Fenêtrage et erreurs associées

Lors de l’acquisition de la réponse spectrale du FBG, il faut déterminer une plage des longueurs d’ondes. A priori, l’opérateur n’a pas une idée exacte de la localisation du spectre FBG ni de sa longueur. En pratique, il opère par tâtonnement pour trouver la localisation du FBG et ajuster au mieux la plage d’acquisition des longueurs d’ondes. Nous voulons voir dans cette section si le choix de la fenêtre d’acquisition (position, largeur) ont un impact sur l’extraction de λB. Nous quantifierons les

erreurs qui peuvent découler de l’incertitude sur la fenêtre d’acquisition (par commodité de langage, nous appellerons cette plage de longueur scannée lataille de la fenêtre d’acquisition). Nous retiendrons deux paramètres pour décrire cette fenêtre :

– la largeur de la fenêtre d’acquisition notée t sur la figure 4.14.b

– l’excentricité de la fenêtre qui correspond à la position du centre de la fenêtre par rapport à λB

réelle, elle est notéee sur la figure 4.14.b. 100

4.3. TRAITEMENT DE L’INFORMATION ET INCERTITUDES ASSOCIÉES 4.3.3.1 Influence de la taille de la fenêtre et erreurs associées

4.3.3.1.1 Principe

Nous disposons d’un spectre de FBG mesuré en réflexion, ayant une plage totale de 2 nm, avec un pas d’échantillonnage de 1 pm. Il s’agit du spectre le plus résolu qu’il soit possible de réaliser avec le système d’interrogation (voir figure 4.17) ; il est composé de 2000 valeurs. Pour voir l’influence de la taille de la fenêtre d’acquisition, nous faisons varier progressivement la taille de cette fenêtre d’acquisition de 100 pm à 1400 pm (fenêtre centrée sur λB), et toutes les méthodes d’extraction de λB

sont exploitées sur cette plage plus ou moins réduite de spectre. Nous verrons ainsi l’effet de la taille de la fenêtre sur l’extraction de λB. Nous pourrons également comparer la robustesse de chacune des

méthodes. Les fluctuations des valeurs extraites nous donneront une idée de la dispersion de λB. Nous

quantifierons, de plus, les erreurs dues au fenêtrage et nous verrons quel est le critère qu’il faut retenir pour une acquisition la moins erronée possible.

Fig. 4.17 – Mesure du spectre FBG en réflexion à résolution maximum (1 pm)

4.3.3.1.2 Résultats

Les courbes de la figure 4.18 représentent l’extraction de la longueur d’onde de Bragg pour une méthode donnée en fonction de la demi-taille de la fenêtre d’acquisition. D’une manière générale, les courbes sont croissantes avec la taille de la fenêtre. Et, elles se stabilisent plus ou moins tôt à partir d’une taille de fenêtre à peu près équivalente. Sur la figure 4.19 représentant l’évolution de la méthode du barycentre, il apparaît trois comportements :

– un premier intervalle de la courbe [a] où la fenêtre est plus petite que la largeur du spectre, où il y a une augmentation douce de λB avec l’accroissement de la taille de la fenêtre. La valeur de

λB semble converger vers une valeur avec la diminution de la taille de la fenêtre,

– un second intervalle où λB croît rapidement [b]

CHAPITRE 4. MÉTROLOGIE ET OPTIMISATION DE LA MESURE

Fig. 4.18 – Influence de la taille de la fenêtre sur l’extraction de λB (toutes méthodes)

Fig. 4.19 – Influence de la taille de la fenêtre sur l’extraction de λB (méthode Barycentre)

4.3. TRAITEMENT DE L’INFORMATION ET INCERTITUDES ASSOCIÉES

(a) TF=100pm (b) TF=250pm (c) TF=500pm

Fig. 4.20 – Trois tailles de fenêtre (TF)

Pour chacune des trois régions [a, b, c] de la figure 4.19, il est possible d’associer une situation de la figure 4.20 :

– dans le premier cas, la fenêtre d’acquisition est plus petite que la largeur du spectre,

– dans le deuxième cas, l’ajustement est plus difficile, le résidu s’accroît avec l’augmentation de la taille jusqu’à la valeur de fenêtre seuil. La taille de la fenêtre seuil est voisine de la largeur du spectre de Bragg,

– dans la troisième région [c], la taille de la fenêtre est supérieure à la largeur du spectre. L’aug- mentation de la taille ne fait pas beaucoup varier λB. On définira sur la figure 4.19 une taille

de fenêtre seuil au-delà de laquelle la longueur d’onde extraite est stable. Dans le cas présenté, TF_seuil vaut environ 600 pm. Cela correspond à la largeur au niveau de la base du pic de Bragg, entre les deux premiers minima latéraux.

Pour quantifier les écarts entre les méthodes, nous donnerons la valeur moyenne de la longueur d’onde µ(λB), et l’écart-type σ(λB). Ces estimateurs sont calculés pour les taille de fenêtres supérieures

à TFseuil. De plus, nous donnerons une valeur correspondant à l’écart maximal des valeurs extraites

δmax= sup(λB) − inf (λB). Cette valeur nous permettra d’estimer l’erreur maximale que nous pouvons

commettre. Ces paramètres sont représentés sur la figure 4.19. Nous estimerons un autre écart δsyst

correspondant à l’écart entre µ(λB) et le λB de référence obtenue avec la méthode Maxi pour la

meilleure résolution de 1 pm. Toutes les valeurs sont reportées dans le tableau 4.3 qui suit. Méthodes _µ(λB)(nm) δsyst(pm) δmax (pm) σ(λB)(pm)

Maxi 1556.7370 0 0 0 Barycentre 1556.7455 8.5 8.8 0.18 Polyfit3 1556.7549 17.9 19.6 3.14 Polyfit2 1556.7414 4.4 4.3 0.85 Gaussien 1556.7443 7.3 4.9 0.11 Lorentz 1556.7440 7.0 5.2 0.16 sinc 1556.7445 7.5 4.7 0.02 Théorique 1556.7401 3.1 228 0.33

Tab. 4.3 – Erreurs sur l’extraction de λB dues au fenêtrage en fonction des méthodes de recherche

Pour conclure, la taille du fenêtrage aurait une influence non négligeable sur l’extraction de λB si

on retenait les erreurs maximales δmax. Cependant, dès lors que la taille de la fenêtre est supérieure

à la taille de la fenêtre seuil, la valeur de λB est plus stable. Il faut donc plutôt retenir l’écart-type

CHAPITRE 4. MÉTROLOGIE ET OPTIMISATION DE LA MESURE

pic. Cette dernière est (seulement) de l’ordre de 0.2 pm, hormis pour les méthodes polynomiales qui conduisent à des incertitudes plus importantes. L’ajustement sur le modèle basé sursinC est celui qui admet la plus faible incertitude-type.

4.3.3.2 Influence de l’excentricité de la fenêtre

Dans le cas précédent, la fenêtre était centrée sur la valeur maximale du pic. Dans le cas d’une acquisition réelle, il est difficile en pratique d’acquérir un spectre qui se translate sans admettre d’excentricité de la fenêtre d’acquisition par rapport au spectre. Dans cette section, nous allons voir l’influence de l’excentricité de la fenêtre d’acquisition sur l’extraction de λB avec les méthodes de

recherche proposées.

La procédure est la suivante : nous disposons du spectre expérimental sur une plage de 2000 pm. Nous fixons la taille de la fenêtre d’acquisition à 800 pm centrée sur le pic (taille de fenêtre supérieure à TF). Puis, nous imposons un décalage (ou offset) qui varie progressivement de -100 pm à + 100 pm sur cette fenêtre ; soit au total une excentricité d’environ ±12 % de la fenêtre d’acquisition. Nous suivons l’évolution des valeurs des λB extraites par l’ensemble des méthodes proposées en fonction de

l’excentricité. Nous obtenons la figure 4.21.

Fig. 4.21 – Influence de l’excentricité de la fenêtre sur l’extraction de λB

Nous observons (figure 4.21) que les méthodes d’ajustement sur les polynômes admettent des amplitudes de variation plus fortes que les autres (toute la plage d’amplitude n’est pas représentée). Les autres méthodes sont concentrées dans une bande plus étroite. Afin de rendre compte des variations en fonction de chacune des méthodes, sont reportées dans le tableau 4.4 les valeurs moyennes de λB

extraites par chacune des méthodes, l’écart δsyst(pm) de cette dernière par rapport à λB de référence

(pour la meilleure résolution de la Méthode Maxi), l’amplitude de variation maximum δmaxet l’écart-

type de λB.

Les valeurs de la troisième colonne δmax rendent compte de l’influence de l’excentricité. En effet,

pour les méthodes polynomiales, cette valeur vaut plus de 100 pm. Cela correspondrait approxima- tivement à une erreur de 10°C sur une valeur de température. Pour la méthode du barycentre, la

4.3. TRAITEMENT DE L’INFORMATION ET INCERTITUDES ASSOCIÉES

Méthodes µ(λB)(nm) δsyst(pm) δmax (pm) σ(λB)(pm)

Maxi 1556.7370 0.0 0.0 0 Barycentre 1556.7453 8.3 2.4 0.72 Polyfit3 1556.7511 14.1 139.5 54.44 Polyfit2 1556.7412 4.2 100.7 32.26 Gaussien 1556.7442 7.2 0.0059 0.0013 Lorentz 1556.7439 6.9 1.18 0.387 sinC 1556.7445 7.5 0.03 0.00879 Théorique 1556.7404 3.4 0.10 0.020

Tab. 4.4 – Erreurs sur l’extraction de λB dues à l’excentricité du fenêtrage en fonction des méthodes

de recherche

valeur est plus faible, de l’ordre de 3 pm. Nous notons également une valeur de l’ordre de 1 pm pour la fonction lorentzienne. Enfin, pour l’ajustement sur la gaussienne, ou le sinus cardinal et sur la fonction théorique les valeurs sont très faibles (inférieures à 0.10 pm). Ces méthodes de recherche sont moins sensibles à l’excentricité de la fenêtre que les autres.