Les modèles continus

La DFT nous permet d’obtenir les configurations des défauts, ainsi que les énergies associées. En utilisant ces données, nous pouvons construire des mo- dèles MC et KMC qui nous donnent les diagrammes de phase des défauts, leur cinétique, leur diffusion. Il est cependant impossible de reproduire des expé- riences directement en MC ou KMC : les concentrations en défauts sont trop faibles, les durées trop longues.

Pour combler cette lacune, nous utilisons la troisième méthode de notre méthode multi-échelles : les méthodes continues. La description atomique est donc supprimée, pour être remplacée par une description continue de la matière. Le coût en mémoire pour décrire l’espace est donc réduit à son minimum.

36 CHAPITRE 1. LA SIMULATION MULTI-ÉCHELLES L’objectif est le même dans toutes les méthodes continues : exprimer les lois qui régissent la matière avec des équations aux dérivées partielles, qui doivent ensuite être résolues.

Concernant les équations de la matière, elles sont nombreuses. Elles se rap- portent à tous les domaines et sont à la base de nombreux autres : équations de Maxwell en électromagnétisme, de Navier-Stokes pour la mécanique des fluides, celle de Fourier en transport thermique... Selon le problème auxquels nous nous intéressons, différentes équations existent.

Les solutions à ces équations ne sont dans le cas général pas connues. Plu- sieurs méthodes existent, l’essor de l’informatique ayant permis de développer des techniques de résolution numérique. Ces techniques consistent à discrétiser l’espace-temps afin de pouvoir résoudre point par point ces équations[73].

Puisque nous nous intéressons au comportement des défauts dans les ma- tériaux, plusieurs équations nous intéressent plus particulièrement. Il y a tout d’abord la première et la seconde loi de Fick. La première énonce que le flux de particules diffusantes est proportionnel au gradient de la concentration. La seconde loi énonce que la variation de concentration des espèces est opposée à l’intégrale du flux sortant. Ces deux lois permettent de calculer la variation de la concentration en espèces en fonction de la diffusion de celles-ci.

L’équation de réaction permet de calculer la variation des concentrations des espèces, en fonction des vitesses de réaction. Les divers défauts présents dans les matériaux peuvent former des complexes, dont la vitesse de diffusion varie en fonction des défauts et complexes formés.

Dans le cas du silicium, ces trois équations permettent de simuler la varia- tion de concentration des espèces au sein d’un matériau en fonction du temps. Il faut cependant connaître leur vitesse de diffusion et de réaction, ainsi que les constantes d’équilibre de ces réactions. Ces données sont donc l’objectif de nos simulation MC et KMC. Les données obtenues seront plus spécifiquement utilisées pour construire un set d’équations de réactions limitées par diffusion.

Dans le cas des batteries, nous nous intéressons à la diffusion du lithium dans le graphite, mais également aux changements de phases qui s’opèrent dans les composés d’intercalation. Notre objectif est donc d’obtenir des informations sur la diffusion du lithium, ainsi que sur la vitesse de propagation des phases.

Concernant la résolution de ces équations, nous utiliserons la fonction ode du logiciel Scilab[17]. Elle permet de résoudre des équations aux dérivées par- tielles, tout en optimisant le temps de calcul en choisissant entre divers méthodes (implicites ou explicites) en fonction de la raideur des équations. Elle évite ainsi de devoir préconditionner le problème. Les temps de résolution sont de l’ordre de la minute, temps CPU, pour les problèmes que nous avons résolu, ce qui permet de simuler à bas coût un grand nombre de conditions initiales.

Enfin, ce logiciel est libre et utilisable par l’ensemble de la communauté scientifique. D’autres logiciels permettent de remplir les mêmes fonctions, et peuvent être utilisés selon les préférences de chacun. Notre troisième méthode est donc légère et utilisable par tout scientifique le désirant.

Nous avons présenté, dans cette partie, un ensemble de méthodes numé- riques qui nous permettent de construire une modélisation multi-échelles. Nous choisissons tout d’abord le matériau et le type de défaut à simuler. La DFT nous permet d’obtenir les configurations et les énergies de ces divers défauts. Dans un second temps, les simulations MC et KMC nous permettent d’obtenir les caractéristiques macroscopiques des défauts. Enfin, des sets d’équations aux

1.3. VOIR PLUS GRAND. 37 dérivées partielles permettent d’exprimer l’évolution du matériau en fonction du temps. Ces équations sont solubles avec un faible coût de ressources.

Notre méthode multi-échelles remplit donc l’ensemble du cahier des charges que nous avions fixé. Dans les deux chapitres suivants, nous allons présenter les divers développements au niveau des algorithmes ou des logiciels qui ont été nécessaires à la réalisation de ce travail.

Chapitre 2

Comment paralléliser un

Monte-Carlo ?

Le chapitre précédent présentait les différentes méthodes que nous allons utiliser dans ce travail. Les principales méthodes que j’ai utilisées sont les MC et KMC. Plusieurs développements ont été requis pour mener ce travail à bien. Un premier développement a été centré sur l’accélération du KMC. En effet l’algorithme BKL permet de simuler l’évolution temporelle d’un système. Il est cependant rapidement limité par la taille du système, qui rend certains calculs fastidieux. À l’heure du calcul parallèle, nous allons présenter deux méthodes permettant d’exploiter plusieurs cœurs de calcul afin d’accélérer la simulation.

La première méthode est de scinder le système en plusieurs sous-espaces, qui pourront être simulés de façon parallèle. La seconde méthode possible est de simuler plusieurs systèmes identiques, puis d’échantillonner ceux offrant la meilleure convergence.

Nous allons dans un premier temps mettre en évidence les limites de l’algo- rithme que nous utilisons, celui de BKL. Ensuite, nous présenterons la méthode de simulation par domaines, avec ses avantages et inconvénients. Enfin, nous terminerons par la méthode d’échantillonnage.

2.1

Le Monte-Carlo cinétique et ses limites

Nous avons présenté l’algorithme BKL, dont nous nous servons pour calculer l’évolution temporelle d’un système. Il permet d’obtenir les caractéristiques de la diffusion des défauts, ainsi que leur stabilité en fonction de la température et du temps.

Cet algorithme souffre cependant de deux défauts majeurs. Ces deux défauts sont liées au temps de calcul d’un pas de BKL. Lors d’un pas, il est nécessaire d’actualiser la liste des mouvements possibles et de tirer un événement aléatoire de cette liste.

Ces deux étapes peuvent prendre un temps considérable en fonction de la taille du système ou de la distance d’interaction entre les sites du réseau. Nous al- lons expliciter ici les causes de ce ralentissement, en commençant par l’influence de la taille du système, puis celle du nombre de voisins de chaque site.

40 CHAPITRE 2. COMMENT PARALLÉLISER UN MONTE-CARLO ?