Etude de coupes 2D dans le champ de vitesse par la m´ethode MMTO

Nous pr´esentons dans cette section les r´esultats de l’analyse de coupes 2D du champ de vitesse 3D v(x, y, z) par la m´ethode MMTO 2D tensorielle (section 3.5). Nous nous limitons `a analyser les trois types de coupes : (vx, vy) dans les plans parall`eles `a (x, y), (vy, vz) dans les plans parall`eles `a (y, z) et (vz, vx) dans les plans parall`eles `a (z, x). Nous n’avons pas consid´er´e les coupes crois´ees du type (vx, vy) dans les plans parall`eles `a (y, z) par exemple. Insistons encore sur le fait que la m´ethode MMTO 2D tensorielle se d´emarque de la m´ethode des fonctions de structures (section 4.3.1) bas´ee sur les incr´ements longitudinaux ou transversaux de la vitesse, dans la mesure o`u elle permet de caract´eriser les propri´et´es multifractales du champ de vitesse vectoriel, et non de l’une de ses r´eductions scalaires (les incr´ements longitudinaux ou transversaux). Deux ensembles de donn´ees seront consid´er´es : les Simulations Num´eriques Directes de M. Meneguzzi `a la r´esolution (512)3 (Rλ = 216) et pour un temps donn´e et celles de E. L´evˆeque (Rλ = 140) `a la r´esolution (256)3 † et pour 18 instants s´epar´es de plus d’un temps de retournement du syst`eme, de sorte que les donn´ees correspondantes `a chacun de ces instants peuvent ˆetre consid´er´ees comme statistiquement ind´ependantes.

La figure 4.7 illustre les champs de vitesse (v_x, v_y) pris dans une coupe 2D parall`ele au plan (x, y) pour les deux ensembles de donn´ees, la colonne de gauche repr´esentant celles de Meneguzzi et celle de droite les donn´ees de L´evˆeque. On observe qualitativement une plus grande irr´egularit´e sur le champ de vitesse de Meneguzzi. Nous allons montrer que sur les donn´ees de L´evˆeque, on obtient, en utilisant les ondelettes d’ordre 1 et 3, un spectre des singularit´es D(h) centr´e sur les valeurs h = 0.33 ± 0.01 et h = 0.37 ± 0.01 respectivement, qui sont des valeurs tr`es proches de la valeur 1/3 pr´edite par analyse dimensionnelle par Kolmogorov (section 4.3.1) dans le cadre de la th´eorie K41 monofractale [20, 271]. En re-vanche, il n’en sera pas de mˆeme pour les donn´ees de Meneguzzi, probablement `a cause de la nature plus irr´eguli`ere de ce champ de vitesse comme l’illustre les figures 4.7(a-c). D’autre part on notera une d´ependance des propri´et´es multifractales suivant la direction de coupe, parall`ele au plan (x, y) d’une part ou parall`eles aux plans (y, z) et (z, x) d’autre part en ce qui concerne les donn´ees de Meneguzzi, contrairement aux donn´ees de L´evˆeque. Remar-quons qu’une telle anisotropie r´ev´el´ee par cette d´ependance du plan de coupe n’´etait pas †Ces donn´ees sont ´egalement g´en´er´ees par un algorithme pseudo-spectral, les seules diff´erences ´evidentes avec celles de M. Meneguzzi ´etant la r´esolution (grille (256)3) et le nombre de Reynold Rλ atteint.

4.4 Etudes des coupes 2D de dissipation, enstrophie et vitesse par la m´ethode MMTO 2D163

Fig. 4.7:Champs de vitesse (v_x(x, y, z₀), v_y(x, y, z₀)) dans une coupe 2D du champ 3D. La colonne de gauche (a,b,c) repr´esente les donn´ees de M. Meneguzzi (grille (512)³, R_λ = 216) dans le plan z = z₀ = 256 ; v_x (a) et v_y (b) sont repr´esent´es suivant une gamme de 256 niveaux de gris. La colonne de droite (d,e,f) repr´esente les donn´ees de E. L´evˆeque (grille (256)³, R_λ = 140) dans le plan z = z0 = 128. En (c) et (f) sont illustr´es les champs de vecteurs correspondants. La norme des vecteurs est repr´esent´ee en niveaux de gris du blanc (max ||v||) au noir (min ||v||).

164 Application des m´ethodes MMTO 2D et 3D pour l’´etude de la turbulence d´evelopp´ee

pr´esente dans l’´etude de la dissipation et de l’enstrophie, qui sont des fonctions sym´etriques par rapport aux termes ∂ivj.

Nous allons maintenant appliquer la m´ethode MMTO 2D tensorielle `a ces deux ensembles de donn´ees, en effectuant le filtrage par la technique FFT. Apr`es s´election des MMMTO sur les chaˆınes de maxima calcul´ees `a chaque ´echelle, on obtient le squelette de la TO ten-sorielle en chaˆınant ces MMMTO `a travers les ´echelles. Nous utiliserons syst´ematiquement les deux ondelettes analysatrices `a notre disposition, d’ordre 1 et d’ordre 3, afin d’estimer la robutesse des estimations par rapport `a la forme de l’ondelette consid´er´ee. La figure 4.8 illustre le calcul des fonctions de partition en utilisant l’ondelette analysatrice isotrope d’or-dre 1 pour les deux ensembles de donn´ees. Les fonctions de partition pr´esent´ees correspon-dent respectivement `a des moyennes recuites sur 100 coupes (512 × 512) pour les donn´ees de Meneguzzi en prenant les composantes v<sub>x</sub> et v<sub>y</sub>, et sur 18 × 25 coupes 256 × 256 pour les donn´ees de L´evˆeque (aucune anisotropie de coupe n’a ´et´e constat´ee sur ces donn´ees). Le fait d’avoir le champ spatial de vitesse pour plusieurs temps dans les donn´ees permet de compenser leur plus faible r´esolution et faire converger les fonctions de partition, en par-ticulier aux grandes ´echelles. En repr´esentation logarithmique, les fonctions de partition Z(q, a) (Fig. 4.8(a)) pr´esentent un assez bon comportement en loi d’´echelle sur la gamme 21.5σ<sub>W</sub> . a . 24σ<sub>W</sub>, tout particuli`erement en ce qui concerne les donn´ees de L´evˆeque (◦) alors que celles de Meneguzzi (•) pr´esentent une courbure plus prononc´ee, probablement li´ee au fait que nous ne disposons du champ que pour un temps donn´e, ce qui rend plus aigus les probl`emes de convergence statistique. N´eanmoins, cet effet de courbure semble s’estomper lorsqu’on observe les fonctions de partition h(q, a) en fonction de log<sub>2</sub>a (Fig. 4.8(b)) et ceci pour les deux jeux de donn´ees qui pr´esentent de tr`es bonnes propri´et´es de loi d’´echelles. Les spectres τ (q) obtenus par r´egression lin´eaire des courbes log₂Z(q, a) en fonction de log₂(a) sur les gammes d’´echelles respectives 21.5σW 6 a 6 23.7σW (◦, Meneguzzi) et 21.0σW 6 a 6 23.9σW (•, L´evˆeque) sont montr´es sur la figure 4.8(c), ainsi que les ajustements paraboliques log-normals :

τ (q) = −C1q − C2

q2

2^{, (4.70)}

obtenus pour q > −1. Les diff´erentes valeurs de C1 et C2 pour les deux ensembles de donn´ees et pour les deux types d’ondelettes utilis´ees sont rassembl´ees dans le tableau 4.1.

On constate ainsi que pour les donn´ees de Meneguzzi, les deux directions de coupe ne don-nent pas les mˆemes propri´et´es multifractales, le param`etre C1 variant de 0.19 `a 0.27 quand on utilise l’ondelette analysatrice d’ordre 1. D’autre part, sur ce mˆeme jeu de donn´ees, l’estimation du param`etre C₁ semble d´ependre de l’ordre de l’ondelette analysatrice, en particulier dans la direction de coupe (x, y). Les diff´erences entre les diff´erentes directions de coupe s’estompent en utilisant l’ondelette analysatrice d’ordre 3. Tout cela fait que le champ de vitesse de Meneguzzi doit ˆetre consid´er´e avec prudence, d’autant que ces valeurs de C1 sont significativement plus faibles que celles mesur´ees par la m´ethode MMTO 1D sur des signaux de vitesse longitudinale exp´erimentaux : C1 = 0.37 ± 0.02 [77, 78, 80, 243]. En revanche, en ce qui concerne les donn´ees de L´evˆeque, les deux types d’ondelettes donnent

4.4 Etudes des coupes 2D de dissipation, enstrophie et vitesse par la m´ethode MMTO 2D165

Fig. 4.8: D´etermination des spectres τε(q) et fε(α) de 512 coupes 2D dans le champ de vitesse pour les donn´ees de Meneguzzi (•) (coupe 2D dans la direction (x, y)) et de L´evˆeque (◦). On utilise la m´ethode MMTO 2D tensorielle avec l’ondelette analysatrice radialement sym´etrique d’ordre 1. (a) log₂(Z(q, a)) vs log₂a ; (b) h(q, a) vs log₂a ; (c) τ_ε(q) vs q ; (d) f_ε(α) vs α, apr`es transformation de Legendre de la courbe τ<sub>ε</sub>(q) de la figure (b). En (a) et (b) les diff´erentes courbes ont ´et´e arbitrairement translat´ees verti-calement pour faciliter la comparaison. En (c) et (d), les lignes en trait plein correspon-dent respectivement aux spectres multifractals log-normals et (4.70) pour les valeurs des param`etres C₁ = 0.19 et C₂ = 0.029 pour les donn´ees de Meneguzzi et respectivement C₁= 0.33 et C₂ = 0.040 pour les donn´ees de L´evˆeque.

166 Application des m´ethodes MMTO 2D et 3D pour l’´etude de la turbulence d´evelopp´ee SND de Meneguzzi (direction (x, y)) SND de Meneguzzi (direction (y, z)) SND de L´evˆeque C1 C2 C1 C2 C1 C2 nψ = 1 0.19 ± 0.01 0.029 ± 0.04 0.27 ± 0.01 0.029 ± 0.04 0.33 ± 0.01 0.040 ± 0.04 nψ = 3 0.26 ± 0.01 0.027 ± 0.04 0.28 ± 0.01 0.025 ± 0.04 0.34 ± 0.01 0.042 ± 0.04

Tab. 4.1:Param`etres C<sub>1</sub> et C<sub>2</sub> de la mod´elisation log-normale (Eq. (4.70)) des spectres multifractals τ (q) et D(h) obtenus par la m´ethode MMTO 2D tensorielle des coupes 2D du champ de vitesse. Les deux premi`eres colonnes correspondent aux donn´ees de Meneguzzi dans deux directions de coupe diff´erentes, et la troisi`eme colonne aux donn´ees de L´evˆeque. Chaque ligne correspond au type d’ondelette analysatrice isotrope utilis´ee : ondelette d’ordre 1 (filtrage Gaussien) et d’ordre 3 (filtrage chapeau mexicain).

des estimations de C1 et C2 qui ne d´ependent ni de la direction de coupe ni de l’ordre del’ondelette analysatrice. Ces valeurs sont `a comparer avec celles que l’on obtiendra par la m´ethode MMTO 3D tensorielle sur le champ de vitesse global, dans la section 4.6.