mandibule, Laboissière et al. (1996) proposent un délai 10 ms, Sanguineti et al. (1998) un délai 15 ms. Nous avons choisi un délai égal à 17 ms, conformément aux données de Ito et al. (2004).
Les simulations effectuées pour des valeurs comprises entre 5 ms et 20 ms ont montré que la valeur de d dans cet intervalle avait un impact limité sur la solution finale : la trajectoire est légèrement différente selon la valeur choisie, les pics de vitesse, d’accélération ou les niveaux de forces maximums augmentent lorsque le délai augmente, mais le choix de cette valeur ne semble pas critique.
Le coefficient µ est un coefficient d’amortissement. Généralement, la notion d’amortisse-ment est reliée à la régulation de la force en fonction de la vitesse. Ici, il caractérise la dé-pendance qui existe entre le seuilλ et la vitesse d’élongation.µ est considéré, par simplicité, comme étant constant et identique pour l’ensemble des muscles, même s’il semble contrôlé centralement par l’activation des MNsγ dynamiques. Il a été choisi égal à 0,01 s afin d’assurer la stabilité du système, suite à de nombreuses simulations.
4.6 Modélisation dynamique
Nous avons successivement décrit la discrétisation du maillage (Section 4.2), les propriétés mécaniques de ses constituants (Section 4.3), les conditions limites (Section 4.4) et le modèle de contrôle moteur implémenté (Section 4.5). Avant de pouvoir passer à la résolution des équations du mouvement, il nous reste à définir le chargement appliqué sur le système ainsi que le type d’amortissement, aspects de la modélisation qui seront présentés dans cette section. Le lecteur pourra trouver des informations sur la méthode de résolution en Annexe A.
4.6.1 Définition des forces actives développées par les muscles
4.6.1.1 Théorie des filaments glissants
FIG. 4.33 – Diagramme représentant le calcul des forces musculaires. Les longueurs et vitesses repré-sentent les longueurs et vitesses d’élongation des fibres musculaires, le délai correspond au délai du réflexe tonique d’étirement.
Dans la section 4.5.4, nous avons défini la force musculaireM développée par un muscle ene fonction de ses caractéristiques et de la commande musculaireλ. La force totale F développée par un muscle (voir Figure 4.33) est donnée par la relation suivante :
F=Me
88 CHAPITRE4 : Implémentation du modèle
avec
f1=0,7109 f2=0,712 f3=0,43 f4=0,4444 s
f5=0,0329 s r=longueur du muscle au repos Le rapport F/M est représenté Figure 4.34.e
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
0 0.5 1 1.5
Vitesse (Lo.sec−1) F/fM
FIG. 4.34 – Courbe représentant le ratio force totale générée sur force musculaire en fonction de la vitesse normalisée par rapport à la longueur au repos du muscle.
La forceM est multipliée par un coefficient permettant de prendre en compte la dépendancee entre la vitesse de contraction d’un muscle et la force qu’il développe, comme stipulée par la théorie des filaments glissants de Huxley (1957). Ses études ont montré que pour un muscle donné, la force exercée dans des conditions excentriques (avec élongation du muscle) était tou-jours supérieure à la force maximale isométrique, elle-même étant toutou-jours supérieure à la force concentrique (avec raccourcissement du muscle). Les forces maximales développées en condi-tions excentriques seraient dues à la mobilisation des tissus non contractiles du muscle pendant la phase de pré-étirement du muscle.
Payan et Perrier (1997) se sont basés sur des données portant sur des muscles dits rapides, le muscle tibial antérieur du chat, afin de déterminer la courbe force-vitesse qui pourrait carac-tériser les muscles linguaux. Les relations force-vitesse sont généralement obtenues lors d’ex-périence au cours desquelles le muscle effectue une contraction unique (secousse musculaire) avec des niveaux de charges variables. Le pic de vitesse de raccourcissement du muscle est alors enregistré. Les valeurs sont donc obtenues en conditions concentriques. Payan et Perrier (1997) ont alors approximé cette courbe à l’aide de la sigmoïde donnée Équation 4.42, conformément aux travaux de Laboissière et al. (1996). Les paramètres utilisés sont basés sur les paramètres de Payan et Perrier (1997), bien que très légèrement différents.
Dans ce modèle, trois paramètres vont donc participer à l’amortissement du système :µ, f4
et f5.
4.6 Modélisation dynamique 89
4.6.1.2 Application des forces : la méthode des forces réparties
L’application des forces déterminées par l’Équation 4.42 se fait selon la méthode des forces réparties conformément aux travaux de Payan et Perrier (1997) : sur chaque macro-fibre les forces sont appliquées de telle sorte qu’elles permettent de raccourcir les fibres correspondantes, lorsque l’une des deux extrémités de la macro-fibre au moins est libre, et d’aligner ses nœuds.
L’algorithme de résolution de l’équation du mouvement est un algorithme itératif. Les forces à appliquer sur chaque macro-fibre dépendent des coordonnées des nœuds du maillage, de leur vitesse et des commandes musculaires. Elles sont mises à jour à chaque pas de temps. Soit F la force développée par une macro-fibre à l’instant tn.
– Sur les nœuds à l’extrémité de la fibre, une force de norme F en direction du nœud voisin est appliquée, contribuant ainsi au raccourcissement du muscle.
– Pour les nœuds internes, deux vecteurs forces de norme F sont appliqués, un en direction de chaque nœud voisin. Soit−→
Ftot la résultante. Cette force permet d’aligner les nœuds de la macro-fibre.−→
Ftots’annule lorsque les nœuds sont alignés.
Le principe des forces réparties est illustré Figure 4.35.
1
FIG. 4.35 – Illustration du mécanisme des forces réparties sur une macro-fibre composée de 4 nœuds.
À gauche, en début de contraction, à droite en cours de contraction. Sur les nœuds extérieurs 1 et 4 représentant les extrémités de la fibre, une force d’intensité F est appliquée dans la direction de la fibre, vers l’intérieur du muscle. Sur les nœuds intérieurs 2 et 3 sont représentés les deux vecteurs forces agissant sur chaque nœud et leurs résultantes. La norme de la résultante diminue avec l’alignement des nœuds, jusqu’à devenir nulle lorsque les nœuds sont parfaitement alignés.
En plus des forces appliquées sur les nœuds telles que décrites dans cette section, l’influence de gravité sur la déformation des tissus est prise en compte. Elle est implémentée sous forme d’une accélération gravitationnelle de norme égale à 9,81 m.s−2. L’étape de pré-traitement étant entièrement réalisée, nous pouvons passer à la phase de résolution. Nous décrirons tout d’abord le type d’amortissement que nous avons choisi, puis l’approche utilisée pour résoudre les équa-tions du mouvement.
4.6.2 Amortissement structural
Comme mentionné Section 4.1.2.6, l’équilibre dynamique après assemblage des matrices élémentaires peut s’écrire :
avec−→q le vecteur des déplacements nodaux, M la matrice de masse, C la matrice d’amortisse-ment, K la matrice de rigidité et−→
F le vecteur chargement.
90 CHAPITRE4 : Implémentation du modèle
On fait l’hypothèse d’un amortissement proportionnel : la dissipation d’énergie, répartie de manière homogène sur l’ensemble du système étudié, est liée à la vitesse des particules et à leur accélération. On utilise l’hypothèse simplificatrice de Rayleigh, qui considère que la matrice d’amortissement C peut être découplée en deux termes, le premier étant proportionnel à la matrice de masse M, le deuxième à la matrice de rigidité K, tel que :
C=αRM+βRK (4.44)
avec αR et βR les coefficients de proportionnalité de Rayleigh. Cet amortissement est dit vis-queux proportionnel découplé.
Il est possible de montrer (Bathe, 1982) que le facteur d’amortissement critiqueξi pour un mode propre i de pulsation ωi, défini comme le rapport amortissement à la pulsationωi sur amortissement critique peut s’écrire : Le terme enαR participe essentiellement à l’amortissement des basses fréquences, tandis que le terme enβRa un impact plus fort sur les hautes fréquences.
La fréquence modale basse de la langue est supposée de l’ordre de 10 Hz. Nous cherchons donc à déterminer des coefficientsαR etβR tel queξ0 soit proche de 1, c’est-à-dire de l’amor-tissement critique, aux alentours de 10 Hz, tout en assurant la stabilité du système.
Nous avons choisiαR=40 s−1etβR=0,03 s. La Figure 4.36 donne le facteur d’amortis-sement critique en fonction de la fréquence sur la plage[1,20]Hz pour les paramètres retenus.
Le système est légèrement suramorti dans le domaine de fréquences qui nous intéresse, et aug-mente brutalement pour des fréquences faibles, plus lentement pour des fréquences élevées.
0 5 10 15 20
FIG. 4.36 – Rapport amortissement sur amortissement critique en fonction de la fréquence pourαR=40 s−1etβR=0,03 s.
Ce facteur d’amortissement est extrêmement important pour pouvoir obtenir des résultats fiables en dynamique. En effet, les données articulatoires obtenues à l’aide d’un articulographe électromagnétique (EMA) donnant les courbes de vitesse de points à la surface de la langue lors de transitions vocaliques se présentent le plus souvent sous forme de courbes de vitesse en cloche. Les simulations ont montrées qu’une augmentation de l’amortissement (tests avec
4.6 Modélisation dynamique 91
les couples(αR,βR) = 6,22 s−1,0,11 s
ou(αR,βR) = 10 s−1,0,07 s
, Figure 4.37) modifiait considérablement ces courbes de vitesse : la phase d’accélération est alors beaucoup plus courte qu’attendue et la phase de décélération plus longue avec des pics de décélérations trop faibles en valeur absolue. La Figure 4.38 donne un exemple de vitesses et d’accélérations obtenues lors de l’activation du GGp pour un nœud au niveau de l’apex dans le plan médiosagittal. Les valeurs utilisées semblent cohérentes avec les données EMA généralement observées (voir Ostry et Munhall (1985) pour des exemples de mouvements linguaux).
0 5 10 15 20
0 2 4 6 8
Fréquence (Hz)
Facteur d’amortissement critique
FIG. 4.37 – Facteur d’amortissementξ en fonction de la fréquence pour (αR,βR) = 40 s−1,0,03 s (traits pleins),(αR,βR) = 10 s−1,0,07 s
(pointillés) et(αR,βR) = 6,22 s−1,0,11 s
(tirets).
4.6.3 Temps de calcul
Les temps de calcul indiqués ci-dessous ont été obtenu avec le logiciel ANSYS™11.0 sous Windows XP Professional SP2 avec un Pentium IV (CPU de 3,00 GHz et 1,00 Go de RAM).
Avec une mise à jour des forces nodales toutes les millisecondes et un pas de temps iden-tique, les temps de calcul nécessaires pour un mouvement de 100 ms sont de l’ordre 40 minutes à 1 heure. Entre 50 et 70 % du temps de calcul correspond à la résolution des équations différen-tielles, selon le nombre d’itérations nécessaires (convergence plus lente, contacts entre la langue et les autres structures, déformations plus ou moins importantes). 6 à 10 % du temps de calcul sont utilisés pour déterminer les longueurs des macro-fibres et leur vitesse d’élongation, 5 à 8 % pour le calcul et l’application des forces nodales (hors calcul de longueurs et de vitesses) et 20 à 30 % pour la mise à jour des paramètres biomécaniques des tissus linguaux.
92 CHAPITRE4 : Implémentation du modèle
FIG. 4.38 – Impact des coefficients d’amortissement sur la vitesse et l’accélération. Trois jeux de coef-ficients ont été testés :(αR,βR) = 40 s−1,0,03 s
(traits pleins),(αR,βR) = 10 s−1,0,07 s
(pointillés) et(αR,βR) = 6,22 s−1,0,11 s
(tirets). Les vitesses et accélérations correspondent aux valeurs simulées pour un nœud au niveau de l’apex dans le plan médiosagittal, lors de l’activation du GGp.
CHAPITRE 5
Synthèse acoustique des voyelles
Ce chapitre décrit la méthode utilisée pour valider sur le plan acoustique les simulations effectuées. Nous nous concentrerons essentiellement sur la démarche effectuée pour extraire la filière aérique. Le lecteur pourra consulter l’ouvrage de Johnson (2003) pour une introduction à l’acoustique phonétique.