Généralités sur le transfert de chaleur dans les machines
1.4 Méthode de modélisation thermique de la ma- ma-chine Synchrelma-chine Synchrel
1.4.1 Méthodes à constantes localisées (CL)
Cette partie présente l'application de la méthode à CL sur un exemple simple où l'on supposera que successivement le ux thermique est unidimensionnel, puis, tridimensionnel. Trois cas particuliers vont être abordés l'un après l'autre : le premier considère le corps sans source de chaleur interne, en régime permanent et avec un ux unidimensionnel. Dans le deuxième cas, le ux est unidimensionnel
mais une génération de chaleur interne est ajoutée, en régime transitoire. Enn, le dernier cas considère l'étude du modèle tridimensionnel en régime transitoire avec une source de chaleur interne.
Cet exemple, tel qu'il est illustré par la g. 1.19, correspond à un mur homogène (k constant), d'épaisseurL et dont les surfacesS1 etS2 sont de même aire,S. Les surfaces verticales du mur sont considérées comme isothermes :T(0) (à gauche) et T(L) (à droite). Les autres surfaces, qui limitent le mur, sont considérées adiaba-tiques.
Figure 1.19 Analyse thermique d'un mur séparant deux régions.
La géométrie est découpée en deux cellules élémentaires,Ω1etΩ2. Ce découpage crée de nouvelles surfaces numérotées (g. 1.20).
Figure 1.20 Maillage du mur.
Modèle unidimensionnel sans source de chaleur en régime permanent Sans source interne de chaleur (φ3 = 0) et dans le cas du régime permanent (φ1 = 0), l'éq. 1.25 appliquée sur l'exemple courant peut s'écrire comme,
div (kgradT) = 0. (1.27) Étant donné les conditions du problème (surfaces horizontales adiabatiques et températures imposées aux surfaces verticales externes, T(0) et T(L)), l'éq. 1.27
peut être considérée unidimensionnelle selon x, et doit être vériée pour chaque cellule,
∂
∂x
k∂T
∂x
= 0. (1.28)
Cette équation a une solution de la forme,
T(x) = Ax+B, (1.29)
tels queAetB sont des constantes à déterminer à partir des conditions aux limites du domaine. Nous avons T(0) =T1,T(L/2) =T3 et T(L) = T6, d'où, la variation spatiale de la température pour chaque cellule,
TΩ1(x) = (T3−T1) x
L/2+T1, (1.30)
TΩ2(x) = (T6−T3)x−(L/2)
L/2 +T3. (1.31)
Le ux thermique (ux de chaleur), exprimé en Watt, dénit la quantité de chaleur qui traverse la surface S par unité de temps. D'après cette dénition et en utilisant les éqs. (1.23) et (1.29) pour chaque cellule, il est possible d'écrire le ux de chaleur de chaque cellule comme suit,
φΩ1 = 2kS
L (T3−T1), [W] (1.32)
φΩ2 = 2kS
L (T6−T3). (1.33)
Le stockage de chaleur n'est pas pris en compte ici ; ceci implique que le ux thermique sera le même dans les deux cellulesφΩ1 =φΩ2 =φ. Nous pouvons dénir des résistances thermiques équivalentes à partir du rapport entre la diérence de température (le potentiel) et le ux thermique (le courant),
R1 = T3−T1 φΩ1 = L
2kS, [K/W] (1.34)
R2 = T6 −T3 φΩ2
= L
2kS. (1.35)
En l'absence de sources de chaleur à l'intérieur du mur, la température moyenne des cellulesTΩ1,TΩ2 peut être calculée en insérant de nouvelles résistances, comme représenté à la g. 1.21 ; dans ce cas,
R1,1 =R1,2 =R2,1 =R2,2 = L
4kS. (1.36)
Figure 1.21 Circuit thermique équivalent du mur (régime permanent).
Le bilan de ux sur chaque cellule aboutit aux équations suivantes, T1−TΩ1
avec une équation supplémentaire autour de la surface entre les cellules, TΩ1 −T3
Modèle unidimensionnel avec source de chaleur en régime transitoire Le mur peut être le siège d'une production de chaleur interne(φ3 6= 0). Dans ce cas, l'établissement de la solution générale de l'équation de chaleur pour la cellule Ω1 se fait en deux étapes en considérant successivement :
• la répartition de température créée par des températures imposées sur les deux surfaces externes du mur (T1 etT6 ) ; ce qui permet d'obtenir les résul-tats du modèle unidimensionnel sans source de chaleur (éq. 1.30) ;
• la répartition de la température créée par la présence d'une source interne (φ3 6= 0) (les températures T1 etT6 sont annulées) (éq. 1.41).
Selon le principe du théorème de superposition, les répartitions de température obtenues pour chacun de ces deux cas peuvent s'ajouter an de donner la réparti-tion de la température au sein d'un mur avec une source de chaleur interne. Donc
la solution générale de l'équation de chaleur est de la forme 1.42, À partir de cette distribution de température, une nouvelle température moyenne peut être calculée, sur le volume Ω1,
Cette température moyenne peut être exprimée en fonction du ux thermique généré par la source et une résistance équivalente Req,
TΩ1 =φReq = (pvV) L/2
12kS. (1.44)
En plaçant deux nouveaux composants (une source d'énergie et une troisième résistance électrique) dans le circuit équivalent comme montré par la g. 1.22, la température de ce circuit équivalent est égale à,
TΩ1 =φ Selon la dénition deR1,1 etR1,2, la résistanceR1,3 systématiquement négative est dénie par,
R1,3 =−L/2
6kS. (1.47)
Le théorème de superposition permet de déduire le modèle nal à trois résis-tances du transfert de la chaleur unidimensionnel dans le mur considéré (voir g.
1.22).
Figure 1.22 Modèle à trois résistances.
Le régime transitoire est pris en compte au travers d'une capacité thermique associée à chaque n÷ud de température moyenne du réseau thermique. La capacité thermique dépend des diérents paramètres géométriques et thermophysiques du matériau. Elle est calculée pour chaque celluleOmegan comme suit,
Cth=mncpn =ρnVncpn, (1.48) oùmn est la masse,Vn est le volume de la cellule Ωn et cpn sa capacité thermique massique.ρn est la masse volumique de la cellule Omegan
Modèle tridimensionnel avec source de chaleur en régime transitoire Les dénitions des diérents composants (résistances et capacités thermiques) permettent de décrire le comportement thermique tridimensionnel en régime tran-sitoire du mur décrit par la g. 1.23.
Figure 1.23 Maillage du mur en 3D.
Dans le réseau thermique équivalent, les sources de ux de chaleur et de tempé-ratures sont représentées par des sources de courant et de tension, respectivement.
Pour les cellules élémentaires Ω1 et Ω2, 13 n÷uds sont associés. En appliquant l'équation de chaleur (éq. 1.25) sur chaque cellule, la représentation matricielle du système peut être écrite sous la forme suivante [Andersson 13],
CaT˙ =GT+φ, (1.49)
Ca est la matrice diagonale contenant les capacités thermiques à chaque n÷ud de
température moyenne,
La matrice G représente les conductances thermiques (l'inverse des résistances thermiques) ; elle se met sous la forme suivante,
G=
Ri,j sont les résistances thermiques entre deux n÷uds liés directement. Dans le cas où il n'y a pas de résistance thermique liant directement deux n÷uds, alors, Ri,j =∞: c'est-à-dire que la conductance thermique est nulle.
Le vecteur température est déni par 1.52. Il est construit à partir des condi-tions aux limites et des températures inconnues. Dans le cas du mur, en supposant qu'une source de chaleur est injectée dans chaque cellule au n÷ud de température moyenne, le vecteur des pertes injectées est déni par 1.53.
T=
Le vecteur des pertes est identiquement nul, s'il n'y a pas de source de chaleur à l'intérieur des volumes.
Étant donné que la géométrie des machines électriques peut être assimilée à des cylindres creux avec ou sans sources de chaleur internes, les expressions des
résistances thermiques pour des géométries de révolution doivent être établies et utilisées. Pour cela, on procède de façon similaire à ce qui a été fait précédemment.
Dans la direction radiale et sans source de chaleur interne, un modèle à deux résistances R1r et R2r est obtenu. Dans un deuxième temps, la présence d'une source fait intervenir une troisième résistance R3r (éq. 1.54). Le même raisonne-ment est suivi pour déterminer les résistances thermiques dans la direction axiale (éq. 1.55). α est l'ouverture angulaire de la section cylindrique et r1 etr2 les rayons externe et interne de la section cylindrique, respectivement (α = 2π pour un cylindre complet).
An que la distribution des pertes soit uniforme dans la cellule, un modèle en T dans les directions axiale et radiale peut être proposé (g. 1.24) [Mellor 91]. La capacité et la source sont placées au point représentant la température moyenne Tm du volume.
0 z
r
Figure 1.24 Modèle thermique d'un cylindre avec source de chaleur interne dans les direc-tions axiale et radiale.
Compte tenu du fait que la valeur absolue de la résistance R3x est très faible, cette troisième résistance ne sera pas prise en compte lors de la construction du modèle thermique détaillé. Cela aura pour conséquence de surestimer les tempé-ratures évaluées par le modèle.