Mise en ´evidence de la disctinction dense/gras par l’exposant de Hurst 55

La figure 2.7 illustre les principales ´etapes du calcul de la transform´ee en ondelettes de deux images s´electionn´ees dans la base de donn´ees DDSM comme ´etant repr´esentatives respectivement des seins `a dominante tissus denses (colonne de gauche) et `a dominante tissus gras (colonne de droite). Les figures 2.7(a) et 2.7(e) montrent les mammogrammes originaux avec la grille utilis´ee pour l’extraction de 49 carr´es de taille 512 × 512. Les figures 2.7(b) et 2.7(f) repr´esentent un zoom dans la partie centrale de chaque mammogramme. Le module de la TO et les chaˆınes de maxima (d´efinies dans la section 1.2.2) calcul´ees `a l’´echelle a = 39 pixels sont montr´es dans les figures 2.7(c) et 2.7(g) respectivement.

56 M´ethode MMTO 2D : application en mammographie

Fig. 2.7: Analyse par transform´ee en ondelettes 2D de 2 mammogrammes : (a-d) sein `a tissu conjonctif et (e-h) sein `a tissu gras. L’ondelette analysatrice est l’ondelette isotrope d’ordre 1 (φ est la Gaussi-enne (Eq. (1.9))). (a) et (e) repr´esentent les mammo-grammes originaux. (b) et (f) repr´esentent un agran-dissement (256 × 256) pris dans la partie centrale de chaque mammogramme. (c) et (g) montrent le module de la TO de cet agrandissement `a l’´echelle a = 3σ_W; les chaˆınes de maxima sont repr´esent´ees pour comparaison. En (d) et (h) seules les chaˆınes de maxima et les maxima locaux de Mψ

le long de ces chaˆınes sont repr´esent´es (•) pour la valeur du param`etre d’´echelle a = 2.5σ_W (σ_W = 7 pixels).

2.3 M´ethode MMTO 2D et classification de texture en mammographie 57

Fig. 2.8: D´etermination des spectres τ (q) et D(h) de seins enti`erement denses (•) et gras (◦) avec la m´ethode MMTO 2D. (a) log2Z(q, a) en fonction de log2a. (b) h(q, a) en fonction de log<sub>2</sub>a. (c) τ (q) en fonction de q. (d) D(h) en fonction de h obtenu par les ´equations (1.37) et (1.38). Mˆeme ondelette analysatrice que dans la figure 2.7. Ces r´esultats correspondent `a des moyennes recuites sur 49 images (512×512), partiellement superpos´ees, extraites des mammogrammes originaux ; a est exprim´e en unit´e σ_W. La gamme d’´echelle utilis´ee par la proc´edure de r´egression lin´eaire pour estimer τ (q) et D(h) en (c) et (d) est 21.6σ_W ≤ a ≤ 24σ_W. Dans (a) et (b), q va de −1 `a 3 du bas vers le haut.

58 M´ethode MMTO 2D : application en mammographie

Les figures 2.7(d) et 2.7(h) repr´esentent les chaˆınes de maxima, `a une ´echelle plus pe-tite, ainsi que les positions des points MMMTO (•) `a partir desquels on trace une fl`eche repr´esentant le vecteur transform´ee en ondelettes Tψ[f ](b, a) local. La figure 2.8 rapporte les r´esultats du calcul des fonctions de partition Z(q, a) (Eq. (1.27)), h(q, a) (Eq. (1.35)) et D(q, a) (Eq. (1.36)) obtenus en moyennant sur les parties centrales (256 × 256) des 49 carr´es (512 × 512) extraits des deux mammogrammes originaux. Comme le montrent les figures 2.8(a) et 2.8(b), les deux types de tissus, dense et gras, pr´esentent des propri´et´es d’invariance d’´echelle bien d´efinies mais significativement diff´erentes sur deux octaves et demi. Ce comportement en loi d’´echelle se d´et´eriore progressivement lorsque l’on monte dans les ´echelles, en raison principalement d’effets de taille finie. A petite ´echelle, sur la premi`ere octave (non repr´esent´ee), on constate ´egalement une brisure d’invariance d’´echelle qui n’est pas observ´ee dans les images num´eris´ees avec une r´esolution r´eduite de 200µm. En effectuant les r´egressions lin´eaires des courbes log₂(Z(q, a)) vs log2(a) sur la gamme d’´echelle qui s’´etend de amin = 1.6σW `a amax = 4σW, on obtient les spectres τ (q) rapport´es dans la figure 2.8(c). On confirme que les tissus dense et gras pr´esentent des propri´et´es de lois d’´echelle assez diff´erentes. Les images de tissus gras ont un spectre τ (q) lin´eaire pour les valeurs de q ∈ [−2, 3] avec la pente H = 0.30 ± 0.05, tandis que les images de tissus denses pr´esentent une pente nettement sup´erieure H = 0.65 ± 0.05. Cette discrimination de com-portement monofractal entre les tissus gras et dense est ´egalement mise en ´evidence par le calcul des spectres des singularit´es D(h) correspondant dans la figure 2.8(d). Ces spectres se r´eduisent bien `a un seul point h = H = 0.30(0.65) et D(h = H) = 2.01 ± 0.02, appor-tant par l`a la preuve que la texture de ces mammogrammes est (mono) rugueuse partout, sur tout l’ensemble de l’image. Nous avons analys´e un ensemble de vingt mammogrammes `a dominante grasse et `a dominante dense, pour lequel on constate que les tissus gras pr´esentent des propri´et´es d’invariance d’´echelle monofractale avec un exposant de Hurst H dont les valeurs sont comprises dans l’intervalle [0.20, 0.35], signature de fluctuations de rugosit´e anti-corr´el´ees (anti-persistantes) alors que les tissus denses sont caract´eris´es par un exposant H ∈ [0.55, 0.75], signature de correlations `a longue port´ee (persistances).

De mani`ere compl´ementaire, la diff´erence de propri´et´es fractales de ces deux types de tissus peut ˆetre mise en ´evidence par la d´ependance dans les ´echelles des lois de probabilit´e du module Mψ de la transform´ee en ondelettes. En effet, dans les r´ef´erences [96, 97], il est montr´e que pour des surfaces Browniennes fractionnaires, les fonctions densit´e de probabilit´e du module Mψ `a diff´erentes ´echelles a, se superposent sur une seule courbe `a condition de diviser M par aH, o`u H est l’exposant de Hurst de la surface. La figure 2.9 montre les fonctions densit´e de probabilit´e du module pour le sein dense (Figs. 2.9(a) et 2.9(b)) et pour le sein gras (Figs. 2.9(c) et 2.9(d)). Dans les figures 2.9(b) et 2.9(d), on constate effectivement que les densit´es de probabilit´e respectives des deux types de sein se deduisent les unes des autres par une dilatation de l’axe des modules Mψ, en utilisant les valeurs respectives de H = 0.65 pour les tissus denses et H = 0.2 pour les tissus gras. On confirme ainsi le fait que Mψ se comporte comme Mψ ∼ aH sur toute l’image. La forme des densit´es de probabilit´e semble l´eg`erement se distinguer de celle des surfaces Browniennes fractionnaires pour lesquels la densit´e de probabilit´e du module Mψ calcul´ee

2.3 M´ethode MMTO 2D et classification de texture en mammographie 59

sur MMTO des chaˆınes de maxima poss`ede une queue de distribution Gaussienne, alors qu’il semble que celle-ci soit plutˆot exponentielle dans le cas des images de mammographie (seins denses comme gras).D’autre part, une anisotropie de la distribution des arguments A est observ´ee dans la figure 2.10 pour chaque image et pour toutes les ´echelles examin´ees a = 21σW, a = 22σW, a = 23σW et a = 24σW. Cette anisotropie est due au fait que les tissus sont globalement orient´es vers le mamelon. Le fait que les pics soient assez large est dˆu au fait que l’on a moyenn´e sur les carr´es montr´es dans les figures 2.7(a) et 2.7(e) pour lesquels la direction vers le mamelon varie en fonction de la position dans le sein.

Enfin, remarquons que dans un travail r´ecent, Heine et coll. [196, 197] ont ´egalement utilis´e une m´ethode d’analyse fractale pour ´etudier la densit´e mammographique, bas´ee sur l’extraction de la pente β de la densit´e spectrale de puissance de l’image. Ils ont obtenu un histogramme de valeurs de β (β = 4 + τ (2) = 2H + 2, (Eq. (1.33)) avec un exposant H moyen de 0.469 et une petite d´eviation standard de 0.045. Ce r´esultat peut ˆetre r´einterpr´et´e en consid´erant ceux de l’analyse multifractale par la m´ethode MMTO 2D, rapport´es dans cette section. En effet, nous pouvons supposer que la plupart des images analys´ees par Heine et coll. contiennent `a la fois des tissus gras (H ∈ [0.20, 0.35]) et des tissus denses (H ∈ [0.55, 0.75]), de telle sorte que la pente de la densit´e spectrale de puissance obtenue par ces auteurs est probablement une moyenne des deux comportements distincts r´ev´el´es par notre m´ethode.

2.3.2 Cas g´en´eral d’un m´elange de tissus gras/dense : segmentation

d’un mammogramme `a l’aide de la m´ethode MMTO 2D

Dans le cas g´en´eral, on trouve sur le mammogramme `a la fois des tissus gras et des tissus denses. Les propri´et´es d’invariance d’´echelle associ´ees `a ces deux classes de tissus que nous avons mises en ´evidence dans la sous-section pr´ec´edente, permettent d’effectuer une segmentation de l’image du sein. En particulier, en utilisant une estimation de l’exposant de Hurst dans un carr´e de taille 256 × 256, `a l’aide de la fonction de partition h(q = 0, a), on peut attribuer une couleur (en allant par exemple du bleu au rouge) `a chaque carr´e extrait du mammogramme selon la nature grasse ou dense identifi´ee. La figure 2.10 montre trois cartes color´ees correspondant respectivement `a un sein majoritairement dense (Fig. 2.10(a)), un sein majoritairement gras (Fig. 2.10(b)) et un cas interm´ediaire (Fig. 2.10(c)). Chaque sous-figure de la figure 2.10 montre les valeurs des param`etres choisis pour la r´egression lin´eaire de h(q = 0, a) en fonction de log₂a et ceux choisis pour la gamme de couleurs. Ainsi, dans la figure 2.10(a) les couleurs sont index´ees par H, entre H = 0.0 (bleu) et H = 0.5 (rouge) ; le fait qu’il n’y ait pratiquement pas de bleu et que la majorit´e des carr´es soient rouges, indique que le sein correspondant ne contient pas de tissus gras (H & 0.5 sur tout le sein). De la mˆeme mani`ere, on peut constater que le sein de la figure 2.10(b) ne contient pratiquement pas de tissus denses. Le codage utilis´e entre H = 0.4 (bleu) et H = 1.0 (rouge) permet cette fois de r´ev´eler que la majorit´e des carr´es sont bleus et donc que H . 0.4. En revanche, dans la figure 2.10(c), nous avons choisi un seuillage

60 M´ethode MMTO 2D : application en mammographie

Fig. 2.9: Densit´es de probabilit´e du module Mψ des mmto d´efinissant les chaˆınes de maxima `a diff´erentes ´echelles a = 21σ_W, 22σ_W, 23σ_W et 24σ_W. Les figures (a) et (b) (resp. (c) et (d)) correspondent au mammogramme du sein dense (resp. gras) montr´e dans la figure 2.7(a) (resp. Fig. 2.7(e)). (a) ln(P_a(M)) en fonction de M. (b) ln(Pa(M)) en fonction de M/ah(q=0) avec h(q = 0) = H = 0.65 (resp. 0.30) pour le sein dense (resp. sein gras).

Fig. 2.10: Densit´es de probabilit´e de l’argument Aψ des mmto `a diff´erentes ´echelles a = 21σ_W, 22σ_W, 23σ_W et 24σ_W. Les figures (a) et (b) correspondent respectivement au mammogramme du sein dense (Fig. 2.7(a)) et du sein gras (Fig. 2.7(e)).