4.4 Etudes des coupes 2D de dissipation, enstrophie et vitesse par la m´ethode
4.4.2 Etude de coupes 2D dans le champ 3D d’enstrophie
Nous rapportons `a pr´esent les r´esultats de l’analyse statistique correspondant au champ d’enstrophie Ω(r). Les figures 4.1(d) et 4.1(e) montrent une coupe 2D caract´eristique de Ω(r) en utilisant respectivement une ´echelle lin´eaire et une ´echelle logarithmique de niveaux de gris. L’aspect intermittent de Ω(r) est ´egalement bien illustr´e sur la coupe 1D de la figure 4.1(f). Comme pr´ec´edemment pour le champ de dissipation, nous appliquons la m´ethode MMTO 2D `a 512 images (512 × 512) du champ Ω avec des ondelettes analysatrices de diff´erents ordres et nous comparons les spectres multifractals obtenus τΩ(q) et fΩ(α) `a leurs homologues issus de l’application d’un algorithme de comptage de boˆıtes.
Evaluation num´erique des spectres multifractals τΩ(q) et fΩ(q)
Les figures 4.2(c) et 4.2(d) illustrent le calcul des chaˆınes de maxima et des MMMTO `a deux ´echelles diff´erentes sur une coupe 2D de Ω (Fig. 4.1(d)) en utilisant l’ondelette analysatrice isotrope d’ordre 1 (nψ = 1). Apr`es la proc´edure de chaˆınage `a travers les ´echelles des MMMTO, on construit les squelettes de la TO pour calculer alors les fonctions de partition Z(q, a) (Eq. (3.34)). Comme en attestent les r´esultats rapport´es dans la figure 4.6(a), la moyenne recuite de a2Z(q, a) (•) pr´esente des propri´et´es de lois d’´echelle bien
158 Application des m´ethodes MMTO 2D et 3D pour l’´etude de la turbulence d´evelopp´ee
Fig. 4.6: D´etermination des spectres τΩ(q) et fΩ(α) de 512 coupes 2D dans le champ d’enstrophie. On utilise la m´ethode MMTO 2D avec l’ondelette analysatrice isotrope d’ordre 1 (•) ou d’ordre 3 (◦). Les r´esultats obtenus avec la technique de comptage de boˆıtes (4) sont montr´es pour comparaison. (a) log2(a2Z(q, a)) vs log2a ; (b) τΩ(q) vs q ; (c) fΩ(α) vs α, apr`es avoir appliqu´e une transformation de Legendre `a la courbe τΩ(q) montr´ee en (b). En (a) les diff´erentes courbes ont ´et´e arbitrairement translat´ees verticalement pour faciliter la comparaison. En (b) et (c), les lignes en trait plein cor-respondent aux spectres multifractals log-normals (4.65) et (4.67) pour les valeurs des param`etres C1 = 0.19 et C2= 0.29 (Eq. (4.66)).
4.4 Etudes des coupes 2D de dissipation, enstrophie et vitesse par la m´ethode MMTO 2D159
d´efinies sur la gamme 2σW .a . 24σW et cela pour −2 . q . 4. N´eanmoins une courbure l´eg`ere mais syst´ematique est observ´ee sur ces diagrammes log-log, comme cela a d´ej`a ´et´e constat´ee pour la dissipation dans la figure 4.3(a). En effectuant, comme dans la section 4.4.1, une proc´edure de r´egression lin´eaire des donn´ees sur la gamme 21.0σW 6a 6 23.4σW, on obtient le spectre τΩ(q) (•) repr´esent´e dans la figure 4.6(b) qui `a nouveau est en bon accord avec un spectre parabolique log-normal :
τΩ(q) = −C1q − C2
q2
2, (4.65)
avec
C1 = 0.19 ± 0.01, C2 = 0.29 ± 0.01. (4.66) Il n’est donc pas surprenant que le spectre des singularit´es correspondant fΩ(α) repr´esent´e sur la figure 4.6(c) soit remarquablement bien reproduit par la fonction parabolique log-normale :
fΩ(α) = 2 − (α − 1 + C1)
2
2C2
. (4.67)
Pour comparaison, nous avons repr´esent´e dans les figures 4.6(b) et 4.6(c) les r´esultats (◦) obtenus en utilisant l’ondelette analysatrice isotrope d’ordre 3 (nψ = 3). Les spectres τΩ(q) et fΩ(α) estim´es sont en tr`es bon accord avec ceux obtenus pr´ec´edemment avec l’ondelette isotrope d’ordre 1 (nψ = 1). Ces spectres sont, l`a encore, bien approch´es par une parabole (Eqs. (4.65) et (4.67)) avec les param`etres :
C1 = 0.18 ± 0.01, C2 = 0.28 ± 0.01, (4.68) qui, compte tenu des barres d’erreur, sont tout `a fait coh´erents avec les valeurs de l’´equation (4.66).
La robustesse de l’estimation de ces spectres multifractals vis-`a-vis de l’ordre des diff´erentes ondelettes analysatrices utilis´ees est encore plus frappante lorsque l’on compare ces spec-tres avec celui obtenu avec un algorithme classique de comptage de boˆıtes (4). Comme pour la dissipation ε, cette technique standard conduit aussi `a un spectre parabolique mais avec des valeurs des param`etres C1 et C2(principalement C1) significativement diff´erentes : C1 = −0.13 ± 0.02, C2 = 0.29 ± 0.01. (4.69) A nouveau la contrainte de normalisation τΩ(1) = 0, c.-`a-d. C1 = −C2/2, intrins`eque `a la m´ethode de comptage de boˆıtes conduit `a une estimation totalement erron´ee du param`etre C1. Remarquons que quelle que soit la technique utilis´ee, le param`etre d’intermittence estim´e C2 de l’enstrophie (Eqs. (4.66), (4.68),(4.69)) est significativement plus grand que la valeur correspondante trouv´ee pour la dissipation (Eqs. (4.58), (4.60),(4.61)). Cela confirme que l’enstrophie est probablement plus intermittente que la dissipation (`a cette valeur du nombre de Reynolds Rλ = 216) comme cela est sugg´er´e dans les r´ef´erences [360–366]. Enfin, la m´ethode MMTO indique clairement que le spectre fΩ(α) est `a nouveau translat´e vers les faibles valeurs de α (correspondant aux singularit´es les plus fortes) en comparaison du spectre estim´e avec l’algorithme de comptage de boˆıtes (Fig. 4.6c). Nous reviendrons sur ce point ainsi que sur la possible nature non-conservative (τΩ(1) ' −0.34 < 0) de la structure multiplicative log-normale sous-jacente.
160 Application des m´ethodes MMTO 2D et 3D pour l’´etude de la turbulence d´evelopp´ee
Densit´es de probabilit´e des MMMTO
Les densit´es de probabilit´e marginale Pa(M) et Pa(A) du module et de l’argument des MMMTO des squelettes associ´es aux coupes 2D de l’enstrophie Ω(r) sont repr´esent´ees dans les figures 4.4(c) et 4.4(d) respectivement. Quantitativement, on retrouve des r´esultats tout `a fait similaires `a ceux observ´es pour ε(r) (Figs. 4.4(a) et 4.4(b)). Sur la figure 4.4(d), la loi Pa(A) est constante `a quelques oscillations de petite amplitude pr`es induites par la trame du r´eseau cubique utilis´e dans les SND et n’´evolue pas lorsque l’on monte dans les ´echelles. En regardant la loi Pa(M) (Fig. 4.4(c)), on peut v´erifier que, comme pour la dissipation, pour chacune des ´echelles analys´ees dans le r´egime inertiel, les points se placent tous sur une courbe bien approch´ee par une fonction log-normale dont la moyenne et la variance ´evoluent dans les ´echelles d’une mani`ere contrˆol´ee par le spectre τΩ(q) (Eqs. (4.65) et (4.66)).
Analyse des fonctions de corr´elation espace-´echelle
La figure 4.5(b) r´esume les r´esultats du calcul de la fonction de corr´elation de la mag-nitude CΩ(∆x, a1, a2) (Eq. (4.63)) en moyennant sur 512 coupes 2D de Ω(r). On peut constater que, comme on peut s’y attendre pour une structure de cascade multiplica-tive [80,98,146,375], tous les points se retrouvent sur une courbe unique pour des distances ∆x > sup(a1, a2), et cela ind´ependamment du couple d’´echelles (a1, a2) choisi. Toutefois, l’´equation (4.64) semble moins bien rendre compte des donn´ees d’enstrophie, en utilisant la valeur σ2 = C2ln 2 = 0.20 (Eq. (4.66)), qu’elle ne le faisait des donn´ees de dissipation dans la figure 4.5(a). N´eanmoins, si l’on ne consid`ere que des distances spatiales ∆x mod´er´ement grandes (c.-`a-d. significativement plus petites que l’´echelle int´egrale L), pour lesquelles le terme lin´eaire σ2log2(L/∆x) devient dominant dans l’´equation (4.64), alors la pente de la courbe CΩ(∆x, a1, a2) observ´ee est `a nouveau en bon accord avec la valeur attendue de σ2 = C2ln 2 = 0.20. Les r´esultats rapport´ees dans la figure 4.5(b) constituent donc indica-tion suppl´ementaire qu’un processus multiplicatif log-normal non-conservatif 2D peut ˆetre utilis´e pour mod´eliser les fluctuations intermittentes que l’on observe dans les coupes 2D du champ d’enstrophie.