Calcul num´erique des spectres multifractals

τ (q) = qH − 3 . (3.50) τ (q) est une fonction lin´eaire de q, signature de propri´et´es d’invariance d’´echelle monofrac-tales, dont la pente est donn´ee par l’index H du fBm.

3.3.2 Calcul num´erique des spectres multifractals

Testons `a pr´esent la m´ethode MMTO 3D sur des r´ealisations de champs fBm 3D g´en´er´es par la m´ethode consistant `a filtrer la transform´ee de Fourier d’un bruit blanc [110]. Cette m´ethode d’int´egration fractionnaire d’un “bruit blanc” 3D reproduit de mani`ere assez fid`ele (mais non-exacte), les propri´et´es d’invariance d’´echelle isotrope d´ecrites dans les ´equations (3.48)–(3.50). Nous avons commenc´e par calculer la transform´ee en ondelettes de 16 champs de donn´ees (grille (256)3), chacun ´etant une r´ealisation d’un mouvement Brownien B_H=1/2, en utilisant l’ondelette analysatrice d’ordre 1 isotrope. Pour s’affranchir des effets de bord, nous avons restreint notre analyse aux sous-volumes centraux de taille 1603 de la transform´ee en ondelettes de chaque champ de donn´ees.

La figure 3.9 illustre le calcul des surfaces de maxima et des MMMTO pour un champ BH=1/2(r) donn´e, `a deux ´echelles diff´erentes. L’iso-surface des valeurs de milieu de gamme pour une r´ealisation du mouvement Brownien 3D est repr´esent´ee sur la figure 3.9(a). La figure 3.9(b) montre, en ´echelles de gris, le mouvement Brownien B<sub>H=1/2</sub> consid´er´e sur les faces ext´erieures du cube. Les lignes de champ de la transform´ee en ondelettes Tψ[f ](b, a) sont repr´esent´ees sur les figures 3.9(c) et 3.9(d) en utilisant respectivement comme valeurs du param`etre d’´echelle a = 20σ_W et 21σ_W. Selon la d´efinition des MMTO, les surfaces de maxima correspondent aux surfaces de contour de l’image liss´ee `a l’´echelle consid´er´ee, comme le montrent les figures 3.9(e) et 3.9(f) pour les ´echelles a = 21σW et 22σW respec-tivement. Les maxima locaux de Mψ pris le long de ces surfaces se situent aux points o`u la variation d’intensit´e la plus abrupte est observ´ee. Les segments noirs correspondant, pointent dans la direction du vecteur gradient local, indiquant par l`a localement la direc-tion du maximum de variadirec-tion d’intensit´e dans notre champ de donn´ees. Statistiquement, ces vecteurs gradients couvrent toutes les directions dans R3, corroborant ainsi l’isotropie des champs fBm 3D. En allant des grandes ´echelles (fig. 3.9(f)) vers les petites ´echelles (fig. 3.9(e)), la distance moyenne caract´eristique entre deux MMMTO plus proches voisins

3.3 Application de la m´ethode MMTO 3D `a l’´etude de champs Browniens fractionnaires

isotropes 103

Fig. 3.9:Analyse par transform´ee en ondelettes 3D d’un champ Brownien B_H=1/2(r). ψ est l’ondelette analysatrice d’ordre n_ψ = 1 (φ est la fonction Gaussienne isotrope). (a) Iso-surface de milieu de gamme de valeur d’une r´ealisation d’un champ B_H=1/2(r). (b) Image cod´ee sur 64 niveaux de gris de la partie centrale (160)³du champ de donn´ees (256)3 original. En (c) a = 20σ_W et (d) a = 21σ_W sont repr´esent´ees les lignes de champ de Tψ(b, a). En (e) a = 2¹σ_W et (f) a = 2²σ_W sont repr´esent´ees les surfaces maxima du module de la TO ; `a partir des maxima locaux (MMMTO) de Mψ le long de ces surfaces, sont trac´es des segments noirs dont la longueur est proportionnelle `a Mψ et dont la direction est donn´ee par le vecteur unitaire local de la TO. Les couleurs sur les surfaces MMTO sont directement proportionnelles aux valeurs du module Mψ[f ](b, a) avec le mˆeme codage des couleurs que dans les figures 3.3 et 3.4.

104 M´ethode MMTO 3D : m´ethodologie et tests

(a) (b)

Fig. 3.10:(a) Projection dans l’espace (x, y, ´echelle) du squelette de la transform´ee en ondelettes d’une r´ealisation d’un champ Brownien 3D B_H=1/2, illustr´e dans la figure 3.9(a). Ce squelette est d´efini comme l’ensemble des lignes de maxima obtenues apr`es la proc´edure de chaˆınage des MMMTO d´etect´es `a diff´erentes ´echelles. (b) Caract´erisation de la r´egularit´e H¨olderienne locale de B_H=1/2`a partir du comportement des MMMTO le long des lignes de maxima : log₂Mψvslog₂a, pour trois lignes de maxima suffisamment longues et choisies arbitrairement ; le pente th´eorique h = H = 1/2 est montr´ee pour comparaison. Mˆeme ondelette analysatrice que dans la figure 3.9.

d´ecroˆıt comme a. Cela signifie que le nombre de MMMTO, et donc le nombre de lignes de maxima du squelette, se multiplie `a travers les ´echelles comme a−3. Rappelons que les lignes de maxima vivent dans un espace 4D (x, y, z, a), et donc qu’une fa¸con simple de repr´esenter le squelette de la TO est de le projeter dans un espace 3D, par exemple (x, y, a) comme cela est illustr´e sur la figure 3.10. Nous allons nous attacher `a d´emontrer qu’en extrapolant la structure arborescente de ce squelette dans la limite a → 0+, on retrouve bien le r´esultat th´eorique que le support des singularit´es d’un fBm 3D a une dimension DF = 3, c.-`a-d. qu’un BH=1/2(r) n’est nulle part diff´erentiable [4, 110, 226].

Les propri´et´es d’invariance d’´echelle locales d’un BH=1/2 3D sont examin´ees dans la figure 3.10 en utilisant le microscope TO. En consid´erant le comportement de Mψ le long de quelques lignes de maxima appartenant au squelette de la TO (Fig. 3.10(a)), on observe, en d´epit de l´eg`eres oscillations, un comportement en loi de puissance bien d´efinie avec un exposant h(r0) qui semble ne pas d´ependre de la position r0 vers laquelle la ligne de maxima pointe dans la limite a → 0+. De plus, la valeur th´eorique de l’exposant de

3.3 Application de la m´ethode MMTO 3D `a l’´etude de champs Browniens fractionnaires

isotropes 105

Fig. 3.11:D´etermination des spectres τ (q) et D(h) du mouvement Brownien 3D B_H=1/2 avec la m´ethode MMTO 3D. (a) log₂Z(q, a) en fonction de log2a ; les droites en trait plein correspondent aux ajustements par r´egression lin´eaire. (b) h(q, a) vs log₂(a) (Eqs. (3.38) et (3.40)) ; les droites en trait plein correspondent `a la pente th´eorique H = 1/2. (c) τ (q) en fonction de q ; la droite en trait plein correspond au spectre th´eorique lin´eaire (Eq. (3.50)). (d) D(h) en fonction de h obtenu `a partir du comportement en loi d’´echelle de h(q, a) en fonction de log₂a (Eqs. (3.38) et (3.40)) et de D(q, a) en fonction de log₂a (Eqs. (3.39) et (3.41)). Ces r´esultats correspondent `a des moyennes recuites sur 16 r´ealisations (256)3 de B_H=1/2; a est exprim´e en unit´e σ_W. Mˆeme ondelette analysatrice que dans la figure 3.9.

H¨older h(r0) = H = 1/2, fournit une bonne estimation de la pente obtenue `a petite ´echelle dans une repr´esentation logarithmique de Mψ vs a (Eqs. (3.24) et (3.28)).

La figure 3.11 pr´esente les r´esultats du calcul des spectres τ (q) et D(h) `a l’aide de la m´ethode MMTO 3D. La fonction de partition Z(q, a) obtenue par moyenne recuite (sur 16 r´ealisations de B<sub>1/2</sub>(r)) pr´esente (Fig. 3.11(a)) un remarquable comportement lin´eaire en ´echelle logarithmique sur plus de 3 octaves (Eqs. (3.34) et (3.35)). De plus, pour une large gamme de valeurs de q ∈ ]−2, 3[, les donn´ees sont en tr`es bon accord avec le spectre τ(q) th´eorique (Eq. (3.50)). Les pentes obtenues par r´egression lin´eaires des courbes log₂(Z(q, a)) vs log₂(a) sur les trois premi`eres octaves, conduisent au spectre τ (q) rapport´e dans la figure 3.11(c) dont la pente h = 0.48 ± 0.02 sous-estime l´eg`erement l’exposant de Hurst H = 1/2 th´eorique. Remarquons que quelques pourcents d’´ecart par d´efaut, ont ´egalement ´et´e observ´es dans des analyses similaires de fBm 1D [61–63,144] et 2D [97]. Comme l’atteste la figure 3.11(b), en tracant h(q, a) en fonction de log₂(a) (Eqs. (3.38) et (3.40)), l’exposant de Hurst th´eorique H = 1/2 fournit une tr`es bonne valeur de la pente asymptotique des

106 M´ethode MMTO 3D : m´ethodologie et tests

donn´ees aux petites ´echelles (σW . a . 4σW) et ce ind´ependamment de la valeur de q ∈] − 2, 3[.

La remarque faite dans la section 3.2.4, sur l’artefact de chaˆınage des maxima s’applique encore plus dans le cas des champs Browniens fractionnaires o`u statistiquement pratique-ment toutes les surfaces de maxima sont ouvertes. Si l’on n’´elimine pas du squelette de la TO les maxima de maxima du module de la TO situ´es sur les bords des surfaces de maxima, alors les fonctions de partitions en D(q, a) sont tr`es affect´ees, particuli`erement `a petite ´echelle. Le comportement en loi d’´echelle mesur´e est biais´e par la pr´esence de ces lignes de maxima. En les ´eliminant, on obtient les fonctions de partition pr´esent´ees dans la figure 3.11, en excellent accord avec les pr´edictions th´eoriques. Dans la suite du manuscrit, pour toutes les applications pr´esent´ees, ces lignes sont enlev´ees des squelettes de la TO.

La figure 3.11(d) repr´esente le spectre des singularit´es D(h) obtenu `a partir des r´egressions lin´eaires des courbes D(q, a) fonction de log<sub>2</sub>(a) (Eqs. (3.39) et (3.41)) sur la mˆeme gamme d’´echelles que pour le calcul du spectre τ (q). Ind´ependamment de la valeur de q, on obtient quantitativement des valeurs D(h = H = 1/2) = 3.00 ± 0.02 comparables. Insistons sur le fait que des estimations quantitatives des spectres τ (q) et D(h) ont ´et´e obtenues avec la mˆeme qualit´e pour des fBm BH avec H = 1/3 et H = 2/3. On peut donc consid´erer que la m´ethode MMTO 3D a r´eussi `a passer le test de l’´etude statistique des champs stochastiques homog`enes monofractals que sont les mouvements Browniens fractionnaires †.