivant la m´ethode ”en phase et en quadrature” (d´ecrite en section 2.2). Le coefficient d’anisotropie, b, est d´efini de la fa¸con suivante :
b = σ 2 IQ σ2 IP (2.20)
En revanche, cette m´ethode ne permet pas d’observer des anisotropies ayant un axe privil´egi´e diff´erent des axes en phase et en quadrature comme l’illustre l’allure de la constellation de la figure 2.7. On va donc d´efinir d’une fa¸con plus g´en´erale le coefficient d’anisotropie b, comme le ratio des valeurs propres, σ2
1 et σ2
2, de la matrice de covariance du bruit suivant la partie r´eelle r et la partie imaginaire i. On prendra comme convention d’avoir 0 ≤ σ2
1, 0 ≤ σ2
2 et les vecteurs propres associ´es −
→v
1 et −→v
2 normalis´es. Ceci revient `a faire une analyse du bruit en composantes principales [82].
L’axe principal de la distribution du bruit est d´efini par le vecteur propre −→v
2
associ´e `a la plus grande des valeurs propres. On peut ainsi d´eterminer l’angle de l’anisotropie, ψ, entre le vecteur propre −→v
1 et l’axe de la partie r´eelle −→x = (0, 1). ψ = arccos −→v 1.−→x k−→v1k k−→x k = arccos (−→v 1.−→x ) (2.21)
Figure 2.7: Illustration d’un bruit anisotrope suivant un axe `a 22◦ de la partie imaginaire. A gauche : constellation simul´ee (b = 2, ψ = 22◦). A droite :
transformation en phase et en quadrature.
On pourra utiliser ces outils pour analyser les constellations ayant une anisotropie. Cependant, dans la grande majorit´e des cas, le bruit sera isotrope ou plus important en quadrature. Le cas ´echant, nous montrerons dans la section 2.4.2 que l’anisotropie peut ˆetre facilement prise en compte pour l’estimation de la performance.
A pr´esent, on va s’int´eresser `a la distribution mˆeme des ´echantillons suivant un axe et ´evaluer l’´ecart par rapport `a une distribution gaussienne.
2.3.2 Skewness
Le coefficient de dissym´etrie ou skewness, γ1, correspond `a une mesure de l’´ecart `
a la sym´etrie de la distribution [83]. C’est le moment d’ordre trois de la variable al´eatoire centr´ee r´eduite, que l’on d´efinit de la fa¸con suivante :
γ1 = E " X − µ σ 3# = µ3 σ3 (2.22)
o`u X est la variable al´eatoire de moyenne µ et de variance σ2. µ3 = E(X − µ)3 repr´esente le moment centr´e d’ordre trois de la distribution. Le coefficient de dissym´etrie d’une distribution est positive si la queue de droite est plus importante que celle de gauche, comme sur la figure 2.8, et inversement, n´egative si la queue de gauche est plus importante que celle de droite. Dans le cas d’une distribution
parfaitement gaussienne, le coefficient de dissym´etrie est nul. Il permet donc d’´evaluer un ´ecart `a la sym´etrie de la distribution. Il est rare d’observer un bruit dont la distribution est dissym´etrique de fa¸con significative dans le cas des transmissions coh´erentes.
Figure 2.8: Illustration d’une distribution gaussienne et d’une distribution ayant dissym´etrie de γ1 = +0.8.
2.3.3 Kurtosis
Le kurtosis, β2, est le moment d’ordre quatre de la variable al´eatoire centr´e r´eduite [83]. Il traduit un coefficient d’aplatissement ou au contraire de la “pointicit´e” de la distribution. Il est une mesure de la r´epartition des masses autour de la moyenne. Il est d´efinit math´ematiquement de la fa¸con suivant :
β2 = E " X − µ σ 4# = µ4 σ4 (2.23)
o`u X est la variable al´eatoire de moyenne µ et de variance σ2. µ4 = E(X − µ)4 est le moment centr´e d’ordre quatre de la distribution.
Dans le cas d’une distribution gaussienne, le kurtosis vaut exactement 3. C’est pourquoi, on lui pr´ef`ere souvent l’exc`es de kurtosis ou le kurtosis normalis´e, γ2, que le l’on d´efinit comme :
γ2 = µ4
Dans le cas d’un kurtosis normalis´e positif (comme sur la figure 2.9), la distribution est plus piqu´ee au centre et les queues ou pieds de la distribution sont plus importants qu’une distribution gaussienne. Au contraire, dans le cas d’un kurtosis normalis´e n´egatif, la distribution et plus large au centre et les pieds plus petits. On verra dans la section suivante, que dans certain cas pr´ecis, il est possible de rencontrer un kurtosis positif li´e aux distorsions non-lin´eaires.
Figure 2.9: Illustration d’une distribution gaussienne et d’une distribution ayant un exc`es de kurtosis de γ2= +1.5.