Modèle 1D : Transfert de chaleur dans l’épaisseur

Le principal objectif de cette section est de montrer que les transferts de chaleur se font correctement dans l’épaisseur du ruban et que les températures atteintes sont dans le même ordre de grandeur pour les deux types de simulation. On considère ici un limiteur qui utilise un ruban supraconducteur de 10 m de long et 4 mm de large. Le courant critique, considéré homogène sur toute la longueur du rSFCL, est fixé à 100 A.

L’architecture du ruban repose sur 3 couches qui sont empilées de haut en bas dans l’ordre suivant :

1. Argent (2µm) 2. (RE)BCO (1 µm) 3. Hastelloy (100 µm)

Notons qu’il n’y a pas de couches d’argent inférieure ni latérale. Comme il n’y a pas de variations de densité de courant critique ni de géométrie sur la longueur (axe ~y) et la largeur (axe ~x) du rSFCL, la discrétisation est seulement nécessaire suivant l’épaisseur (axe ~z), ce qui revient donc à étudier un problème 1D. De ce fait, pour le modéliser, il suffit d’un seul élement dans la longueur et dans la largeur du ruban. La discrétisation et les dimensions des blocs électrothermiques de bases sont données dans le tableau 3.4. En ce qui concerne le refroidissement entre le ruban supraconducteur et le bain d’azote, comme on considère un montage anti-inductif, on réduit la surface d’échange à la seule face supérieure de la couche

Tableau 3.3 Paramètres utilisés pour le (RE)BCO afin d’obtenir les résul-tats présentés dans cette section.

Paramètre Valeur Description

E_c 1 µV/cm Critère de champ électrique critique

J_c0 2.5 MA/cm2 Densité de courant critique en champ propre

n 15a exposant de la loi de puissance

ρ_Tc 30µΩ.cm b Résistance à l’état normal à T =T_c α 0.47 µΩ.cm/K ^b Coefficient de température

T_c 90 K Température critique

T₀ 77 K Température du bain d’azote

a Basé sur des données expérimentales issues d’essais publiés dans [112].

bDéduit à partir de Friedmannet al.[111] en moyennant la résistivité à l’état normal le long des axes cristallographiquesaet b.

Tableau 3.4 Architecture du ruban et sa discrétisation pour l’étude de cas 3.5.1

Couche Materiau ^{Épaisseur # d’élément(s) 2∆x 2∆y 2∆z} (µm) x×y×z (mm) (m) (µm) 1 Argent 2 1×1×2 4 10 1 2 (RE)BCO 1 1×1×1 4 10 1 3 Hastelloy 100 1×1×5 4 10 20

d’argent. La couche d’hastelloy est considérée isolée de l’azote liquide. En effet, par symétrie le gradient de température est idéalement nulle au centre du montage (voir figure 3.10).

Le limiteur, ainsi modélisé, a été inséré dans un réseau radial simple qui est présenté à la figure 3.11 et qui comporte :

— Une source de tension idéaleV_s = 250 V ;

— Un rSFCL , de résistanceR_LIM, connecté en série sans aucune impédance en parallèle ; — Une charge purement résistive avecR_L= 5 Ω ;

— Un interrupteur idéal permettant de créer un court-circuit àt =t_s= 20 ms ; — Une résistance R_F en série avec l’interrupteur de court-circuit.

Hastelloy Buffer (RE)BCO Argent z x ∇T_z = 0

Figure 3.10 Illustration de la symétrie liée au montage anti-inductif. L’axe de symétrie est représenté en pointillés. Il correspond au centre du montage, là où les deux rubans supracon-ducteurs sont séparés par une couche d’isolation électrique (non représentée pour simplifier le schéma). Notons que la structure anti-iductive serait plus efficace en rapprochant au maxi-mum les couches de (RE)BCO. Il faudrait alors réaliser les simulations du ruban avec le refroidissement du côté de l’Hastelloy.

le rSFCL dans différentes conditions de fonctionnement en faisant varier la valeur de la résis-tanceR_F. Les conditions nominales de fonctionnement génèrent un courantI_LIM =V_s/R_L= 50 A_pk =I_c/2. En ce qui concerne le défaut, les simulations ont été réalisées avec différents niveau de courant de court-circuit présumé, notéI_p, dont la valeur maximale varie entre 10I_c

et 1.75Ic, ce qui correspond à 0.263 < R_F <2.0 Ω.

Les simulations ont tout d’abord été effectuées dans l’environnement EMTP-RV et, de ces premières simulations, il a été extrait la tension aux bornes du limiteur, qui a été divisée par la longueur totale pour obtenir un champ électrique équivalent. Ce dernier a été appli-qué à un modèle réduit, c’est à dire, de plus faible longueur, dans COMSOL Multiphysics. Cela permet finalement de comparer les courants et températures issus des deux modèles de simulation.

Afin de s’assurer du bon comportement du modèle circuit par rapport à son homologue utilisant la MEF, plusieurs points ont été observés et évalués :

1. Comparaisons des courants issus des deux méthodes de simulation auxquels il a été ajouté les résultats d’un modèle homogène en température, c’est à dire qu’il n’y a qu’une seule et même capacité thermique pour l’ensemble du ruban. Cette capacité thermique “homogénéisée” a été obtenue en connectant l’ensemble des condensateurs

non-linéaires de chaque bloc élémentaires qui composent le ruban en parallèle. Cela signifie également que toutes ces couches sont à la même température. Cela permet, entre autres, de contrôler la validité du modèle homogène pour une large plage de courant de court-circuit.

2. La température de la couche supraconductrice (RE)BCO pour chaque modèle de si-mulation permet de voir si le modèle EMTP-RV reproduit fidèlement les pertes et la transition de l’état supraconducteur vers l’état résistif en complément des don-nées électriques observées au point précédent. Cela permet également de vérifier que le refroidissement est correctement modélisé et que la montée comme la descente en température s’effectuent correctement.

3. L’écart de température entre la couche de (RE)BCO et la “base” de l’hastelloy, qui permet d’évaluer la précision de la modélisation du gradient de température qui existe dans l’épaisseur du ruban supraconducteur.

Le point 1) est illustré à la figure 3.12. On y trouve les courbes de courant qui circule dans le rSFCL pour les trois modèles de simulation avecI_p = 10I_c. On observe un très bon accord entre le modèle de simulation par éléments finis sur COMSOL et le modèle circuit dans l’environnement EMTP-RV. Il est important de noter que la simulation COMSOL démarre à l’instant où l’on fait le court-circuit, c’est à dire à t=ts = 20ms, ce qui explique l’absence de résultat avant cette période. On peut noter une légère surestimation du courant avec le modèle homogène (≈8%) durant le premier pic, ce qui provoque une surestimation, bien que faible (≈ 1 K), de la température du ruban supraconducteur.

Concernant le point 2), la dernière observation s’explique par une montée en tempé-rature un peu plus lente du modèle homogène lors du premier pic de courant, tel que l’on peut l’observer à la figure 3.13, ce qui provoque cette légère surestimation du courant. De plus, comme on peut l’observer pendant les phases de réchauffement et de refroidissement, l’utilisation d’une capacité thermique homogénéisée lisse légèrement les variations de tempé-ratures (les pentes sont plus faibles). En ce qui concerne les tempétempé-ratures obtenues avec les modèles COMSOL et EMTP-RV non homogène, le bon accord des températures confirme les observations faites lors de l’analyse des courant à propos de la précision du modèle EMTP-RV. On peut également ajouter que le refroidissement du ruban dans le modèle circuit est fidèle à son homologue par éléments finis, ce qui permet de conclure que le refroidissement est correctement modélisé dans EMTP-RV.

R_F V_s R_LIM rSF CL R_L I_LIM + ts

Figure 3.11 Illustration du réseau utilisé dans cette section pour la vérification du modèle d’un rSFCL. Il s’agit d’un réseau radial très simple qui permet de faire varier l’amplitude et/ou la durée du court-circuit à l’aire de la résistance R_F et l’interrupteur associé.

dans l’épaisseur du ruban. Le phénomène est illustré à la figure 3.14. Il a été determiné en soustrayant la température de l’élément qui consitue la base de l’hastelloy à celle de la couche de (RE)BCO, il y a donc une distance d’environ 100 µm entre ces deux points. L’écart de température le plus important est de l’ordre de 3 K et, même si cela était attendu, ce gradient de température est observé pendant le premier pic, donc durant la phase de transition de l’état supraconducteur vers l’état résistif. La différence est ensuite plus faible et se maintient à une valeur inférieure à 2 K. Le modèle homogène n’est pas intégré ici car la température y est identique partout et aucun gradient de température ne peut exister dans de telles condi-tions.

Notons que, dans ce cas de figure, lorsque I_p = 10I_c et particulièrement avec cette architecture de ruban, les résultats demeurent acceptables pour les trois modèles testés et, même si le modèle homogène n’est pas le plus précis, il est relativement fidèle aux deux autres qui considèrent les transferts de chaleur dans l’épaisseur du ruban et présente l’avantage d’être moins gourmand en ressources de calcul et en temps de construction. Il reste tout de même important de vérifier la validité du modèle homogène pour des conditions de fonctionnement qui pourraient lui être moins favorables et propices à générer des erreurs, notamment lorsque le courant n’est que faiblement supérieur au courant critique. C’est pourquoi les points 1), 2) et 3) ont été repris avec un courant de court-circuit plus faible, c’est à dire I_p = 1.75I_c= 175 A.

0 20 40 60 80 100 −50 0 50 100 150 200 250 Temps, t (ms) Couran t, I^LI M (A) EMTP-RV COMSOL

EMTP-RV (homog´en´eis´e)

20 21 22 23 24 25 100 120 140 160 180 200 220

Figure 3.12 Résultats des simulations EMTP-RV et COMSOL Multiphysics pour le Courant

I_LIM, qui circule dans l’ensemble du rSFCL selon le circuit de la figure 3.11 pour R_L = 0.263 Ω, soit Ip = 10Ic = 1000 A_pk. Notons que la simulation COMSOL débute à l’instant où l’on réalise le court-circuit, ce qui explique la forme du premier cycle qui n’a donc pas été simulé. En ce qui concerne l’homogénéisation de la température, qui utilise une capacité thermique unique pour l’ensemble des couches qui composent le ruban, on note que cela génère une surestimation du courant pendant le premier pic ≈8%.

En ce qui concerne le cas où Ip = 1.75Ic, la méthode a légèrement changée. En effet, plutôt que d’imposer la tension dans le modèle éléments finis dans COMSOL et de récupérer le courant, c’est l’inverse qui a été réalisé. Cela permet de faire une double vérification et de s’assurer que le développement de la tension aux bornes du modèle circuit est similaire à celui obtenu avec COMSOL.

Le développement de la tension aux bornes du limiteur lorsqueIp = 1.75Ic est donné à la figure 3.15. On observe à nouveau un très bon accord entre les deux types de simulation. Le cas où T est homogène dans tout le ruban a également été ajouté de manière à être comparé

0 20 40 60 80 100 80 90 100 110 Temps, t (ms) T emp ´erature, T (K) (RE)BCO, EMTP-RV (RE)BCO, COMSOL Homog´en´eis´e, EMTP-RV

Figure 3.13 Résultats des simulations COMSOL et EMTP-RV pour la température de la couche (RE)BCO dans les mêmes conditions de fonctionnement que pour la figure 3.12. En dehors du modèle homogène, les modèles COMSOL et EMTP-RV produisent des résultats identiques. Bien que légèrement différentes, les températures obtenues avec le modèle homo-gène ne sont pas non plus dénuées de sens.

avec les deux cas précédents. Dans ce dernier cas de test, on observe une élévation de tension qui est très proche dans les premier instants du court-circuit, c’est à dire, entre 20 ms et 75 ms. Après cet instant, la tension augmente moins rapidement que dans le cas d’un mo-dèle qui considère les transferts de chaleur sur l’épaisseur du ruban. Cela s’explique par une montée en température plus lente du modèle homogène, telle que l’on peut l’observer sur la figure 3.16. En ce qui concerne la modélisation du gradient de température dans l’épaisseur du ruban, illustré à la figure 3.17, les résultats de simulation du modèle circuit sont, une fois de plus, indissociables. Cela confirme les résultats observés précédemment. On notera tout de même qu’avec des transitoires plus lents, du fait du courant de court-circuit plus faible, le gradient de température sur l’épaisseur du ruban est moins important, et les écarts de température dans l’épaisseur du ruban sont de l’ordre de 1 K.

Cet effet, bien que temporaire dans le cas présent, étant donné que nous arrivons à la même solution d’équilibre, impacte automatiquement les résultats de simulation. En effet, on observe des amplitudes de courant limitées qui sont légèrement plus élevées avec

l’homo-0 20 40 60 80 100 −1 0 1 2 3 Temps, t (ms) ∆ T (K) EMTP-RV COMSOL

Figure 3.14 Différence de température ∆T entre la couche de (RE)BCO et la base de l’has-telloy pour I_p = 10I_c = 1000 A_pk. L’écart de température entre les deux point étant respecté pour les deux types de simulation, il est raisonnable de penser que le gradient de température dans l’épaisseur du ruban est bien modélisée.

généisation des températures comparativement à celles obtenues avec un modèle qui dispose d’une représentation des phénomènes physiques plus complète (cf. figure 3.18). Dans le cas présent, notons que nous n’observons pas d’emballement thermique et que la température semble tendre vers une certaine stabilité autour d’un point de fonctionnement.

Néanmoins, les risques d’emballement thermique sont assez forts car le phénomène est très sensible, c’est à dire que quelques milliAmpères supplémentaires, associés à la non-linéarité du refroidissement dans le bain d’azote, peuvent être suffisants pour réunir les conditions d’un emballement thermique [14]. Il est également intéressant de mentionner que ce type de graphique nous permet également de connaitre le sens du flux de chaleur dans l’épaisseur du ruban. Comme le flux de chaleur se déplace toujours de la “source chaude” vers la “source froide”, un résultat positif indique un transfert de chaleur de la couche supra-conductrice (RE)BCO vers l’hastelloy, tandis qu’un signe négatif suppose un flux de chaleur dans le sens hastelloy vers (RE)BCO.

Selon ces premières observations, l’utilisation d’un modèle homogène semble être plus délicate et moins adaptée à des courants “faibles” juste au dessus de la valeur du courant critique. En effet, sur la figure ci-dessus où I_p = 1.75I_c = 175 A_pk, on observe des écarts

20 40 60 80 100 −40