Élément électrique de base

Le modèle électrique d’un bloc élémentaire est composé de 3 paires de résistances. Chaque axe (~x, ~y et ~z) comprend alors deux résistances réparties également sur sa lon-gueur de manière à créer un point milieu, tel que cela est illustré sur la figure 3.1. Lorsque plusieurs blocs élémentaires sont connectés ensembles, le courant peut alors circuler dans toutes les directions, et donc se répartir naturellement dans toutes les couches qui consti-tuent le ruban supraconducteur. Les résistances sont considérées non-linéaires, autant pour les parties métalliques que pour le matériau supraconducteur. Ainsi, quel que soit le matériau que l’on considère, la résistivité dépend de la température T mais aussi, et spécifiquement pour la couche supraconductrice de type (RE)BCO, du courant I. La valeur des résistances

y

x

z

Q_J(t)

T(t)

Electrical model ^{Electrical analogy of}

thermal model y x z R_th R_el Q_c C_th 2∆y 2∆x 2∆z +

Figure 3.1 Élément électro-thermique 3-D de base. À gauche : Modèle électrique équivalent. À droite : Modèle thermique équivalent. Tous les éléments de circuit sont non-linéaires, c’est à dire que R_el =f(I, T), R_th =f(T) et C_th = f(T). Il est tout a fait possible de réduire le nombre de dimensions considérées dans le modèle en désactivant les résistances (thermiques et ou électriques) du ou des (demi-)axes~x,~y ou ~z, qui ne sont alors plus nécessaires.

électriques R_el de chaque bloc élémentaire est évaluée selon l’expression suivante :

R_el(I, T) = ρ(J, T)^L

A^{, (3.1)}

oùLest la demi-longueur d’un élément,Asa section droite etρ(J, T) représente la résistivité pour un demi-axe. Ainsi, les six résistances qui constituent la partie électrique du modèle sont indépendantes. Si cela n’a pas vraiment d’impact sur la modélisation des métaux, dont les résistivités respectives de chaque demi-axe x, y ou z sont identiques, cela n’est pas sans conséquence pour le (RE)BCO. En effet, la température est considérée homogène dans un élément et la résistivité, dans le cas des matériaux métalliques, est indépendante du courant. Ce n’est pas le cas pour la modélisation du matériau supraconducteur, dont la résistivité est directement liée au courant qui le traverse. La résistance peut alors être différente pour chaque demi-axe x,y ouz étant donnée la présence du point milieu. Par exemple, si l’on se réfère à la figure 3.1 et que l’on considère une des résistances électriques de l’axe x, selon l’équation 3.1 on a :

— L= ∆x,

— A= (2∆y)(2∆z)

En ce qui concerne le matériau supraconducteur, pour lequel la résistivité dépend de la den-sité de courantJ, on considère cette dernière homogène en appliquantI =J/A.I correspond alors au courant qui circule dans ladite résistance. De cette façon, les résistances électriques relatives au matériau supraconducteur peuvent être différentes pour chaque demi-axe.

Les résistivités ρ(T) pour les matériaux métalliques considérés ici, tels que le cuivre, l’ar-gent, l’hastelloy et l’acier C316, sont respectivement répertoriées dans l’annexe A aux pages 188, 189, 190, 191 et 193. La modélisation de la résistance électrique d’interface et de la ré-sistance de la couche “tampon” est réalisée par l’intermédiaire d’une réré-sistance électrique de valeur constante. Dans l’état actuel des choses, les couches tampons peuvent être assimilées à une isolation électrique du fait de leurs résistances électriques très élevées. De ce fait, dans cette thèse, pour modéliser les couches tampons, aucune connexion électrique n’est réalisée entre la couche de substrat (Hastelloy) et la couche supraconductrice ((RE)BCO), on a donc un circuit ouvert, le courant ne peut donc pas circuler directement entre ces deux matériaux.

La résistivité électrique de la couche de (RE)BCO dépend très fortement de la densité de courant J et de la température T. On a donc utilisé la loi de puissance qui représente la résistivité ρ_LP du supraconducteur. Cette relation est souvent utilisée pour le calcul des pertes dans les matériaux supraconducteurs, c’est à dire pour les faibles champs électriques

qui se situent majoritairement autour du champ électrique critique E_c, ρ_LP(J, T) = ^Ec J_c(T) |J| J_c(T) !n−1 , (3.2)

avec,E_cle champ électrique critique avec lequel la densité de courant critiqueJ_ca été évaluée et n l’exposant de la loi de puissance qui détermine la “raideur” de la pente. La dépendance en température de la densité de courant critique est modélisée avec

J_c(T) =J_c0

T_c−T

T_c−T₀

, (3.3)

où T0 est la température du bain d’azote, Tc est la température critique du matériau supra-conducteur et J_c0 est la densité de courant critique dite en champ propre, c’est à dire que le champ magnétique appliquée n’est autre que celui créé par la circulation du courant dans le ruban supraconducteur.

La loi de puissance présente certaines contraintes d’utilisation et n’est valable, par exemple, que pour des valeurs de densité de courant inférieures ou légérement supérieures à

J_c, ce qui est valable dans le cas de l’évaluation des pertes dans le matériau supraconducteur. La valeur de la résistivité à l’état normal de l’YBCO est déduite de Friedmann et al [111] en faisant l’hypothèse que le courant circule dans le plan a, b du supraconducteur, avec une répartition égale entre les directions cristallographiques~a et~b, car on ne connait pas l’orien-tation des plans lors du dépôt. La seule certitude que l’on peut avoir est que le plan ~c est orienté perpendiculairement à la surface du ruban.

Malgré le fait que la résistivité du matériau supraconducteur augmente de façon non-linéaire au-delà d’une température de 240 K [111], on considérera une relation non-linéaire de la résistivité en fonction de la température (cf. eq. 3.4). Cela n’affecte pas la simulation de façon notable. En effet, par hypothèse, le courant circule principalement dans les couches métalliques du ruban après la transition du matériau supraconducteur, car ce dernier devient très résistif devant les couches métalliques. On étendra cette relation de 77 K à une valeur T

quelconque afin de couvrir toute la plage de température de fonctionnement du limiteur. En effet, cela permet d’obtenir une valeur de résistivité à l’état normal en cas de dépassement du courant critique (I/Ic ≥4 ou 5) alors que la température, n’aurait pas encore atteint sa valeur critique.

Etat normal Etat supra (a) ⇢(⌦.m) Etat supra Etat normal T_c ^T(K) (b)

Figure 3.2 Principe de modélisation de la résistance de la couche (RE)BCO : (a) Modèle équivalent en circuit électrique ; (b) Allure des résistivité en fonction de la température.

Afin de compléter la modélisation électrique de la couche de (RE)BCO, la résistivité

ρ_LP(J, T) issue de la loi de puissance a été mise en parallèle avec une résistivité ρ_N(T) qui modélise l’état normal du matériau supraconducteur [111], c’est à dire

ρ_N(T) = ρ_Tc +α(T −T_c), (3.4) oùρTc représente la résistivité électrique à la température critique (T =Tc) etαest un coeffi-cient de température. La résistivité électrique totale du matériau supraconducteur ρSC(J, T) s’écrit alors

ρ_SC(J, T) = ^{ρP L(J, T)}×ρ_N(T)

ρP L(J, T) +ρN(T)^{, (3.5)} et la résistance du matériau supraconducteur est équivalente à deux résistance en parallèle, tel que cela est illustré à la figure 3.2.

Notons que l’effet de la dépendance en champ magnétique de l’exposant n n’est ac-tuellement pas prise en compte dans la résistivité ρ_LP(J, T), comme cela est suggéré par D. Colangelo [7]. Cependant, la méthode utilisée pour implémenter la résistivité du matériau supraconducteur laisse la possibilité de la faire évoluer en utilisant des modèles plus évolués, qui seraient proposés dans le futur, notamment pour la région de “flux-flow”. La liste des paramètres utilisés dans cette thèse est résumé dans le tableau 3.1 et repris à l’annexe A, page 193. On obtient ainsi la résistivité représentée à la figure 3.3.

0 2 4 6 8 10 12 0 5 10 15 20 25 30 35 77^K 79^K 81^K 83^K 85 K 87 K 89 K 95 K 100 K

Densit´e de courant, J (MA/cm²)

R ´esistivit ´e du (RE)BCO, ρ^S C ( µ Ω.cm)

Figure 3.3 Résistivité (ρ_SC) de la couche de (RE)BCO en fonction de la densité de courant (J) et de la température (T) autour de la zone de transition de l’état supraconducteur à l’état normal.

Tableau 3.1 Paramètres utilisés pour le (RE)BCO afin d’obtenir les résul-tats présentés à la figure 3.3

Paramètre Valeur Description

E_c 1 µV/cm Critère de champ électrique critique

J_c0 2.5 MA/cm2 Densité de courant critique en champ propre

n 15a Exposant de la loi de puissance

ρ_Tc 30µΩ.cm b Résistance à l’état normal à T =T_c α 0.47 µΩ.cm/K ^b Coefficient de température

T_c 90 K Température critique

T₀ 77 K Température du bain d’azote

a Basé sur des données expérimentales issues d’essais publiés dans [112]

bDéduit à partir de Friedmannet al.[111] en moyennant la résistivité à l’état normal le long des axes cristallographiquesaet b.

les bibliothèques disponibles par défaut dans EMTP-RV, c’est à dire des admittances com-mandables, des élements de contrôle et des tables de données. Cela n’est pas le cas pour le matériau supraconducteur, qui nécessitent la prise en charge des DLLs (Dynamic Link Library) précompilée dans EMTP-RV. Cette souplesse offerte par EMTP-RV est très utile pour un modèle destiné à évoluer, car elle permet de mettre à jour ledit modèle sans aucune intervention de l’utilisateur sur le circuit ou les éléments de contrôle. Il suffit alors de modifier le code et d’appeler cette nouvelle DLL depuis l’environnement EMTP-RV pour profiter di-rectement de la mise à jour. Dans les deux cas, les variables globales sont largement utilisées pour la transmission des paramètres géométriques. Cela permet de ne pas avoir à recompiler la DLL à chaque modification. Les détails de l’implémentation de la résistivité de la couche de (RE)BCO sont donnés dans l’annexe C.