Les Méthodes de Frontières Paramétriques

On dénombre plusieurs approches permettant le calcul des frontières paramétriques mais les plus connues sont la DFA (Distribution Free Approach), la TFA (Thick Frontier Approach) et la SFA (Stochastic Frontier Approach), approche des frontières stochastiques ou parfois appelée approche des frontières économétriques.

La Distribution Free Approach (DFA)

Avec la DFA, une forme fonctionnelle est spécifiée pour la fonction de coûts mais il n’y a pas de spécifications précises pour les distributions des erreurs aléatoires et des observa- tions inefficientes. A la place, on pose l’hypothèse selon laquelle l’efficience de chacune des banques est stable dans le temps et que les erreurs aléatoires tendent vers zéro en moyenne. Les observations non efficientes peuvent suivre n’importe quelle distribution et pour une banque donnée, celle-ci est calculée comme étant la différence entre ses résidus moyens et les résidus moyens de la frontière. Le problème avec l’approche DFA est lié au fait qu’elle ne prend pas en compte une variation de l’efficience due à un changement technologique ou à une réforme réglementaire.

La Thick Frontier Approach (TFA)

L’approche TFA divise les banques d’un échantillon donné en quatre quartiles en fonc- tion du coût total par unité d’actifs. Par hypothèse, la fonction de coût estimée dans le quartile de coût moyen le plus faible est considérée comme étant la frontière de coût de référence. Les banques qui sont dans le quartile de coût moyen le plus faible sont supposées être les plus efficientes, et le terme d’erreur de cette fonction ainsi estimée est supposé

représenter les erreurs de mesure aléatoires au lieu de différences en termes d’efficience. Les fonctions de coût estimées pour les banques dans les quartiles de coûts moyens les plus élevés représentent les fonctions de coût pour les banques supposées être inférieures à l’efficience moyenne. Les différences entre les fonctions de coût estimées pour les banques dans le quartile de coût moyen le plus faible et pour les banques se situant dans le quartile de coût moyen le plus élevé sont supposées refléter uniquement les différences d’inefficience. Mais comme Berger et Humphrey (1991) l’ont souligné, l’avantage de l’approche TFA, en plus d’être facile à mettre en place, est qu’elle est plus flexible eu égard aux propriétés statistiques des mesures d’inefficience que ne le sont les autres approches. Toutefois, ses hypothèses au sujet du terme d’erreur sont sensibles à la division des banques en quar- tiles ou en quantiles. En outre, c’est une source potentielle de problèmes économétriques, dans la mesure où les banques sont rangées à l’avance en utilisant le coût moyen qui est essentiellement une variable dépendante.

La Stochastic Frontier Approach (SFA)

L’approche SFA quant à elle spécifie une forme fonctionnelle et stipule que les coûts observés d’une banque peuvent dévier de la frontière de coût théorique définie, à cause de fluctuations aléatoires ou/et à cause d’une inefficience. Contrairement aux approches non paramétriques, la SFA permet la prise en compte d’erreurs aléatoires. Ainsi, on suppose que les observations inefficientes suivent une distribution asymétrique, habituellement une semi normale, alors que les erreurs suivent une distribution symétrique, habituellement une loi normale standard.

L’idée qui sous-tend ces hypothèses est que les observations non efficientes doivent avoir une distribution tronquée puisqu’elles ne peuvent être négatives. On pose également l’hypothèse selon laquelle les observations non efficientes de même que les erreurs sont orthogonales aux inputs, aux outputs et aux variables environnementales. En d’autres termes il y a indépendance entre ces variables et les termes d’erreurs. Cependant, il est difficile de faire la distinction entre les erreurs aléatoires et les observations non efficientes.

Les caractéristiques principales du modèle à erreurs composées8

sont illustrées dans la figure 2. A titre d’exemple, l’observation C1 représente une banque dont l’inefficience (u1)

est compensée par les effets d’un choc exogène favorable (v1). L’observation du point C1au-

delà de la frontière efficiente s’explique par l’importance de la distance B1C1 (choc exogène

favorable) par rapport à A1B1 (inefficience). Par contre, l’observation C2 représente une

banque dont l’inefficience (u2) est aggravée par un choc exogène défavorable (v2) .

Fig. 2 – Frontière stochastique, Inefficience et Erreur Aléatoire

Jondrow, Materov, Lovell et Schmidt (1982) ont montré que l’espérance conditionnelle du terme d’erreur pouvait être calculée. Pour ce faire, ils supposent pour un échantillon de firmes i, (i = 1, . . . , n) la frontière de coûts efficiente suivante :

CTi= f (yi, pi) + ei avec ei = ui+ vi

Où CT représente le coût total, yi la quantité d’outputs, pi le prix des inputs, ui la

mesure de l’inefficience et vi l’erreur aléatoire. Par hypothèse, les vi sont distribués indé-

pendamment selon la loi normale et les ui sont définies positivement avec une distribution

asymétrique et indépendante de celle de vi. L’hypothèse la plus courante dans la littéra-

ture consiste à dire que les ui suivent une distribution semi-normale (valeur absolue d’une

distribution normale (µ, σ2

µ) où la moyenne µ peut être différente de zéro). Dans ce cas, la

lnL = −N 2 ln(σ2)−(N2)ln(2Π)−2σ12 Pn 1(ei−µ)2+Pn1 ln[φ(−µσλ− eiλ σ )]−Nln[Φ(−µσ ) √ λ−2_{+ 1}

où ei = CTi− f(yi, pi) et Φ(.) représente la fonction de répartition de la distribution

normale N(0, 1) des erreurs aléatoires et φ sa fonction de densité.

σ2= (σ_u2+ σ2_v) et λ = σu/σv

Jondrow, Materov, Lovell et Schmidt (1982) ont montré que l’espérance conditionnelle du terme d’inefficience ui pouvait être calculé pour chaque observation. On aura donc l’es-

pérance conditionnelle égale à :

E(ui/ei) = [_1+λσλ2][(Φe_σiλ)/φ(ei_σλ) +ei_σλ]

où φ représente la fonction de densité d’une distribution normale (0,1) et Φ sa fonction de répartition. Les scores d’efficiences techniques (conditionels) sont donnés par :

T Ei= e−E[ui/ei]

Peu de temps après, une spécification du modèle de frontière sur données de panel a été développée pour mieux prendre en compte les problèmes d’hétérogénéité individuelle.

0.3.5 L’Estimation de l’Efficience sur Données de Panel