4.3 Traitement de l’information et incertitudes associées
4.3.4 Échantillonnage spectral et incertitudes associées
L’échantillonnage du spectre rend compte de la discrétisation du spectre caractéristique. Dans cette section, nous nous intéressons à l’effet de l’échantillonnage du spectre sur l’incertitude de λB
par l’ensemble des méthodes proposées. Nous voulons quantifier l’erreur sur cette grandeur et voir à partir de quel niveau d’échantillonnage les incertitudes sont faibles. Cela permettra d’optimiser le temps d’acquisition des spectres. Enfin pour un échantillonnage fixé, nous pouvons avoir une idée de l’erreur commise avec chacune des méthodes. La méthode est la suivante : nous disposons d’un spectre expérimental acquis sur une plage de 1.4 nm avec une résolution de 1 pm. La taille de la fenêtre est fixée et est centrée sur le spectre. L’échantillonnage expérimental maximum avec le système d’interrogation considéré est de 1400 points pour cette plage de 1.4 nm. Ensuite le spectre est sous-échantillonné numériquement par décimation des valeurs, le spectre contient successivement 1400, 700, 467. . .1400n valeurs. Nous procédons à la recherche de λB par l’ensemble des méthodes. Sont calculés la valeur
moyenne, l’écart-type sur λB extrait, l’écart-maximum et l’écart de la valeur moyenne par rapport à
la valeur de référence λB qui correspond à une erreur systématique.
La figure 4.22 montre l’extraction de λB par l’algorithme qui retient la plus grande valeur des
enregistrements (maximum du tableau) en fonction de l’échantillonnage. La valeur de référence est celle du spectre qui a été obtenu avec la résolution maximum de l’appareil, soit la valeur de λBà droite
sur la figure pour l’échantillonnage à 1400 points (la ligne médiane).
Nous observons sur la figure 4.22 que lorsque l’échantillonnage se réduit, l’écart tend à croître par rapport à la valeur initiale de référence. A gauche, le spectre ne contient que 15 valeurs c’est-à-dire 100 fois moins de valeurs qu’un spectre avec un pas de 1 pm qui se trouve totalement à droite de la figure. L’écart-type et les écarts qui constituent l’amplitude maximum de cette évolution rendent compte de la dispersion des λB extraits. L’intérêt des méthodes d’ajustement est de réduire ces amplitudes de
dispersion. Dans le cas présent, nous pouvons voir qu’un spectre acquis avec cinq fois moins de valeurs présente une erreur assez faible, inférieur au pm. L’optimisation de l’échantillonnage consiste à réduire l’échantillonnage du spectre, en ayant une idée sur l’erreur commise.
CHAPITRE 4. MÉTROLOGIE ET OPTIMISATION DE LA MESURE
Fig. 4.22 – Influence de l’échantillonnage avec la méthode du maximum du tableau sur l’extraction de λB
méthodes de recherche. La figure 4.23.a rend compte que les méthodes d’ajustement polynômiales présentent des dispersions 2 à 3 fois moins larges que la méthode du maximum du tableau. Puis la figure 4.23.b permet de voir que les dispersions, grâce aux méthodes d’ajustement des modèles mathématiques, ainsi que la méthode du barycentre, présentent des dispersions très faibles comparées à celle de la méthode du maximum du tableau. Les figures rendent compte que les dispersions dues aux échantillonnages admettent des amplitudes très variables avec le choix de la méthode choisie. Afin de rendre compte de ces différences, les valeurs calculées à partir des courbes des figures 4.23.a et 4.23.b sont reportées dans des tableaux. Les valeurs reportées sont la valeur moyenne de λB, l’écart
entre cette valeur et la valeur de référence (en première ligne), δmax qui rend compte de l’amplitude
maximale de la dispersion, et l’incertitude-type de λB. Deux tableaux sont donnés, le premier pour
des échantillonnages variant de 1400 à 200 points (toujours pour 1.4 nm de plage spectrale) et le second pour des échantillonnages variant de 1400 à 15 points. Le premier tableau correspond à des échantillonnages aboutissant à des spectres ayant plus de 200 points, soit des spectres fins (uniquement de bonne résolution). Tandis que le second tableau correspond à des échantillonnages aboutissant à des spectres de toutes résolutions (des plus au moins fins).
Dans le premier tableau 4.6, la première colonne donne l’ordre de grandeur du correctif à appliquer pour l’erreur systématique. Les 3 ème et 4 ème colonnes sont des indicateurs pertinents de l’incertitude. Nous notons que les valeurs de δmax sont de l’ordre de 1 à 3 pm environ pour les méthodes du maxima
du tableau, de l’ajustement sur les polynômes et sur la fonction théorique. Les écart-types associés à ces méthodes sont également les plus importants (0.8 pm environ) mais cependant tous très faibles. Pour les autres méthodes, les δmax sont négligeables et les incertitudes-types en λB sont aussi négligeables.
La petitesse des incertitudes exprime le fait qu’au-delà de 200 points pour un spectre compris dans une plage 1.4 nm, les dispersions sont faibles quelles que soient les méthodes. Ainsi un spectre à 1400200 = 7pm de résolution et un spectre à 14001400 = 1 pm n’admettent pas d’écart significatifs pour l’extraction de λB. Dans ce second tableau qui rend compte des échantillonnages plus faibles (jusqu’à 15 points pour 1400 pm), nous notons que les valeurs de δmaxsont de l’ordre de 20 à 90 pm environ pour les méthodes
du maxi tableau, de l’ajustement sur les polynômes et sur la fonction théorique. Les écart-types as- 106
4.3. TRAITEMENT DE L’INFORMATION ET INCERTITUDES ASSOCIÉES
(a) Méth. Polynomiales et Maxi tableau
(b) 5 modèles d’ajustement
Fig. 4.23 – Influence de l’échantillonnage avec les méthodes d’extraction de λB
Méthodes µ(λB)(nm) δsyst(pm) δmax (pm) σ(λB)(pm)
Maxi pré-Ech 1556.737 0 0 0 Maxi post-Ech 1556.7371 0.14 3 0.89 Barycentre 1556.7452 8.2 0.053 0.017 Polyfit3 1556.7578 20.8 1.37 0.65 Polyfit2 1556.7404 3.4 0.58 0.27 Gaussien 1556.7442 7.2 0.031 0.011 Lorentz 1556.7438 6.8 0.038 0.013 sinC 1556.7445 7.5 0.033 0.012 Théorique 1556.7400 2.9 1.71 0.60
Tab. 4.5 – Erreurs sur l’extraction de λB dues à l’échantillonnage (de 1400 points à 200 points pour
CHAPITRE 4. MÉTROLOGIE ET OPTIMISATION DE LA MESURE
Méthodes E(λB)(nm) δsyst(pm) δmax (pm) σ(λB)(pm)
Maxi Pré Ech./ 1556.737 0 0 0
Maxi post. Ech./ 1556.7391 2.1 86.0 16.8 Barycentre 1556.7450 8.0 1.2 0.2 Polyfit3 1556.7731 36.0 51.7 13.7 Polyfit2 1556.7339 3.1 23.3 6.1 Gaussien 1556.7443 7.2 1.4 0.2 Lorentz 1556.7438 6.8 2.4 0.3 sinC 1556.7445 7.5 1.5 0.2 Théorique 1556.7282 8.8 71.1 11.5
Tab. 4.6 – Erreurs sur l’extraction de λB dues à l’échantillonnage (de 1400 à 15 points pour 1400 pm
de plage) en fonction des méthodes de recherche
sociés à ces méthodes sont également les plus importants (de 6 à 16 pm). Pour les autres méthodes, les δmax sont faibles , de l’ordre de 2 pm, et les incertitudes-types en λB sont (seulement) de l’ordre
de 0.2 pm. Dans ce second tableau, il est mis en lumière que pour de faibles échantillonnages en lon- gueur d’onde, les ajustements sur des modèles réduisent considérablement les incertitudes de mesures. D’après les résultats, finalement on peut envisager l’acquisition de spectres avec un échantillonnage de seulement une vingtaine de points pour 1.5 nm, conduisant à une erreur maximale après ajustement (sur gaussienne, lorentzienne, sinus cardinal ou avec la méthode du barycentre) de l’ordre de 3 pm.