4.3 M´ ethodes d’optimisation
4.3.2 M´ ethodes heuristiques
Selon [Alexieva, 1993], une m´ethode heuristique est une loi de nature qualitative qui r´esout les probl`emes en g´en´erant des solutions potentielles et en les testant. On cherche `a ´
etudier tout l’espace param´etrique, dans les meilleures directions possibles, et on calcule le crit`ere d’optimalit´e en diff´erents points. La diversit´e des m´ethodes est en g´en´eral due aux modes de parcours de cet ensemble (choix du pas, des directions).
Dans le cas particulier de l’estimation des param`etres du mod`ele GL3, pour laquelle les fonctions coˆuts ne sont pas toujours continues, l’utilisation d’une m´ethode exacte est souvent impossible. Le gradient d’une telle fonction ne peut en effet pas ˆetre calcul´e en tout point. Des m´ethodes heuristiques sont donc n´ecessaires dans ce cas, et deux ont ´
et´e impl´ement´ees dans Digiplante : recuit simul´e et recherche tabou.
Recuit simul´e
La m´ethode heuristique du recuit simul´e est bas´ee sur une analogie avec la physique statistique. L’optimisation d’un syst`eme complexe est assimilable `a l’´evolution d’un sys-t`eme d´esordonn´e vers un syst`eme ordonn´e ([Siarry and Dreyfus, 1988]). A la temp´ era-ture T , il existe un ´equilibre thermique. Quand T diminue, la distribution de Boltz-mann se concentre sur les ´etats de basse ´energie. Si la d´ecroissance est trop rapide, la structure est m´etastable (minimum local d’´energie), [Laarhoven and Aarts, 1987]. Une d´ecroissance de la temp´erature suffisamment lente entraˆıne le syt`eme vers l’´equilibre d’´energie minimale.
En pratique, `a la temp´erature T , `a partir d’une configuration k, d’´energie Ek, qui correspond `a la fonction coˆut du syst`eme, on utilise l’algorithme de M´etropolis ([Siarry and Dreyfus, 1988]) :
– L´eg`ere perturbation de la configuration k vers une configuration k + 1, – Calcul de la nouvelle ´energie Ek+1,
– Deux cas se pr´esentent alors :
– soit Ek+1≤ Ek, on accepte la configuration k,
– soit Ek+1 > Ek, on d´efinit A = e−Ek+1− Ek
T , on tire un nombre al´eatoire R ∈ [0; 1]. Si R ≤ A, on accepte la nouvelle configuration, sinon, on la refuse.
– Continuation du processus
Dans l’espace des configurations, il faut d´efinir les changements possibles `a par-tir d’une configuration donn´ee. Dans notre mod`ele, pour un ensemble de param`etres (a1, . . . , an), nous passons d’une configuration `a une autre (c’est-`a-dire d’une plante `a une autre), en perturbant l´eg`erement l’un des param`etres. On d´efinit un pas d´ependant
4.3. M ´ETHODES D’OPTIMISATION 163
de son domaine de variation, pour ˆetre susceptible de le parcourir en entier, puis on fait varier le param`etre de la valeur de ce pas. On pourrait ´elargir l’espace des configurations autoris´ees.
La convergence de l’algorithme est possible si il y a r´eversibilit´e (tout changement inverse d’un changement autoris´e est autoris´e), et connexit´e (tout ´etat peut ˆetre at-teint `a partir d’un autre). La vitesse de convergence d´epend de la topologie choisie. Par exemple, en cas d’optimisation continue, la longueur du pas peut ˆetre adapt´ee en fonction du taux d’acceptation et des pas d´ej`a effectu´es. La r`egle d’acceptation des configurations peut ˆetre chang´ee.
Le programme du recuit simul´e permet de contrˆoler la temp´erature du syst`eme. La probabilit´e de changement d´epend en effet de cette temp´erature. A T constant, les lois de changement de configuration suivent une chaˆıne de Markov, on d´etermine la pro-babilit´e de passer d’un ´etat `a l’autre. La chaˆıne de Markov poss`ede un seul vecteur d’´equilibre, ind´ependant de la configuration initiale : q(T ) tel que sa composante qi(T ) est la probabilit´e que le syst`eme se trouve dans la configuration i en r´egime station-naire. Quand T est grand, toutes les configurations peuvent ˆetre obtenues avec la mˆeme probabilit´e, et quand T → 0, le syst`eme atteint une configuration optimale avec une probabilit´e 1 (mais au bout d’un temps infini). La vitesse de convergence de l’algorithme (et donc son efficacit´e) d´ependent des param`etres suivants :
– valeur initiale de la temp´erature T , – longueur du palier
– loi de d´ecroissance de la temp´erature – crit`ere d’arrˆet (valeur finale de T ).
Il existe des r`egles de choix de ces param`etres de mani`ere optimale.
Cette m´ethode d’optimisation est puissante, mais assez lente. Dans notre mod`ele, nous avons choisi une loi de d´ecroissance exponentielle en temp´erature, dont la vitesse est un param`etre d’entr´ee de l’algorithme. Le passage d’une configuration `a une autre se fait en modifiant l´eg`erement un des param`etres d’un pas qui reste constant pendant toute la dur´ee de l’algorithme. Les r´esultats obtenus sont assez satisfaisants, et nous n’avons pas cherch´e `a optimiser la vitesse de convergence.
Recherche tabou
La m´ethode heuristique de recherche tabou a ´et´e imagin´ee par Glover (voir par exemple [Glover and Laguna, 1997]). L’id´ee consiste, `a partir d’une position donn´ee, en l’explo-ration du voisinage pour trouver des points o`u la fonction coˆut est inf´erieure. Un d´ e-placement peut entraˆıner une augmentation de la fonction coˆut, notamment si elle a une valeur plus grande en tous les points du voisinage. A l’it´eration suivante, pour ne pas retomber dans un minimum local que l’on aurait d´ej`a trouv´e, on interdit de revenir `
a des positions d´ej`a explor´ees. Celles-ci sont stock´ees dans une liste dont la taille est un des param`etres de l’algorithme. Cela peut poser un probl`eme d’archivage lorsque les donn´ees sont de grandes tailles. Le type de d´eplacement et la d´efinition du voisinage
ont une grande influence sur le comportement de l’algorithme. Les d´emonstrations de convergence vers un minimum global au bout d’un nombre infini d’it´erations existent, mais souvent avec des hypoth`eses restrictives.
4.4 Conclusion
Lors de l’identification des param`etres du mod`ele GreenLab, le choix de la m´ethode d’optimisation d´epend de l’ensemble de param`etres `a d´eterminer, et principalement de la continuit´e de la fonction coˆut qui en d´ecoule. Les m´ethodes heuristiques ont parfois ´et´e employ´ees pour l’identification des param`etres ´ecophysiologiques, mais ce sont souvent r´ev´el´ees moins efficaces que la m´ethode des moindres carr´es. D`es que la fonction coˆut n’est pas continue, il faut utiliser une des m´ethodes heuristiques. Le choix entre les deux est laiss´e `a la charge de l’utilisateur, et leur efficacit´e d´epend souvent du probl`eme `a traiter. Les deux m´ethodes peuvent mˆeme ˆetre utilis´ees successivement.
Dans la suite de cette partie, nous montrons quelques applications du mod`ele `a des plantes r´eelles, faites `a l’aide de la proc´edure explicit´ee ci-dessus.
Chapitre 5
Le riz
Ce chapitre est consacr´e aux r´esultats d’identification de param`etres cach´es sur le riz. Nous avons choisi d’appliquer notre mod`ele GL3 au riz pour ´etudier les effets du rap-port de l’offre sur la demande sur le d´emarrage et la taille des talles. Des talles peuvent apparaˆıtre sur le brin maˆıtre d’un riz, leur nombre et leur production ont une grande importance sur la r´ecolte. Certaines talles avortent avant la floraison, et celles qui conti-nuent `a grandir portent un panicule. Selon [Jaffuel and Dauzat, 2005], «le tallage du riz est d´eterminant pour la production de panicules et par cons´equent affecte la r´ecolte globale. La variabilit´e substantielle observ´ee dans les r´eponses des diff´erentes vari´et´es de riz au tallage est reli´ee de pr`es `a la plasticit´e due aux conditions environnementales». Leur pr´esence est souvent difficile `a justifier, et nous esp´erons trouver une cause d’ap-parition de ces talles, par exemple un facteur d´eclencheur li´e au rapport de l’offre sur la demande. Jaffuel et Dauzat citent [Matsuo and Hoshikawa, 1993] et [Hanada, 1982] qui lient l’augmentation de la taille des bourgeons des talles du riz `a la taille de l’apex et `a l’accroissement de la taille des feuilles. Nous nous interrogeons aussi sur la position de ces talles : y-a-t’il des bourgeons plus aptes `a d´emarrer que d’autres ? Quel effet cela peut-il avoir sur la croissance ?