Modèle 2D : propagation du front de chaleur sur la longueur du ruban 75

−20 −10 0 10 20 Temps, t (ms) T ension, V^LI M (V) EMTP-RV COMSOL

EMTP-RV (homog´en´eis´e)

Figure 3.15 Résultats des simulations EMTP-RV et COMSOL Multiphysics pour l’élevation de la tension V_LIM aux bornes du rSFCL dans les conditions de fonctionnement décrites par le circuit de la figure 3.11 avecRL = 2 Ω, soitIp = 1.75Ic = 175 A_pk. Notons que les résultats de simulation sont montrés à partir du début du court-circuit car la tension est quasi-nulle avant (quelques nanoVolts). En ce qui concerne l’homogénéisation de la température, qui utilise une capacité thermique unique pour l’ensemble des couches qui composent le ruban, on peut remarquer que cela génère une sous-estimation de la tension aux bornes du rSFCL.

importants dans l’évaluation de la température, ce qui génère des erreurs dans la réponse transitoire du rSFCL. Cela peut se résumer grossièrement à l’ajout d’un délai car une analyse plus approfondie de la validité du modèle homogène est alors proposée dans la section 4.2, de manière à formuler des recommandations quant à l’utilisation du modèle homogène en température.

3.5.2 Modèle 2D : propagation du front de chaleur sur la longueur du ruban

Dans cette partie, l’objectif est de vérifier que la vitesse de propagation de la zone normale est correctement simulée avec le modèle circuit dans l’environnement EMTP-RV.

0 50 100 150 200 80 85 90 95 Temps, t (ms) T emp ´erature, T (K) (RE)BCO, COMSOL (RE)BCO, EMTP-RV Homog´en´eis´e, EMTP-RV

Figure 3.16 Résultats des simulations COMSOL et EMTP-RV pour la température de la couche (RE)BCO dans les mêmes conditions de fonctionnement que pour la figure 3.15. En dehors du modèle homogène, les modèles COMSOL et EMTP-RV produisent des résultats identiques. Comparé au cas précédent (I = 10Ic), on remarque un écart plus important entre le modèle homogène et les modèles qui considèrent la diffusion de la chaleur sur l’épaisseur du ruban.

Nous nous intéressons donc à un cas 2D car, pour modéliser les transferts de chaleur sur la longueur du ruban, il est nécessaire, en complément du maillage de l’épaisseur, de discrétiser la longueur du ruban. Dans cette section, un ruban supraconducteur de 10 mm de long et 4 mm de large a été modélisé. Le courant critique est le même que précédemment, c’est à dire Ic = 100 A, sur la quasi-totalité de la longueur du ruban. En effet, pour générer de la chaleur localement, une zone comprenant un point chaud a été ajoutée. Il existe plusieurs manière de générer localement un point chaud :

— Diminution de la densité de courant critique (faible rayon de courbure, champ magné-tique appliqué, contrainte mécanique, etc.)

— Baisse des capacités de refroidissement (bulle de gaz) ou apport de chaleur local (ame-née de courant)

— Variabilité de l’architecture du ruban avec, notamment, l’épaisseur des couches mé-talliques (notamment le shunt en argent/cuivre) qui, si elle est réduite, augmentera localement la résistance électrique et les pertes.

0 50 100 150 200 −1 0 1 2 Temps (ms) ∆ T (K) COMSOL EMTP-RV

Figure 3.17 Différence de température ∆T entre la couche de (RE)BCO et la base de l’has-telloy pour I_p = 1.75I_c = 175 A_pk. Commme dans le cas précédent, où l’on avait I_p = 10I_c, l’écart de température entre les deux points est à nouveau bien respecté pour les deux types de simulation, il est raisonnable de penser que le gradient de température dans l’épaisseur du ruban est bien modélisé.

Bien que la polyvalence de notre modèle nous permette de modéliser toutes ces situations, nous avons utilisé l’une des solutions parmi les plus communément utilisées pour créer ce que l’on pourrait qualifier de “défaut”, soit une réduction locale de la densité de courant critique à l’extrémité droite du ruban sur une longueur de 1 mm avec J_cF = 0.55J_c0. L’archi-tecture de ruban utilisée ici diffère un peu du modèle précédent (cf. figure 3.19). En effet, on considère ici 4 couches différentes soit, par rapport au modèle précédent, une couche d’argent supplémentaire du côté de l’hastelloy. En revanche, pour garder un aspect deux dimensions uniquement, aucune couche d’argent n’a été ajoutée sur le côté du ruban. De cette manière, tel que cela a été fait dans le modèle proposé précédemment, il n’est pas nécessaire de discré-tiser le ruban suivant la largeur (axe ~x). Toujours selon les résultats obtenus dans la section précédente, la discrétisation suivant l’épaisseur (axe ~z) a été conservé en y ajoutant deux nouveaux blocs électrothermiques pour modéliser la couche d’argent additionnelle. La dis-crétisation du ruban, autant sur l’épaisseur que la longueur du ruban, est fournie dans le tableau 3.5.

La précision du modèle concernant le refroidissement ayant été vérifiée dans le cas d’étude précédent, les simulations présentées ici sont réalisées dans des conditions de fonc-tionnement adiabatiques, c’est à dire Q_c = 0. Une source de courant commandée sert à

0 50 100 150 200 −200 −100 0 100 200 Temps, t (ms) Couran t, I^LI M (A) EMTP-RV

EMTP-RV (homog´en´eis´e)

Figure 3.18 Résultats des simulations EMTP-RV pour le courant ILIM, qui circule dans l’ensemble du rSFCL en considérant un modèle non homogène en température et son “équi-valent” homogène. Selon le circuit de la figure 3.11 pourR_L = 2 Ω, soitI_p = 1.75I_c= 175 A_pk. En ce qui concerne l’homogénéisation de la température, qui utilise une capacité thermique unique pour l’ensemble des couches qui composent le ruban, on note que cela génère une surestimation partielle du courant de court-circuit.

imposer la circulation du courant dans le ruban sous la forme d’un échelon I =I_c = 100 A pendant 30 ms. La vitesse de propagation de la zone normale est évaluée en mesurant le temps ∆t, qui correspond au temps de propagation du front de chaleur sur une distance

d= 250 µm entre deux mesures de température successives. Le seuil de température pour le calcul de la NZPV est fixé à 90 K, soit la valeur de la température critique. On obtient la vitesse par la relation N ZP V =d/∆t.

Dans la même optique de vérification des résultats, et tel que cela a été utilisé précé-demment, on compare ici les résultats obtenus avec le modèle circuit dans EMTP-RV et ceux obtenus avec la méthode des éléments finis dans COMSOL. La première étape consiste à

Argent sup´erieur

Argent inf´erieur

(RE)BCO (RE)BCO (d´efaut)

Substrat en Hastelloy

z

y

Figure 3.19 Illustration de l’architecture de ruban utilisée pour l’évaluation de la vitesse de propagation de la zone normale (les dimensions ne sont pas à l’échelle). Un point chaud, où la densité de courant critique a été abaissé volontairement à 0.55 I_c, a été ajouté de manière à générer localement de la chaleur qui va se propager le long du ruban (axe ~y).

Tableau 3.5 Architecture du ruban pour l’étude de la vitesse de propagation de la zone normale^∗

Couche # Matériau ^{Épaisseur Nb d’élem. 2∆x 2∆y 2∆z} (µm) selon x, y, z (mm) (mm) (µm) 1 argent 2 1×n_y ×2 4 5/n_y 1 2 (RE)BCO 1 1×n_y ×1 4 5/n_y 1 3 hastelloy 50 1×n_y ×5 4 5/n_y 10 4 argent 2 1×n_y ×2 4 5/n_y 1 # Du haut vers le bas

∗ Utilisée dans les variables globales du modèle EMTP-RV, n_y repré-sente le nombre d’élément électrothermique qui a été utilisé pour ce cas de simulation.

vérifier l’effet de la discrétisation de la longueur, donc le nombre n_y d’éléments électrother-miques de base, qui constituent le modèle circuit équivalent. Une succession de simulations, utilisant la même architecture et le même courant, en discrétisant de plus en plus finement la

0 2040 80 160 320 13

14 15 16

Nombre d’´el´ements dans la longueur, n_y

NZPV

(cm/s)

EMTP-RV COMSOL

Figure 3.20 Simulation de la vitesse de propagation de la zone normale dans EMTP-RV et COMSOL Multiphysics. On constate que le modèle par éléments finis génère des résultats beaucoup plus stables que le modèle circuit. Ce dernier a tendance à accélérer la vitesse de propagation de la zone normale si la discrétisation n’est pas adaptée (+25% avec 20 éléments, + 3% avec 80 éléments et moins de 1% à partir de 160 éléments).

longueur a permis de définir le nombre d’éléments le plus adapté pour modéliser avec préci-sion le comportement électrothermique du ruban supraconducteur. En effet, comme on peut le voir sur la figure 3.20, le nombre d’éléments a peu d’influence sur les résultats obtenus avec la méthode des éléments finis. Le constat est différent avec le modèle circuit où une discrétisation trop grossière ne permet pas d’évaluer la NZPV de façon précise. On obtient ainsi une surévaluation de la NZPV pouvant atteindre +25% dans le cas présenté.

Plusieurs différences entre les deux méthodes de simulation peuvent expliquer ce com-portement. La première concerne le modèle en lui-même car on ne résout pas exactement le même problème au niveau de l’équation de la chaleur. En effet, dans le modèle circuit, la température pour l’évaluation de κ et C_th est prise au centre du cube, quels que soient la direction et l’emplacement de la résistance thermique. De plus, par hypothèse, on considère une température homogène sur chaque face extérieure de l’élément, ce qui n’est pas le cas dans le cadre d’une modélisation par éléments finis (et dans la réalité). Les effets électriques ne sont pas en reste, avec notamment une densité de courant critique constante à l’intérieur

I ^{Point chaud} Points de calcul z y Chaleur (a) 0 5 10 15 20 25 30 77 90 100 120 140 160 180 200 Temps (ms) T emp ´erature (K) COMSOL (b) 0 5 10 15 20 25 30 77 90 100 120 140 160 180 200 Temps (ms) T emp ´erature (K) EMTP-RV (c)

Figure 3.21 Résultats de simulation de l’évolution de la température de la surface supérieure du ruban : avec le modèle b) éléments finis (COMSOL Multiphysics, 20 éléments) ; et c) le modèle électrothermique sous forme de circuit équivalent(EMTP-RV, 80 elements). Chaque courbe de température est le relevé de température d’un point de mesure tel que cela est illustré en a) qui représente la répartition de ces différents points distribué de façon équi-distante (tout les 250 µm) sur la longueur du ruban (axe ~y). La température la plus élevée correspond au milieu du point chaud, soit l’extrême droite du ruban représenté à la figure 3.19.

d’un élément, on a donc une densité de courant critique qui est modélisée sous la forme d’une fonction constante par morceau. Le modèle circuit nécessite donc une discrétisation plus fine étant donné que les fronts de courant, qui sont directement liés à ceux de température, sont relativement raides.

En ce qui concerne les résultats observés à la figure 3.20, pour la configuration don-née (3.5) et la longueur représentée (5mm), choisir un maillage qui comporte 20 éléments pour la simulation par éléments finis et 80 éléments pour le modèle circuit donne une bonne précision. En effet, dans ce cas de figure, l’erreur est d’environ 3%. C’est d’autant plus inté-ressant que, le temps de simulation sur un même ordinateur est de 226 s sur EMTP-RV (80 éléments) alors qu’il est de 340 s pour COMSOL Multiphysics (20 éléments). Il semble donc

que l’approche circuit électrique soit également intéressante d’un point de vue temps de calcul.

La figure 3.21 représente l’évolution de la température de la surface du ruban pour les deux méthodes de simulation considérées. On peut voir que les deux modèles présentent des résultats de simulation très proches. À titre d’exemple, l’écart de température au niveau du point chaud est d’environ 5%, la température étant légérement plus importante pour le modèle éléments finis. Cela suit une certaine logique car, si l’on se réfère aux observations précédentes (cf. figure 3.20), la diffusion de chaleur est un peu plus rapide avec le modèle circuit qu’avec la MEF, ce qui fait que l’on transmet un peu plus d’énergie aux éléments voi-sins. Cela se reflète également par l’observation des courbes aux températures les plus faibles. En effet, si l’on prête attention au coins inférieurs droits des figures 3.21(b) et 3.21(c), du fait d’une vitesse de propagation de la zone normale un peu plus élevée, on peut constater la “naissance” d’une courbe supplémentaire avec le modèle circuit (c). Il est néanmoins possible de réduire cette erreur en augmentant le niveau de discrétisation dans le modèle circuit.

À titre d’exemple, les résultats présentés à la figure 3.22 ont été obtenus avec une discré-tisation qui utilises 160 éléments dans EMTP-RV en conservant 20 éléments dans COMSOL. On y voit que la précision du modèle EMTP-RV est au rendez-vous, quelle que soit la valeur de la résistance d’interface. L’évaluation de la NZPV sur un modèle à échelle réduite, tel que nous l’avons fait ici, permet d’évaluer la longueur minimum de ruban qu’il faudra finement discrétiser dans un modèle multi-échelle tel que c’est illustré à la figure 3.9. On évitera ainsi de détailler le modèle sur une distance trop courte, ce qui nuirait à la bonne propagation du quench en cas de point chaud. L’évaluation de la distance doit alors être basée sur le temps de simulation et la NZPV elle-même ainsi qu’un terme additionnel dit de “sécurité”. Dans le cas présent, la formule suivante a été déterminée :

L_{f ine} = NZPV×t_end+ 3×CTL, (3.33) avect_end, la durée de la simulation et CTL correspond à la longueur de transfert de courant, c’est à dire la distance sur laquelle s’effectue le transfert du courant qui circule dans la par-tie supraconductrice (RE)BCO vers le stabilisateur en argent et/ou cuivre, et inversement. Étendre la zone finement discrétisée sur une distance plus importante que celle parcourue par la zone normale pendant le temps de simulation est nécessaire. Cela permet d’éviter les “sauts” de températures à la frontière entre les deux zones différemment maillées et assure une continuité du transfert de chaleur le long du ruban, mais aussi dans l’évaluation de la température sur la longueur. Une distance trop courte aurait également pour effet de

mini-miser le développement de la tension dans la zone normale, ce qui ne facilite pas la détection et les réglages éventuels des dispositifs de protection contre les points chauds.

Le respect de cette règle “de base” dans le cas où un seul point chaud est modélisé, ce qui représente l’un des pires cas pour les rubans supraconducteurs, permet de modéliser le reste du ruban par un seul et unique élément sur la longueur restante, qui est alors considéré avec une densité de courant critique J_c homogène. Ce dernier modélise donc la section “L_coarse” illustrée à la figure 3.9. Ce type de modélisation constitue la base de la modélisation multi-échelle dans laquelle il est possible d’assembler côte à côte des éléments électrothermiques de différentes tailles. Cela simplifie par la même occasion, la modélisation, et réduit de manière importante le poids du modèle dans la simulation.

3.5.3 Accélération de la vitesse de propagation de la zone normale

L’une des possibilités prises en compte par le modèle pour accélérer la vitesse de pro-pagation de la zone normale, tel que cela a été mentionné dans la revue de littérature (voir chapire 2), consiste à ajouter une fine interface résistive entre la couche supraconductrice (RE)BCO et la couche d’argent. Cela a pour effet de générer des pertes supplémentaires dans la zone où le courant passe du matériau supraconducteur à la couche d’argent supé-rieure, et finalement d’accélérer la vitesse de propagation de la zone normale en augmentant la longueur de transfert du courant. L’augmentation de la résistance d’interface est, dans son principe, déjà bien connue. Le but de cette partie est de vérifier que le modèle circuit du rSFCL reproduit fidèlement les phénomènes qui entrent en jeu. C’est pourquoi des simula-tion ont été réalisées avec différentes valeurs de résistance d’interface. Les résutats des deux environnements de simulations sont ensuite comparés.

La même architecture de rubans que la section précédente (3.5.2) à la différence que la discrétisation de la longueur du modèle EMTP-RV est basée sur 160 éléments plutôt que 80 (pour la précision), et qu’il a été ajoutée cette résistance d’interface dont les valeurs sont comprises entre 0 et 10³ µΩ.cm². Ces valeurs correspondent, pour la première, à l’absence de résistance d’interface, et pour la seconde à une valeur élevée. Les simulations issues de COMSOL Multiphysics et d’EMTP-RV sont présentées à la figure 3.22. Les résultats obtenus avec le modèle circuit dans l’environnement EMTP-RV sont, à l’image des observations pré-cédentes, fidèle aux simulations par éléments finis exécutées sous COMSOL Multiphysics. Les pertes et les phénomènes physiques liés à l’ajout de la résistance d’interface sont correctement pris en compte. Il en ressort que l’accélération de la NZPV est bien évaluée. Notons qu’une

10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³ 20 40 60 80 R´esistance d’interface (µΩ.cm²) NZPV (cm/s) EMTP-RV COMSOL

Figure 3.22 Simulation de la vitesse de propagation de la zone normale dans EMTP-RV et COMSOL Multiphysics avec l’insertion d’une résistance d’interface entre les couches de (RE)BCO et d’argent

étude un peu plus approfondie quant à l’intérêt d’une vitesse de propagation plus élevée, en utilisant des résistances d’interfaces, est réalisée à la section 4.5.