4.3 Traitement de l’information et incertitudes associées
4.3.2 Méthodes d’extraction de la longueur d’onde de Bragg
4.3.2.2 Méthodes de recherche de λ B
Dans la section qui précède, nous avons présenté la méthode du maximum. Nous présentons main- tenant les autres méthodes.
CHAPITRE 4. MÉTROLOGIE ET OPTIMISATION DE LA MESURE 4.3.2.2.1 Méthode du barycentre
La méthode consiste à pondérer chaque point en abscisse OXi de longueur d’onde par son poids, la
puissance Pi. Ainsi, la position OXB du barycentre donnée par l’équation
4.7 est une estimation de la valeur de λB. La méthode est sensible à l’asymétrie du spectre ainsi qu’aux lobes latéraux. Elle est
simple à programmer et,a priori, peu coûteuse en temps de calculs.
−−→ OXB= Pn i Pi. −−→ OXi Pn i Pi 4.7
4.3.2.2.2 Procédure d’ajustement entre un modèle/données expérimentales
L’objectif des ajustements sur les modèles est d’atteindre une valeur à partir d’un spectre expérimental avec le moins d’erreurs possibles sur λB. Par ajustement, on entend une interpolation, minimisation
au sens des moindres carrés entre la courbe expérimentale et la courbe modèle avec des paramètres ajustables.
Le modèle mathématique est ajusté sur le spectre expérimental qui dépend d’un jeu de paramètres à estimer. Le spectre expérimental χexp(λ) est décrit par les valeurs discrètes λi, Ii
χexp = F(λi, Ii) 4.8
Le spectre du modèle χmod(λ) est décrit par une fonction d’un jeu de paramètres P : (p1...pn)
χmod= F(p1...pn) 4.9
La procédure d’optimisation permet d’ajuster au mieux ces paramètres pour que la fonction objectif, qui quantifie les différences quadratiques entre les valeurs du modèle et celles de l’expérience, soit minimisée. min f (λ) = χ exp − χmod 2 4.10
La minimisation est effectuée avec un algorithme d’optimisation non-linéaire au sens des moindres car- rés proposés par le logicielMatlab. La méthode de convergence choisie est celle de Levenberg-Marquardt [Mor 77]. Cette méthode réputé robuste, nécessite une estimée initiale du jeu de paramètres (p01...p0n).
Ceux-ci ne doivent pas être trop éloignés de la vraie solution. Les principales caractéristiques qui di- mensionnent le spectre, indiquées figure 4.14.a, sont extraites au moyen d’algorithmes simples. Celles-ci sont la hauteur maximale du pic Rmax, la largeur à mi-hauteur, la longueur d’onde correspondant à la valeur maximum et la valeur du signal de fond R0. Une autre largeur est utile pour le modèle
théorique, il s’agit de la distance entre les deux premiers minima latéraux du spectre [Erdogan 97]. Les critères d’arrêt de la procédure d’optimisation sont le nombre d’itérations maximum et un seuil de tolérance en-deçà duquel on estime que le résidu est suffisamment petit.
4.3. TRAITEMENT DE L’INFORMATION ET INCERTITUDES ASSOCIÉES
(a) Estimation des paramètres initiaux dimensionnant le spectre
(b) Paramètre de la fenêtre d’acquisition
Fig. 4.14 – Paramètres de dimensionnement du spectre et de la fenêtre d’acquisition 4.3.2.2.3 Modélisation par une fonction Gaussienne
La fonction est une pseudo-gaussienne paramétrée :
G(λ) = I0+ I.e −(λ−λB)2 W2/2 4.11 avec I0 le signal de fond, I l’amplitude du pic de Bragg, λB la position et W la largeur à mi-hauteur.
Ces quatre paramètres sont à ajuster pour représenter au mieux le spectre mesuré. Vacher [Vacher 04] a utilisé cette fonction pour extraire les λBau moyen d’un ajustement basé sur une minimisation par la
méthode de Levenberg-Marquardt. La fonction paramétrée convient aux FBG présentant un spectre symétrique et apodisé car la fonction gaussienne ne prend pas en compte les lobes latéraux (voir figure 4.15.d).
4.3.2.2.4 Modélisation par une fonction sinus cardinal paramétrée
Nous proposons un modèle d’ajustement basé sur une fonction sinus cardinal, une fonction est cou- ramment rencontrée dans le domaine du traitement du signal, qui s’écrit :
S(λ) = a + b.sinc λ − λB d 2 4.12 Les paramètres a, b et d permettent d’ajuster le seuil (a), la hauteur (b), la largeur du pic (d) et la position de la longueur d’onde λB. L’expression est au carré car la mesure ne présente pas de valeur
négative. Cette fonction prend en compte les lobes latéraux des spectres expérimentaux (voir figure 4.15.c).
4.3.2.2.5 Modélisation par une fonction Lorentzienne
L(λ) = a + b 1 + d [2.(λ − λB)]2 ! 4.13 De la même façon, un jeu de paramètres permet d’ajuster la forme du spectre. La somme de a et b est proportionnelle au seuil du signal. Le produit b par d est proportionnel à la largeur du pic. Et λB est la localisation de la position du pic de Bragg. La fonction Lorentzienne est parfois appelée
CHAPITRE 4. MÉTROLOGIE ET OPTIMISATION DE LA MESURE
fonction instrumentale. Elle est exploitée pour l’extraction de valeurs dans le domaine des rayons X.
La fonction ne prend pas en compte les lobes et convient aux spectres symétriques (voir figure 4.15.b).
4.3.2.2.6 Modélisation par une fonction polynomiale
L’idée de cet ajustement est de limiter le spectre mesuré à sa partie centrale en parabole. Ensuite, ce tronçon est ajusté sur un polynôme du second degré (voir figure 4.15.a).
P(λ) = P1λ2+ P2λ + P3 4.14 On peut exprimer également la parabole en faisant apparaître la position λB, un paramètre a pour
ajuster la position en ordonnée et b pour ajuster la largeur de la parabole :
P(λ) = a + b(λ − λB)2 4.15 En identifiant terme-à-terme : a = P3, b = P1 et λB = P2
−2P1. Dans le cas de l’ajustement par le
polynôme d’ordre 3, nous déterminons d’abord le jeu de paramètres du polynôme d’ordre 3 et ensuite nous évaluons les racines de la dérivée de cette fonction.
4.3.2.2.7 Modélisation par le modèle issu de la théorie des modes couplés
Plutôt que d’ajuster le spectre sur des modèles purement mathématiques, cet ajustement s’appuie sur le modèle théorique du FBG uniforme issus du calcul de propagation de la lumière (théorie des modes couplées). Ici, on rappelle la formule analytique du spectre de réflexion R(λ) qui a été présentée en
2.26 que l’on rappelle ici :
R(L, λ) = q 2sinh2(γL) γ2cosh2(γL) + δ2sinh2(γL) 4.16
Cette expression admet des termes q, γ et δ qui s’expriment en fonction de δnef f (l’amplitude de
modulation d’indice) et λB. Les paramètres d’ajustement sont δnef f, λB et L.
La procédure d’ajustement par cette fonction est plus délicate que pour les précédentes. Il est nécessaire de calculer une estimation des paramètres d’ajustement δnef f, λB et L en extrayant au
préalable les caractéristiques courantes du spectre. Par contre, c’est la fonction qui s’ajuste le plus intimement avec le spectre expérimental dans le cas d’un FBG uniforme (voir figure 4.15.e)
4.3.2.3 Résultat : illustration par un exemple
Nous allons illustrer ici l’intérêt des ajustements par un cas pratique. Le FBG est supposé stable et une succession de spectres est acquise dans des conditions identiques dites de répétabilité. Le pas d’échantillonnage du spectre est de 20 pm. Pour chaque spectre expérimental, nous déterminons la valeur λmax qui correspond au maximum de la puissance réfléchie au moyen d’un algorithme simple.
D’autre part, nous calculons les λajustés ajustées sur le modèle gaussien et nous reportons l’ensemble
des valeurs extraites sur le graphique figure 4.16. La figure 4.16 rend compte de deux dispersions de valeurs.
4.3. TRAITEMENT DE L’INFORMATION ET INCERTITUDES ASSOCIÉES
(a) Polynome de degré 2 (b) Lorentzienne
(c) Sinus cardinal (d) Gaussienne
(e) Théorique
CHAPITRE 4. MÉTROLOGIE ET OPTIMISATION DE LA MESURE
Fig. 4.16 – Comparaison λB ajustée et λMaximum (mesurages successifs)
Ces mesurages successifs sont quantifiés par la moyenne (ou l’espérance) ¯λ et l’écart-type σ. Les deux nuages de valeurs n’admettent pas les mêmes dispersions : l’écart-type des λmax vaut 17,9 pm
alors que celui de λajustée vaut 3.7 pm. La moyenne de λmaxi vaut 1547.8581 alors que celle de λajustée
vaut 1547.8589 nm. Les moyennes présentent un écart de 8 pm. On constate que la méthode du maximum donne un résultat qui dépend de la résolution choisie, ici 20 pm.
Par ailleurs, on note aussi sur la figure 4.16 une dérive de λB au fur et à mesure des acquisition
(pouvant s’expliquer par une élévation de la température de quelque degrés). Ce phénomène n’est cependant pas perceptible avec la méthode de recherche de la plus grande valeur qui admet une trop large résolution.
En conclusion, l’ajustement ici permet une meilleure résolution pour un même temps d’acquisition, et, permet donc ainsi d’être sensible à des phénomènes, comme dans ce cas la dérive, qui sont peu décelables.