Modèle RecUPS

Pour les métaux de structure cubique à faces centrées, la matrice d’interaction se réduit à

quatre paramètres supposés constants dans un domaine de déformations allant de 0,5 % à 3 %

[FRA84]. A haute température, en l’absence de données, les quatre paramètres sont supposés

identiques et seul a

0

sera identifié. Ce paramètre est supposé constant pour les déformations élevées

puisqu’il n’y pas création de parois de dislocations pouvant modifier les interactions entre dislocations

comme ceci peut être le cas à température ambiante.

La loi d’évolution de la densité de dislocations du modèle CristalECP s’appuie sur les

interactions du type forêt. Celle-ci correspond à l’équation généralisée du modèle de Kocks et al.

[KOC76] :

(4.2.7)

où K est un paramètre traduisant l’efficacité du mécanisme de création des dislocations, il est lié au

libre parcours moyen des dislocations, , qui correspond à la distance moyenne parcourue par une

dislocation avant d’être immobilisée, g

c

, la distance d’annihilation des dislocations, D le diamètre

moyen des grains.

L’évolution de la densité de dislocations dans l’Equation 4.2.7 dépend donc de deux termes :

- un de création, correspondant à la multiplication des dislocations,

- un d’annihilation.

L’ensemble des paramètres matériaux à identifier est au nombre de douze, auquel il faut

ajouter les coefficients de la matrice d’élasticité ainsi que la densité de dislocations initiale .

4.2.2 Modèle de recristallisation : CAReX

Le modèle de recristallisation CAReX est du type automate cellulaire développé par Solas et

al. [SOL01]. Une version précédente, RecUPS, fut utilisée par Erieau pour modéliser le phénomène de

recristallisation statique après une déformation réalisée dans CristalECP [ERI04]. Cette approche fut

ensuite adaptée par Thébault, sous forme de chaînage séquentiel, pour modéliser la mise en forme de

l’Udimet 720 en utilisant CristalECP pour le phénomène de déformation et RecUPS pour le

phénomène de recristallisation dynamique [THE09].

La présentation du modèle de recristallisation est réalisée en deux étapes : dans un premier

temps, le modèle RecUPS sera introduit puis les modifications apportées seront ensuite présentées.

4.2.2.1 Modèle RecUPS

RecUPS est un modèle à deux dimensions utilisant les automates cellulaires nécessitant que

les propriétés matériaux soient représentées en configuration non déformée, c’est-à-dire sous forme

d’un maillage régulier correspondant à la morphologie d’une zone acquise par EBSD.

L’utilisation de la méthode des automates cellulaires nécessite la prise en compte des cellules

141

passage du maillage carré utilisé en éléments finis au maillage hexagonal se fait en réalisant un

décalage d’un demi-pas (Figure 4.2.2). Ainsi, l’ensemble des premiers voisins sont à égale distance.

Figure 4.2.2 : Modification du pavage pour adapter le maillage carré utilisé dans CristalECP au

maillage hexagonal de RecUPS [THE09]

Chaque élément du pavage hexagonal correspond à un site de l’automate cellulaire. Chaque

site contient des informations du type :

- angles d’Euler ( )

- densité de dislocations totale

- composantes dutenseur des contraintes et des déformations (pas utilisé dans RecUPS)

Afin de décrire la recristallisation dynamique discontinue, deux étapes sont intégrées dans le

modèle RecUPS : la germination et la croissance.

Mécanismes lié à la germination

Deux critères sont à respecter pour qu’un germe puisse apparaître sur un site :

- un critère topologique,le site considéré doit nécessairement être localisé au niveau d’un joint

de grains pour respecter la notion d’interface fortement désorientée au cours de la germination,

- un critère énergétique,fondé sur l’énergie stockée :

(4.2.8)

où est la valeur de l’énergie stockée nécessaire à la germination.

A chaque étape du calcul, on parcourt l’intégralité des sites pouvant germer. Si le critère est

respecté, le site est considéré comme un germe. Celui-ci conserve son orientation cristallographique

mais son énergie stockée est réduite à 2,5.10

^-5

mJ/mm

³

( ) correspondant à une densité de

dislocations totale équivalente pour un site recristallisé ( ) de 1,2.10

⁴

mm

^-2

.

Mécanismes lié à la croissance

Un deuxième critère est défini pour déterminer si un site peut croître ou non. Il est uniquement

basé sur l’énergie stockée de la façon suivante :

(4.2.9)

Pour qu’il y ait croissance de grain, il faut que le site considéré ait une énergie stockée

suffisamment faible (Equation 4.2.9) pour qu’il soit encore considéré comme recristallisé. Le schéma

représentant l’évolution de l’énergie stockée de la Figure 4.2.3 est introduit pour clarifier les critères

142

Figure 4.2.3 : Schéma représentant les différents critères (à identifier) du modèle RecUPS

Le mécanisme de croissance est introduit par l’équation générique :

(4.2.10)

où R est le rayon du grain considéré, V, la vitesse de migration du front de transformation, M, la

mobilité de l’interface, , la force motrice et , la pression de Zener (considérée nulle par la suite).

Pour un site satisfaisant à l’Equation 4.2.9, les six voisins hexagonaux sont étudiés afin de

déterminer la direction de croissance. L’Equation 4.2.10 est donc appliquée à chacun des six voisins et

seul celui présentant la plus grande vitesse de migration du front de transformation contribuera à la

croissance.

La mobilité de l’interface entre les sites s et s’ ( ), s’exprime sous la forme :

(4.2.11)

où est la mobilité moyenne pour une interface de forte désorientation et , la désorientation

entre les sites s et s’.

Le coefficient ″10″ au dénominateur a été identifié, de manière à obtenir une forte mobilité

pour les joints de grains ( > 15°) et une faible mobilité pour les sous-joints, correspondant à ce qui

est observé expérimentalement.

La force motrice correspond à la variation d’énergie interne du système, entre l’état initial

et l’état final, à condition qu’il y ait croissance du site s’ à partir du site s (Figure 4.2.4).

Figure 4.2.4 : Schéma de principe de la réorientation au cours de la croissance

La force motrice déterminée pour la croissance d’un site s’ à partir d’un site s est :

(4.2.12)

où est la variation de la densité d’énergie stockée et est la variation de la densité

143

La densité d’énergie de joint de grains est définie par :

(4.2.13)

où est la dimension du site et , l’énergie de joint de grains entre les sites s et s’, exprimée à

partir de l’équation de Read et Shockley :

si et (4.2.14)

où est l’énergie de joint de grains pour les fortes désorientations et , l’angle critique différenciant

un joint d’un sous-joint, fixé à 15°.

Si la force motrice (seulement celle qui est maximale pour les différents voisins) est positive,

il n’y a pas croissance. Si la force motrice est négative, la vitesse de migration du front de

transformation est déterminée à partir de l’Equation 4.2.10.

Dans les simulations, l’unité de référence est le ″pas de temps automate cellulaire″ (noté ″pas

de temps AC″). A chaque cycle de déformation, il est associé un pas de temps , qui dépend du

nombre de pas de temps AC et du temps total de la simulation t, tel que :

(4.2.15)

Durant un incrément de temps , le joint de grains se déplace d’une distance d. Cette

distance est comparée à la distance initiale entre deux sites voisins , ce qui donne la probabilité de

réorientation P :

(4.2.16)

Cette probabilité P est comparée à un nombre aléatoire compris entre 0 et 1. Si cette

probabilité est supérieure au nombre aléatoire, la réorientation est acceptée. Le nombre est aléatoire et

non fixé, de manière à éviter les évolutions du type ″tout ou rien″et les phénomènes d’ancrage. Enfin,

lorsque la probabilité de réorientation a été calculée pour chaque site, la microstructure est mise à jour.

Cette mise à jour correspond à l’évolution microstructurale durant un incrément de temps

et est égale à un pas de temps AC. L’incrément de temps doit être faible, de sorte que dreste

inférieure à et donc que P reste inférieure à 1. C’est cette condition qui détermine le nombre de pas

de temps AC, ainsi que l’incrément de temps .

Dans le document Contribution à l'étude mésoscopique de la recristallisation dynamique de l'Inconel 718, lors du forgeage à chaud. : Approches expérimentale et numérique (Page 151-154)