Bruit et erreurs associées

Lorsque le système d’interrogation admet une mauvaise résolution ou lorsque le FBG est de moindre qualité ou encore lorsque un bruit thermique parasite le signal, les spectres sont bruités. Le bruit est souvent défini par le rapport signal sur bruit qui est le rapport entre la puissance moyenne du signal et celle du bruit. La puissance moyenne du bruit peut être calculée en estimant l’écart-type des amplitudes des fluctuations du bruit. Il peut être donné en dB comme dans l’équation_4.17 , ou, en ratio linéaire_ comme nous l’avons définit en _4.18 , ce dernier sera plus commode pour les bruitages numériques._

R(S/N)_Log= 10 log _P Signal P_Bruit  = 10 log _P Signal σBruit      4.17 R(N/S)Lin= PBruit PSignal = σBruit PSignal     4.18

Deux spectres FBG présentant deux niveaux de bruit sont donnés figure 4.24, ils ont été acquis par l’OSA Advantest. Ils correspondent chacun à des FBG de qualités significativement différentes. Le spectre de gauche présente peu de bruit alors le spectre de droite est noyé dans le bruit. Les spectres correspondent à deux gravures de FBG : le premier spectre a été gravé suffisamment longtemps pour admettre une réflectivité de l’ordre de 90 % alors que le second spectre FBG a été gravé avec une réfléctivité inférieure à 20%.

4.3. TRAITEMENT DE L’INFORMATION ET INCERTITUDES ASSOCIÉES

(a) R(S/N)Log=10 dB (b) R(S/N)Log=1.8 dB

Fig. 4.24 – Acquisition avec Advantest de deux spectres avec niveau de bruit différents

Afin de rendre compte de l’incertitude sur la mesure, nous avons acquis 20 spectres pour chacun des FBG. Ces deux familles de spectres ont été soumis à la même procédure d’ajustement (sur une fonction gaussienne) pour extraire les λB. L’écart-type pour le premier spectre vaut environ 1.7 pm

contre 17 pm pour le second FBG.

(a) R(S/N)Log=10 dB (b) R(S/N)Log=1.8 dB

Fig. 4.25 – Dispersions des valeurs de λB sur deux types de spectres

L’objectif est maintenant de quantifier l’incertitude de λB en fonction du niveau de bruit dans

lequel est noyé le spectre du FBG. Pour cela, nous allons nous appuyer sur un spectre numérique cette fois dépourvu de bruit que nous allons progressivement bruiter par un algorithme simple, et soumettre ces spectres bruités aux procédures de recherche de λB. Le bruit appliqué est un bruit gaussien. Il peut

être caractérisé par deux paramètres, la valeur moyenne et l’écart-type. On imposera que la moyenne du bruit est nulle. Le rapport entre l’écart-type du bruit et le signal quantifie le niveau de bruit. Ce ratio R(N/S)Lin donné par

 

 

4.18 variera entre 0 et 1. La figure 4.26 montre les spectres FBG progressivement bruités. Pour des valeurs de R(N/S)_Lin proches de 0, le signal est faiblement bruité et pour celles qui sont proches de 1, le signal est noyé dans le bruit car il est de même amplitude, nous ne distinguons plus le spectre.

CHAPITRE 4. MÉTROLOGIE ET OPTIMISATION DE LA MESURE

(a) R(N/S)Lin=0.02/0.537 (b) R(N/S)Lin=0.15/0.537 (c) R(N/S)Lin=0.5/0.537

Fig. 4.26 – Bruitage progressif du spectre

Les valeurs de λBextraites par l’ensemble des méthodes en fonction du niveau de bruit sont données

par les courbes de la figure 4.27. Lorsque les courbes sont comparées entre elles sur le même graphique, les amplitudes de dispersion sont de niveaux tellement différents que certaines apparaissent comme linéaires. L’évolution de la méthode “recherche du maxi” est la plus dispersée. Les ajustements sur polynômes et sur les modèles analytiques présentent une enveloppe d’une dizaine de fois plus réduite. Puis la méthode du barycentre présente une dispersion plus réduite que les méthodes précédemment citées. Et enfin, les évolutions des ajustements sur les modèles sont très peu dispersées mais les allures sont similaires c’est-à-dire de plus en plus dispersées avec le niveau de bruit. La figure 4.27.b donne l’évolution pour ces trois fonctions d’ajustements.

(a) Tous modèles (b) 3 fonctions

Fig. 4.27 – Influence du bruit gaussien sur l’extraction de λB en fonction des méthodes

L’incertitude-type sur λB en fonction du niveau de bruit est reportée sur la figure 4.28 pour

la méthode d’ajustement par une gaussienne. Cette incertitude-type est calculée avec les longueurs d’ondes sur la plage de bruit de R(N/S)_Lin de 0 à 1, mais par morceau de 0,10. Chaque sous-plage sur laquelle est calculé l’incertitude contient 100 spectres bruités. La figure rend compte de l’évolution croissante quasiment linéaire de l’incertitude type avec le niveau de bruit. L’équation de cette évolution est donnée par,

σ(λB) = 26 × Pbruit P_signal(pm)     4.19 Cette expression linéaire est applicable dans un cas pratique. Nous allons l’illustrer au moyen des spectres donnés en début de cette section figure 4.24. Dans le cas de la figure de gauche, le ratio vaut environ 0.10, soit σ(λB) vaut environ 2.6 pm. Et dans le second cas, le ratio est environ de 2/3, donc

σ(λB) vaut environ 17 pm. Cela est en cohérence avec les incertitudes types calculées à partir des

mesurages successifs (1.7 et 17 pm sur la figure 4.25). 110

4.3. TRAITEMENT DE L’INFORMATION ET INCERTITUDES ASSOCIÉES

Fig. 4.28 – Écart-type de λB en fonction du niveau du bruit R(N/S)Lin

Afin de mieux comparer les incertitudes associées à chacune des méthodes, nous avons reporté sur le tableau 4.7 les grandeurs les plus significatives des dispersions à la manière de ce qui a été fait dans les précédentes sections. Dans ce tableau, le ratio R(N/S)Linvarie de 0 à 0.10. Cette plage corresponds

aux niveaux de bruit les plus réalistes. D’après le tableau 4.7, les incertitudes types sont réduites de Méthodes _µ(λB)(nm) δsyst(pm) δmax (pm) σ(λB)(pm)

Référence 1556.7370 0 0 0 Maxi 1556.7348 2.1 123.0 26.8 Barycentre 1556.7452 8.2 18.4 2.6 Polyfit3 1556.7575 20.5 19.5 3.0 Polyfit2 1556.7406 3.6 7.9 1.1 Gaussien 1556.7442 7.2 2.9 0.5 Lorentz 1556.7438 6.8 3.4 0.6 sinC 1556.7444 7.5 2.7 0.5 Théorique 1556.7622 25.3 59.5 14.2

Tab. 4.7 – Erreurs sur l’extraction de λB dues au bruit (R(N/S)Lin =0 à 0.1, 100 échantillons)

30 à environ 3 grâce aux ajustements sur les polynômes ou avec la méthode du barycentre et sont plus faibles pour les méthodes d’ajustement sur les trois modèles. Les incertitudes associées au bruit sont dans ce cas de l’ordre de 0.5 pm pour un ratio R(N/S)Lin bruit/signal inférieur à 0.10. Pour un autre

ratio, on peut utiliser l’expression_4.19 mais uniquement si on utilise la méthode d’ajustement à une_ courbe gaussienne.