4.4 Étalonnage du capteur et incertitudes associées
4.4.7 Étalonnages avec le banc de micro-traction
L’étalonnage en déformation de deux FBG réalisé au moyen du banc que nous venons de présenter est montré figure 4.35. Les droites sont très linéaires et peu dispersées. Nous retrouvons cette tendance dans les équations des droites et dans les incertitudes associées 4.45 . Les incertitudes associées σ Kε,
σε et σλ ont toutes des valeurs faibles.
(a) Droites d’étalonnages FBG1,FBG2 (b) Résidus associés (écart par rapport à la droite
d’étalonnage)
Fig. 4.35 – Étalonnages en déformation avec le banc métrologique
λ1(nm) = 1.190 [±0.003pm/µε] × ε [±2µε] + 1460.2791 [±0.0032nm] (R = 0.9999) λ2(nm) = 1.305 [±0.005pm/µε] × ε [±3µε] + 1581.5852 [±0.0049nm] (R = 0.9992) 4.45 4.4.7.2 Étalonnage en températures : non linéarité de la réponse
Deux étalonnages en températures sont représentés figure 4.36, la gamme de températures va de 22 à 240°C. Elles sont relevées à proximité du FBG au moyen d’un thermocouple placé en anneau autour de la fibre optique de manière à garantir l’intimité de la mesure thermique en toute situation. Les λB ne sont relevées que lorsque les températures sont stabilisées par palier.
λ1(nm) = 10.974 [±0.257pm/oC] × T [±4.4oC] + 1460.0027 [±0.0485nm] (R = 0.9984) λ2(nm) = 12.184 [±0.215pm/oC] × T [±3.3oC] + 1581.2502 [±0.04076nm] (R = 0.9991) 4.46 Nous observons sur les deux droites d’étalonnage une non-linéarité de la réponse. Cette non- linéarité a également un impact sur les équations et les incertitudes associées σKT, σT et σλ (équations
CHAPITRE 4. MÉTROLOGIE ET OPTIMISATION DE LA MESURE
(a) Droites d’étalonnages FBG1, FBG2 (b) Écart à la linéarité
Fig. 4.36 – Étalonnages en température avec le banc métrologique
très stable et instrumenté au cours de l’ensemble de l’étalonnage. L’étalonnage en température s’est fait par palier de températures stabilisées. La stabilisation est telle que l’écart-type en température au niveau de chaque palier est inférieur à 0.1°C. σT=4°C est donc grand car le modèle linéaire n’est
pas adapté.
L’origine de cet écart à la linéarité trouve son explication dès lors qu’on observe l’allure du nuage des résidus de l’ajustement des droites d’étalonnage (figure 4.37). En effet, dans le cas des étalonnages pour les deux FBG, ceux-ci suivent l’allure d’une parabole.
La réponse en température ne doit pas être ajustée par une droite mais par un polynôme d’ordre supérieur ou égal à 2. Ces résultats sont en accord avec ce qui a été observé récemment dans la littérature [Pal 04] et [Mandal 05]. En effet, les auteurs ont étudié la non-linéarité de la réponse en température des capteurs FBG. Ils affirment que l’ajustement sur des polynômes d’ordre 2 voire d’ordre 3 conduit à des écarts moins importants que l’ajustement sur une droite. L’écart à la linéarité est également une source d’incertitude. En effet, le résidu quadratique moyen (racine carré de la somme des résidus aux carrés) vaut 129 pm dans le cas d’un ajustement sur une droite et décroît lorsque nous augmentons le degré du polynôme (voir tableau 4.9). De même, l’incertitude-type résiduelle σλ
est de 48 pm pour un ajustement sur la droite linéaire mais décroît pour des ajustements sur des polynômes d’ordre supérieur. L’explication physique de ce phénomène se trouve dans la définition de
Ajust. Equations kresk(pm) σλ(pm)
Lineaire λ = 10, 97.10−3T + 1460, 0027 128 48 Poly2 λ = 9, 96.10−6T2+ 8, 31.10−3T + 1460, 1278 16 6 Poly3 λ = −2, 08.10−8T3+ 1, 82.10−5T2+ 7, 41.10−3T + 1460.1507 4 1
Tab. 4.9 – Comparaisons des ajustements sur l’étalonnage en température la sensibilité thermique qui est la sommation du coefficient opto-thermique ξ = 1n
dn dT
et du coefficient d’expansion thermique α = Λ1dΛdT. Ces deux termes sont décrits comme tous deux non-linéaires avec la température. Un modèle est proposé par Gosh [Ghosh 95] pour la description de la non-linéarité de ces deux coefficients physiques dans le cas des verres courants dans le domaine optique. De plus, d’après [Mandal 05], la sensibilité thermique est de l’ordre de 10,2 pm/°C à 20°C et de l’ordre de 13,16 pm/°C à 500°C. D’après eux, la sensibilité varie car les coefficients opto-thermiques et de dilatation thermique dépendent de la température.
Nous pouvons conclure cette section par trois points de synthèse : 124
4.4. ÉTALONNAGE DU CAPTEUR ET INCERTITUDES ASSOCIÉES
(a) Résidus ajustement linéaires FBG1 et FBG2 (b) Linéaire, Polynôme ordre 2 et 3 pour FBG1
Fig. 4.37 – Résidus en longueur d’onde des étalonnages en fonction de l’ordre d’ajustement 1. D’une part, l’incertitude liée à la non-linéarité de la réponse est très conséquente, de l’ordre de
4°C sur une gamme de 200°C et 50 pm en longueur d’onde.
2. La non-linéarité de la température n’a été mise en évidence que dans le cas ou nous avons utilisé le banc. Dans le cas des autres dispositifs, cette non-linéarité semble se noyer dans les aléas d’étalonnage.
3. La non-linéarité de la réponse en température est révélatrice que des termes d’ordres supérieurs ne sont pas négligeables. Ces termes ont été évoqués lors de la différenciation de la longueur d’onde en fonction des deux paramètres température et déformation.
4.4.7.3 Étalonnages simultanés : estimation des sensibilités croisées
On cherche à évaluer le terme croisé des sensibilités. Ce terme a été présenté dans le chapitre 2. Fréquemment, la différenciation au sens de Taylor de la longueur d’onde fait apparaître uniquement les sensibilités thermiques et mécaniques. Les termes d’ordres supérieurs et le terme croisé sont tout deux négligés dans la littérature hormis dans l’article de [Farahi 90] mais qui ne concerne pas les FBG. Le terme des sensibilités croisées est un terme supplémentaire qu’il faut évaluer expérimentalement pour voir s’il est ou non négligeable devant les autres termes. Il exprime la corrélation entre les deux coefficients. On rappelle la différenciation de Taylor donnée dans un chapitre 2,
∆λB
λB
= Kε∆ε + KT∆T + KTε∆ε∆T 4.47 Dans cette section, nous présentons une méthode pour évaluer la sensibilité KTε et estimer l’incer- titude engendrée par ce terme supplémentaire. La procédure est possible au moyen du banc que nous avons développé. En effet, il permet d’imposer simultanément température et déformation à la fibre. La sensibilité croisée s’exprime comme,
KTε= ∂ 2 λ ∂T∂ε = ∂ ∂T ∂λ ∂ε = ∂ ∂TKε = ∂ ∂εKT 4.48 La sensibilité croisée peut donc s’exprimer comme la variation de la sensibilité à la déformation avec une variation de température. Elle peut aussi s’exprimer comme une variation de la sensibilité à la température avec une variation de déformation.
La procédure consiste à réaliser des étalonnages en déformation pour différentes températures fixées. On obtient les étalonnages qui sont présentés figures 4.38 (la figure de droite est obtenue ici en reportant les valeurs de la figure de gauche).
CHAPITRE 4. MÉTROLOGIE ET OPTIMISATION DE LA MESURE
(a) Étalonnages en déformation pour T fixée (b) Étalonnages en température pour ε fixée
Fig. 4.38 – Étalonnages avec variation de T et ε simultanées
On évalue les sensibilités en déformation ainsi que les incertitudes associées à chaque droite d’éta- lonnage (à T fixée). De même, on peut évaluer les sensibilités en température pour déformations fixées. Nous obtenons le tableau 4.10.
Ce tableau permet par ailleurs de vérifier la répétabilité des étalonnages. En effet, les in- certitudes σKε, σε, σλ sont toutes du même ordre pour des étalonnages successifs. La répétabilité de
l’étalonnage en déformation peut être évaluée en calculant l’incertitude-type de chaque terme d’incer- titude. Ceux-ci sont de l’ordre de 1.10−3 pm/µε, 1.5 ε et 1.5pm
T (°C) Kε (pm/µε) σKε (pm/µε) σε (µε) λ0(pm) σλ(pm) 21.1 1.285 0.006 5 +1563.2951 7.4 22.9 1.280 0.005 5 +1563.3635 6.1 27.7 1.281 0.007 6 +1563.4216 8.4 35.5 1.276 0.008 7 +1563.4986 9.7 38.9 1.276 0.007 6 +1563.5446 8.8 43.5 1.279 0.006 5 +1563.5885 7.2 47.7 1.276 0.007 7 +1563.6430 9.5 54.4 1.267 0.004 3 +1563.7068 4.9 66.9 1.248 0.008 8 +1563.8685 10.0
Tab. 4.10 – Étalonnages en déformation et incertitudes associées, pour différentes températures λ (nm)= 12, 80.10−3 [±0,000005 nm/°C]× T [±4,773758°C] +1563,363536 [±0,006113 nm]. On peut représenter l’évolution de ces sensibilités (figure 4.39). Une tendance linéaire est donnée afin d’évaluer la sensibilité croisée. Le terme vaut dans les deux cas 6, 4.10−4pm/oC/µε. Ce terme doit être comparé aux sensibilités thermique et en déformation. Sur une plage de variation de 50°C, cela représente une variation de 6, 4.10−2pm/µε pour la sensibilité en déformation, soit une variation de 5 % pour une sensibilité initiale de 1, 20pm/µε. Sur une plage de variation en déformation de 1000 µε, la sensibilité thermique, si elle était de 11 pm/°C pour une fibre libre, varierait de 0, 6pm/°C soit environ 5 %. Ces variations ne sont pas négligeables. Dans le cas présenté, la sensibilité en déformation varie de 1,28 à 1,24 sur une plage d’environ 50°C, et la sensibilité en déformation diminue de 11,7 à 11 pm/°C pour une déformation de l’ordre de 1000 µε.
Nous pouvons conclure que l’application simultanée de la température et de la déformation né- cessite une prise en compte de la variation de chaque sensibilité en fonction des autres paramètres.
4.4. ÉTALONNAGE DU CAPTEUR ET INCERTITUDES ASSOCIÉES
Lorsque l’étendue des mesures est restreinte, nous pouvons admettre que chacune est constante. Lors- qu’un des paramètres est fixe, les approximations au premier ordre sans le terme de croisées tempé- rature/déformation sont admissibles. Allsop et al. [Allsop 02] estiment la sensibilité croisée pour les multiples ordres de diffraction des LPG à 8, 3.10−4 pm/°C/µε, environ 100 fois plus faible que celle que nous avons trouvée.
(a) Kεen fonction de T (b) KTen fonction de ε
Fig. 4.39 – Évolution des sensibilités en fonction du paramètre tiers 4.4.7.4 Loi de propagation prenant en compte le terme croisé
Il devient alors possible de ré-exprimer l’expression de la loi de propagation des incertitudes que nous avons donnée dans la section 4.4.3 pour qu’elle prenne en compte la contribution de l’incertitude sur la longueur d’onde du terme croisé.
σ2λ = K2T.σ2T+ K2ε.σ 2 ε +
contrib. sensibilité croisée
z }| {
T2.σ2KT+ ε2.σKε2 + θ(KTε) 4.49 On cherche à évaluer le terme θ(KTε), il n’est pas calculable directement. Mais la sensibilité croisée
équivaut à une modification des sensibilités thermiques et à la déformation prises individuellement. Cette modification peut alors s’exprimer comme une ré-écriture des sensibilités,
K0T= KT+ KεT.ε 4.50 et, K0ε= Kε+ KεT.T 4.51 On substitue les expressions KTet Kε par ces nouveaux termes K0Tet K0εdans la loi de propagation
des incertitudes. σ2λ = [KT+ KεT.ε] 2 .σ2T+ [Kε+ KεT.T] 2 .σ2ε + T2.σ2KT+ ε2.σ2Kε 4.52 En développant cette expression, on peut identifier ainsi θ(KTε),
θ(KTε) = [ε2.KεT 2+ 2.K εT.KT.ε].σ 2 T+ [T2.KεT 2+ 2.K εT.Kε.T].σ2ε 4.53 L’incertitude associée à la sensibilité croisée se calcule alors en évaluant ce terme qui vaut environ 1,6 pm pour T=100°C et une déformation de 1000 µε avec KTε=6, 4.10−4 pm/µε/°C. On peut le
CHAPITRE 4. MÉTROLOGIE ET OPTIMISATION DE LA MESURE
sont de l’ordre de 4 pm. Lorsque l’on applique la loi de propagation corrigée, l’incertitude en longueur d’onde pour des mesures simultanées en température et déformation est de l’ordre de 8 pm dont une contribution de l’ordre de 1,6 pm due à la sensibilité croisée, et environ 6 pm qui provient des contributions des incertitudes associées aux étalonnages pris individuellement.