3.2 Traitement d’image 3D par transform´ee en ondelettes continue
3.2.4 Exemple simple d’une singularit´e isotrope interagissant avec une
Nous allons illustrer les d´efinitions pr´ec´edentes sur l’exemple simple d’une fonction f (r ∈ R3) o`u une singularit´e isotrope S interagit avec une structure douce G de forme Gaussienne :
f (r) = Ae−(r−r1)2/2σ2
+ B|r − r0|0.3 , (3.27) en utilisant la transform´ee en ondelettes bas´ee sur la technique de filtres r´ecursifs. En fin de section nous pr´esenterons une ´etude comparative avec la m´ethode bas´ee sur la FFT, en terme de qualit´e (pr´ecision num´erique) et de temps de calcul.
Cette fonction f est C∞ partout sauf en r = r0 o`u elle pr´esente une singularit´e isotrope d’exposant de H¨older h(r0) = 0.3. Trois iso-surfaces caract´eristiques (demi-coquilles color´ees ouvertes) de cette fonction scalaire sont pr´esent´ees sur la figure 3.2(a). La figure 3.2(b) est une repr´esentation tridimensionnelle de f (x, y, z = x) ; on peut noter que le centre de la singularit´e r0et le centre de la Gaussienne r1 sont situ´es dans le plan d’´equation cart´esienne x = z.
3.2 Traitement d’image 3D par transform´ee en ondelettes continue 87
(a) (b)
Fig. 3.2:(a) Iso-surfaces du graphe 3D de la fonction f d´efinie par l’´equation (3.27) ; ces iso-surfaces sont coup´ees par le plan d’´equation cart´esienne x = z ; les valeurs de f (r) sont normalis´ees entre 0 et 255 ; la demi-coquille bleue (respectivement verte, jaune et orange) correspond `a l’iso-surface f = 150 (respectivement 165, 189, 204). La singularit´e S est situ´ee en r0 = (102, 102, 102), et la Gaussienne G en r1 = (153, 153, 153) sur une grille (256)3. Les valeurs des param`etres sont A = 1.0 et B = −0.25. (b) Repr´esentation tridimensionnelle de la fonction f (Eq. (3.27)) prise le long du plan x = z. En (a) la ligne droite passant par r0 et r1 a ´et´e ajout´ee pour guider l’oeil.
La transform´ee en ondelettes 3D (Eq. (3.7)) de f avec une ondelette analysatrice d’ordre 1 (la fonction lissante φ(r) est la Gaussienne isotrope) est pr´esent´ee sur la figure 3.3 pour trois ´echelles a = 20σW, 21σW et 22σW, o`u σW = 7 est la largeur (en pixel) de l’ondelette analysatrice `a l’´echelle la plus basse (correspondant `a la meilleure r´esolution accessible `a notre microscope TO). A chaque ´echelle, deux iso-surfaces caract´eristiques de Mψ[f ](b, a) sont montr´ees avec les lignes de champ du champ de vecteur Tψ[f ](b, a). Sur la figure 3.3(a), `a la plus petite ´echelle, on peut clairement distinguer un faisceau de lignes de champs (principalement bleu-vert) convergeant vers le centre de la Gaussienne G, et un autre faisceau (principalement jaune et rouge) pointant vers la position de la singularit´e S. Les couleurs des lignes de champ sont d´etermin´ees par la valeur du module Mψ[f ](b, a) local, depuis le bleu (min Mψ) jusqu’au rouge (max Mψ). La figure 3.3(a) illustre le fait que la fonction ´etudi´ee a des variations plus abruptes autour de la singularit´e S qu’autour de la structure douce G. En montant dans les ´echelles (Figs 3.3(b) et 3.3(c)), on ne parvient plus `a distinguer les deux faisceaux de lignes de champ ; en effet la largeur de la fonction lissante est grande, plus les lignes semblent converger vers un point situ´e entre S et G. De plus, on peut noter que les iso-surfaces de Mψ[f ](b, a) peuvent ˆetre non connexes
88 M´ethode MMTO 3D : m´ethodologie et tests
Fig. 3.3: Transform´ee en ondelettes 3D (Eq. (3.7)) de la fonction f montr´ee dans la figure 3.2, calcul´ee avec une ondelette analysatrice d’ordre nψ = 1 (φ est la fonction Gaussienne isotrope) et en utilisant la technique des filtres r´ecursifs. Chaque sous-figure contient 250 lignes de champ de Tψ[f ](b, a) et deux iso-surfaces du module de la trans-form´ee en ondelettes Mψ[f ](b, a) (Eq. (3.10)). Les couleurs le long des lignes de champ sont d´etermin´ees par le module Mψ[f ](b, a) (depuis le bleu (min Mψ) jusqu’au rouge (max Mψ)). Le param`etre d’´echelle est a = 20 (a), 21 (b) et 22 (c) en unit´e σW o`u σW = 7 (pixels) est la taille caract´eristique de ψ `a la plus petite ´echelle r´esolue.
`a petite ´echelle (figure 3.3(a)). Elles ont des diam`etres caract´eristiques croissants et une forme de plus en plus sph´erique lorsque l’on augmente le param`etre d’´echelle a (Figure 3.3(c)). Ainsi lorque l’on diminue le grandissement 1/a de notre microscope TO, on ne peut plus distinguer la singularit´e S et la structure Gaussienne G.
La Figure 3.4 montre les surfaces de maxima d´efinies par les MMTO pour diff´erentes ´echelles a allant de a = 20σW (figure 3.4(a)) jusqu’`a 22.5σW (figure 3.4(f)). A petite ´echelle, il existe principalement deux surfaces de MMTO. L’une est une surface ferm´ee entourant r0
o`u est localis´ee la singularit´e S. La seconde est une surface ouverte qui entoure partiellement la structure douce G. Sur chacune de ces surfaces MMTO, on ne trouve qu’un seul point MMMTO (voir D´efinitions dans la section 3.2.3), dont le vecteur gradient correspondant Tψ[f ](b, a) (Eq. (3.9)) est repr´esent´e par un segment noir de longueur proportionnelle `a Mψ[f ](b, a) et de direction donn´ee par celle du vecteur gradient local. En augmentant le param`etre d’´echelle a, les surfaces MMTO se d´eforment ; en particulier la surface ferm´ee entourant S gonfle (sa taille caract´eristique croˆıt comme a), jusqu’`a ce qu’elle se connecte avec la surface associ´ee `a G (figure 3.4(e)) pour ne former qu’une seule surface ferm´ee entourant S et G (figure 3.4(f)). Comme nous l’avons indiqu´e en d´ebut de section dans l’organigramme (figure 3.1), on effectue alors, de mani`ere aussi continue que possible, une proc´edure de chaˆınage qui consiste `a relier les points MMMTO de la plus petite vers les grandes ´echelles. Le squelette de la TO de la fonction f ainsi obtenu, ne contient que deux lignes de maxima. Une de ces lignes Lr0(a) pointe vers la singularit´e S, dans la limite a → 0+. Comme cela est illustr´e sur la figure 3.5, le module de la TO le long de Lr0(a) se
3.2 Traitement d’image 3D par transform´ee en ondelettes continue 89
Fig. 3.4:Surfaces de maxima d´efinies par les points MMTO de la fonction f (Eq. (3.7)) repr´esent´ee dans la figure 3.2. Les couleurs le long des surfaces MMTO sont d´etermin´ees par les valeurs locales du module Mψ[f ](b, a), depuis le bleu (min Mψ) jusqu’au rouge (max Mψ). Les maxima des maxima du modules Mψ[f ](b, a) (MMMTO 3D) le long de ces surfaces, sont repr´esent´es par un segment noir dont la longueur est proportionelle `a Mψ[f ](b, a) et la direction est donn´ee par le vecteur TO. Les valeurs du param`etre d’´echelle consid´er´ees sont a = 20 (a), 20.5 (b), 21 (c), 21.5 (d), 22 (e) et 22.5 (f) en unit´e σW. Mˆeme ondelette analysatrice que dans la figure 3.3.
90 M´ethode MMTO 3D : m´ethodologie et tests
Fig. 3.5: D´etermination de l’exposant de H¨older de la singularit´e S de la fonction f (Eq. (3.7)) repr´esent´ee dans la figure 3.2. Evolution de Mψ[f ] en parcourant, depuis les grandes vers les petites ´echelles, les lignes de maxima Lr0(a) (4) et Lr1(a) (◦) pointant respectivement sur la singularit´e S et sur la structure localis´ee G. Mˆeme ondelette analysatrice que dans la figure 3.3.
comporte bien en loi de puissance (Eq. (3.24)) : Mψ[f ]¡Lr0(a)¢ ∼ ah(r0)
, a → 0+ , (3.28) o`u h(r0) = 0.3 est l’exposant de H¨older de S. De plus, sur cette ligne de maxima, le vecteur Tψ[f ](Lr0(a)) donne la direction de la plus grande variation de f autour de r0. Cette ligne de maxima nous permet de r´ecup´erer toute l’information n´ecessaire pour localiser et caract´eriser la r´egularit´e h¨olderienne locale de f en r0. On peut remarquer que le long de la deuxi`eme ligne de maxima Lr1(a) pointant vers r1 (structure localis´ee douce G), le module de la TO se comporte `a nouveau en loi de puissance en fonction de l’´echelle (figure 3.5) :
Mψ[f ]¡Lr1(a)¢ ∼ anψ , a → 0+ , (3.29) mais avec un exposant qui n’est autre que l’ordre nψ = 1 de l’ondelette analysatrice.
Il est important de remarquer ici une sp´ecificit´e du cas 3D par rapport au cas 2D. En 3D, il existe un artefact tr`es important concernant le chaˆınage des MMMTO. En effet, on constate que les surfaces de maxima ouverte comme celles, par exemple, qui entourent la structure Gaussienne (Fig. 3.4) `a diff´erentes ´echelles, pr´esentent des maxima de maxima du module de la TO sur les bords de la surface. Ces maxima peuvent ˆetre chaˆın´es comme les
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autres, mais il convient de les ´eliminer car ils polluent fortement les calculs de fonctions de partition, surtout celui de D(q, a). En effet, de telles lignes de maxima viennent augmenter artificiellement le nombre des lignes de maxima pointant vers les singularit´es du champ analys´e. En particulier, sur l’exemple de la fonction f (Eq. (3.27)), si l’on ´elimine pas ces lignes, on constate qu’il y a 24 lignes qui pointent vers la structure G alors qu’il n’y en a qu’une qui pointe vers la singularit´e S (les surfaces de maxima associ´ees sont ferm´ees). Cet exemple simple a la vertu de nous avoir fait constater cet artefact qui n’existe pas en 2D (il n’y a jamais de maxima en bout de chaˆınes de maxima).
Avec cet exemple, nous avons montr´e que les lignes de maxima d´efinies par chaˆınage des points MMMTO `a travers les ´echelles, contiennent toute l’information sur la r´egularit´e de H¨older d’une fonction de R3 dans R. Du comportement en loi de puissance de Mψ[f ] en fonction de l’´echelle a, le long d’une ligne de maxima pointant sur une singularit´e localis´ee en r0, on peut estimer l’exposant de H¨older h(r0) par simple r´egression lin´eaire dans une repr´esentation logarithmique (Figure 3.5). Notons que de la mˆeme mani`ere que ce qui a ´et´e fait en 2D dans la r´ef´erence [97], on peut utiliser le m´ethodologie MMTO 3D pour d´etecter et caract´eriser des singularit´es anisotropes en 3D.