Incertitudes de mesure

Nous allons rappeler dans cette section quelques définitions de termes métrologiques. Nous ren- voyons le lecteur à deux ouvrages pour compléter ce glossaire : une référence sur les capteur de Georges Asch et al. [Asch 82] et le GUM (Guide of Uncertainty of Measurement [GUM 99] dans lequel le vo- cabulaire métrologique est normalisé.

La première étape est la définition del’observable. Dans le cas du capteur FBG, l’observable est la longueur d’onde de Bragg λB. Elle correspond à la valeur pour laquelle le spectre en réflexion ou

en transmission admet un extremum. Cet observable est utile pour accéder aux grandeurs externes (température, pression, déformation. . .). L’observable et la grandeur notée m comme mesurande sont liées par la sensibilité, notée K ici, définie par la dérivée partielle de celle-ci par rapport au mesurande : K = ∂λB ∂m     4.2 La sensibilité est obtenue en calculant la localement pente de la droite d’étalonnage entre l’observable λB et le mesurande. Dans le cas le plus souhaitable, celle-ci est constante sur toute la plage (capteur

CHAPITRE 4. MÉTROLOGIE ET OPTIMISATION DE LA MESURE

linéaire). L’étendue de mesure du capteur correspond aux valeurs minimales et maximales mesu- rables du mesurande. Elle caractérise la plage de validité du capteur. Pour un capteur FBG, l’étendue de mesure en température et en déformation dépend des propriétés du matériau de la fibre optique (silice, polymère, saphir. . .), de la tenue du FBG, des domaines de linéarité des réponses et enfin des gammes de longueurs d’ondes du système d’interrogation.

L’erreur de mesure est la somme d’une composante aléatoire et d’une composante systématique. L’erreur aléatoire est l’écart d’un mesurage et de la moyenne d’un nombre infini de mesurages du même mesurande, effectuées dans les conditions de répétabilité. L’erreur systématique est la moyenne qui résulterait d’un nombre infini de mesurages du même mesurande, effectuées dans les conditions de répétabilité, moins une valeur vraie du mesurande. La composante aléatoire peut se réduire en augmentant le nombre de mesurages. Les composantes systématiques peuvent être réduites en appliquant des corrections.

Le termed’incertitude remplace l’expression erreur de mesure [GUM 99]. D’après [GUM 99], dans le cas où est applicable une méthode dite de type A (méthode statistique, la méthode de type B est comparative), c’est un nombre caractérisant la dispersion d’une valeur mesurée autour de sa valeur moyenne. Deux estimateurs sont retenus : la moyenne ¯x et l’écart-type expérimental (Standard deviation) σ(x) donnés par l’expression _4.3 . L’écart-type expérimental de la moyenne se réduit avec_ le nombre d’échantillons n. σ(x) = v u u t 1 n n X i (xi− ¯x)2 !     4.3

Dans le cas du capteur FBG, l’échantillonnage peut admettre une double définition : d’une part, il peut être lié aux nombres de spectres (d’échantillons) considérés et d’autre part se définir comme un échantillonnage propre à la discrétisation du spectre : l’échantillonnage spectrale. C’est la seconde définition qui sera la plus utilisée dans ce chapitre.

Lajustesse est l’aptitude d’un instrument à donner des indications qui, en moyenne, correspondent à la valeur vraie ou à la valeur conventionnellement vraie de la grandeur mesurée (valeur qualitative). La fidélité est l’aptitude d’un instrument à donner la même indication pour une même valeur de la grandeur mesurée (valeur qualitative). Un instrument de mesure peut être fidèle sans être juste.

L’exactitude est la caractéristique qui combine les deux qualités précédentes (justesse et fidélité). Le termeprécision est encore très employé pour qualifier cette notion, mais le terme exactitude doit lui être préféré.

Leseuil de détection ou résolution est défini comme le plus grand changement du stimulus qui ne produit pas de changement détectable dans la réponse de l’instrument de mesure. En pratique, la résolution peut s’évaluer comme le niveau du signal qui sort du bruit de mesure (valeur qualitative).

Une fréquence d’acquisition exprimée en Hz est l’inverse du temps de réponse qu’il faut au système d’interrogation pour réaliser une mesure (ici l’acquisition d’un spectre). Pour évaluer la fréquence d’acquisition, il faut mesurer le temps de balayage du spectre. Dans le cas du système d’interrogation [Tunics/Rifocs] utilisé dans ce travail, pour chaque longueur d’onde, un temps d’environ 400 ms est nécessaire pour que le laser émette la valeur consigne. Par exemple, un spectre constitué de 100 valeurs sur une plage de longueur d’onde de 2 nm (soit un pas d’échantillonnage spectral de 20 pm) est obtenu en 40 secondes, la fréquence d’acquisition est donc de 0.025 Hz.

Enfin, une chaîne de mesure présente unesensibilité à l’environnement externe, principalement la température. Cette sensibilité se traduit par un bruit indésirable qui s’ajoute au signal. Le bruit thermique est la principale source de bruit des capteurs.

4.2. SYSTÈMES D’INTERROGATION ET INCERTITUDES ASSOCIÉES 4.2.2.2 Estimation des incertitudes associées au système d’interrogation

Lorsqu’un système admet un bon couple fidélité/justesse, cela traduit qu’une succession de mesu- rages répétés dans des conditions identiques fournit des résultats de mesure très proches, et que ces valeurs sont proches des valeurs vraies. Si les deux conditions sont réunies, le système de mesure admet une bonne exactitude. Nous allons proposer ici des méthodes génériques pour évaluer l’incertitude de fidélité et l’incertitude de justesse dans le cas du système accordable (Tunics/Rifocs).

Fidélité du système d’interrogation

La résolution annoncée par le fournisseur de la source accordable Tunics est de 1 pm et celle du photo- détecteur RIFOCS de 1 nW. Nous allons présenter une méthode simple pour quantifier l’incertitude sur la longueur et sur la puissance. Celle-ci est basée sur des mesurages répétés. Pour être dans les conditions de répétabilité, le FBG est placé dans un environnement stable (de l’eau avec de la glace à 0°C). Un nombre important de spectres sont acquis successivement. La figure 4.8 montre les acquisitions successives de 50 spectres sur une plage fixe de 1 nm avec un pas de 10 pm, soient 100 points par spectre.

Fig. 4.8 – Acquisition répétée de spectres FBG

Nous allons exploiter le spectre pour retrouver les incertitudes sur la longueur d’onde et sur la puis- sance. Pour une longueur d’onde donnée, on peut faire correspondre un histogramme de distribution statistique en puissance (figure 4.9).

Si nous reportons les écarts-type de cette distribution en puissance sur l’ensemble du spectre, nous obtenons un graphique (figure 4.10.a) qui représente les incertitudes en puissance. On admettra provisoirement dans cette section que l’incertitude est équivalente à l’écart-type. Nous l’appellerons δPapparent. δPapparent n’est pas constant mais varie avec la dérivée du spectre dP/dλ (figure 4.10.b).

Lorsque la dérivée est extrémale, δPapparentest maximum. Lorsque la dérivée est nulle, δPapparent est

petit. δPapparent provient uniquement de l’incertitude de l’appareil de mesure de puissance pour une

longueur d’onde où la dérivée dP/dλ est nulle. Nous la noterons δPapparent = δPreel si dP/dλ → 0.

Lorsque la dérivée est non nulle, δPapparent provient de la sommation des erreurs de l’appareil de

mesure de puissance avec la contribution de l’incertitude en longueur d’onde de la source accordable, soit : δPapparent= δPreel+ δP(δλ)     4.4 Ainsi, la dérivée (notée d) du spectre peut être déterminée approximativement de la manière

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Fig. 4.9 – Distribution pour une longueur d’onde choisie

(a) δPapparent (b) dP/dλ

Fig. 4.10 – δPapparent et dP/dλ

4.2. SYSTÈMES D’INTERROGATION ET INCERTITUDES ASSOCIÉES suivante : d = _dP dλ  '  δPapparent− δPreel δλ      4.5 A partir des termes de cette expression, il est possible d’extraire δλ,

δλ = δPapparent− δPreel d     4.6 L’expression précédente est importante. En effet, elle signifie que le niveau de discrétisation en puissance du spectre a forcément une influence sur l’estimation d’incertitudes en longueur d’onde de la source. Ainsi, si on résume, la procédure consiste à déterminer δPreelen calculant l’écart-type de la

puissance pour une zone où elle est minimum. Dans le cas présenté, on obtient δPreel= 1, 6823.10−9

Watt (c’est un minorant de l’incertitude). Puis on calcule pour chaque longueur d’onde du spectre δλ au moyen de l’expression 4.6, on obtient la figure 4.11.

Fig. 4.11 – Erreur en longueur d’onde (δλ)

Il est attendu une constante. C’est la raison pour laquelle nous calculons la médiane de δλ vue l’al- lure de la distribution qui vaut ici 4.9 pm. Ce terme est l’erreur de fidélité noté σf idélité. Le fournisseur

donne 1 pm en résolution (écart minimum entre deux raies monochromatiques), alors que l’incertitude sur la longueur d’onde que nous avons déterminée par cette méthode est plus grande que la résolution annoncée.

Justesse du système d’interrogation

La valeur de longueur d’onde mesurée par le système d’interrogation peut être différente de la valeur vraie. La source monochromatique envoie une raie pour une consigne donnée. Entre les deux, l’écart caractérise la justesse. Il serait nécessaire d’avoir un système de référence connu plus juste que celui que l’on veut tester. Or nous ne disposons pas de référence plus juste que le Tunics. A défaut de disposer d’un système-étalon pour quantifier la justesse du Tunics, nous allons admettre que le Tunics est un étalon de référence pouvant émettre des raies plus près de la valeur vraie que le spectromètre d’Advantest. Nous allons donc caractériser l’Advantest en se servant du Tunics comme référence. Une longueur d’onde monochromatique est envoyée par le Tunics, pour une consigne donnée pour les longueurs de 1500 à 1640 nm avec un intervalle de 20 nm. On admet que les consignes sont les

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valeurs vraies. Du côté du récepteur, le spectre de la raie monochromatique est reconstruit avec le Spectromètre OSA. On reporte les valeurs consignes et les valeurs mesurées dans le tableau 4.2.

λvraie(nm) (Tunics) λmesure (nm) (OSA Advantest) écart ∆λ = λvraie− λmesure(nm)

1500.000 1499.9386 0.0614 1520.000 1520.0496 -0.0496 1540.000 1540.0111 -0.0111 1560.000 1560.0418 -0.0418 1580.000 1580.0546 -0.0546 1600.000 1600.0179 -0.0179 1620.000 1620.0538 -0.0538 1640.000 1639.9364 0.0636

Tab. 4.2 – Justesse : écarts entre raies spectrales des systèmes d’interrogations Advantest et Tunics Pour tenter de quantifier la justesse du spectromètre, on évalue la moyenne quadratique entre les valeurs mesurées et les valeurs de consignes, soit ∆λ = λvraie− λmesure. La moyenne quadratique des

écarts (RMS =

q

1

n P

∆λ2) que l’on notera σjustesse vaut 47.8 pm. L’écart entre les consignes de la

source accordable et les valeurs mesurées est considérable.