convection naturelle externe autour d'un cylindre horizontal
3.1 Étude bibliographique
3.1.2 Études numériques
Plusieurs études numériques [Kuehn 80, Saitoh 93, Özgür 09, Özgür 11] ont concerné la convection naturelle autour des formes cylindriques de diérentes tailles. Étant donné que les eets de courbure et la diérence de pression à travers la couche limite pour un nombre de Rayleigh Ra> 105 sont négligeables, la plu-part de ces études ont adopté l'hypothèse de la couche limite et ont résolu, dans ce cadre, les équations qui la décrivent [Kuehn 80, Yamamoto 04].
Selon Kuehn [Kuehn 80], la théorie de la couche limite ne peut pas décrire convenablement le transfert thermique convectif pour une gamme faible ou moyenne du nombre de Rayleigh (régime laminaire), à cause de l'importance des eets de courbure et la non validité des hypothèses de la couche limite dans la région de la plume thermique.
Un autre facteur de dispersion des résultats expérimentaux est le choix des dimensions de l'enceinte ; l'interaction entre la plume thermique et le plafond de la cabine où le cylindre est placé peut agir sur le coecient d'échange autour du cylindre. Ce problème nécessite une bonne description de la plume thermique lors des études numériques eectuées an d'étudier ce phénomène convectif dans un domaine fermé. Pour cela, la modélisation numérique nécessite une stratégie de maillage adéquate, en particulier, dans le cas où il y une interaction importante entre la plume thermique et l'enceinte.
La g. 3.6 illustre deux exemples de stratégie de maillage pour deux dié-rents cas. Le premier cas (g. 3.6a) correspond à l'étude numérique réalisée par Mabrouk [Mabrouk 10] de la convection naturelle autour d'une plaque horizontale chauée dans une cabine de test fermée. Le maillage est hexaédrique et il est rané uniformément le long de la plume. Les résultats obtenus donnent des isothermes numériques identiques aux isothermes expérimentales. Le deuxième maillage (g.
3.6b) est réalisé pour l'étude de la convection naturelle autour d'un cylindre tel que la plume n'interagit pas avec l'enceinte [Özgür 11].
Il est clair dans les deux cas que le maillage est plus rané dans la zone de la
plume thermique. Selon les dimensions de l'enceinte et la hauteur de la plume par rapport au corps chaué, parfois il n'est pas nécessaire de raner jusqu'au plafond de l'enceinte. Donc, il ne sut pas de raner le maillage autour du corps chaué mais il faut s'appliquer à réaliser un maillage adéquat tout au long de la plume thermique, ce qui peut aider à obtenir une bonne approximation des résultats.
(a) (b)
Figure 3.6 Méthodes de maillage d'un modèle 2D : maillage quadrilatère à gauche et maillage triangulaire à droite.
Atayilmaz a utilisé deux types de maillage : un maillage tétraédrique [Özgür 09]
et un autre hexaédrique [Özgür 11] avec une ination à partir de la surface du cylindre à chaque fois. De plus, le maillage est rané et uniforme dans la zone occupée par la plume thermique. Malgré que le maillage hexaédrique lors de l'étude [Özgür 09] a donné des bons résultats, l'auteur l'a changé en tétraédrique lors de sa deuxième étude [Özgür 11]. L'étude a montré l'applicabilité de deux types de maillage mais avec une erreur plus importante pour le maillage tétraédrique.
Saitoh [Saitoh 93] a présenté une solution numérique basée sur l'approche des diérences nies pour résoudre les équations de Navier-Stokes décrivant la convection naturelle autour d'un cylindre horizontal isotherme ( 103 < Ra <105, P r= 0,7). Les auteurs ont comparé la variation du nombre de Nusselt local avec des résultats numériques de la littérature en particulier ceux de Kuehn [Kuehn 80].
Les auteurs ont imposé des conditions aux limites diérentes sur la surface repré-sentant le plafond de l'enceinte. Les conditions aux limites imposées ont été choisies de façon à modéliser la convection naturelle dans une enceinte ouverte et fermée.
Dans le premier cas, ils ont eu une dispersion signicative par rapport à Kuehn [Kuehn 80] malgré le même type de conditions aux limites. Cette dispersion est moins importante dans le second cas (en utilisant des conditions aux limites dié-rentes) (g. 3.7).
Figure 3.7 Comparaison du nombre de Nusselt pour Ra= 104 [Saitoh 93]
Le phénomène de convection naturelle est très sensible à son environnement, ce qui est montré numériquement par Saitoh [Saitoh 93] en changeant les conditions aux limites (g. 3.7) et conrmé par Cegini [Cesini 99] et Kumar [Kumar 14] en variant les dimensions de l'enceinte.
Yamamoto et al. [Yamamoto 04] ont réalisé une étude numérique sur la convec-tion naturelle autour d'un cylindre horizontal. L'étude a été couplée avec le trans-fert thermique par conduction grâce à l'utilisation de plusieurs cylindres creux de conductivités thermiques diérentes k= 5κ,k = 10κ et k= 20κtelle que κ est la conductivité thermique de l'air sec.
Les auteurs ont validé les données numériques à l'aide des données expérimen-tales de Kuehn [Kuehn 80] qui considère la compressibilité de l'air. Selon cette étude, il a été montré que la conductivité thermique joue un rôle clé lors du trans-fert thermique de l'intérieur vers l'extérieur du cylindre creux contenant de l'air chaud. Elle peut agir considérablement sur la température du cylindre ainsi que sur le passage des calories vers l'extérieur.
La g. 3.8 présente la distribution de la température adimensionnelle Φ = (T −Tamb)/(Ts −Tamb) en fonction de la distance adimensionnelle Y∗ lorsqu'on s'éloigne dans une direction normale à la surface du cylindre. D'après cette gure, une conductivité thermique plus faible impose une température faible sur la surface du cylindre.
180°
90°
0°
[Kuehn 1980]
(a) Pourθ= 90◦.
[Kuehn 1980]
(b) Pourθ= 180◦.
Figure 3.8 Distribution de la température à θ = 90◦ (3.8a) et à θ = 180◦ (3.8b) pour diérentes conductivités thermiques.
Le ux thermique dégagé par la plume thermique au-dessus du cylindre (θ = 180◦) est plus important et la température reste légèrement plus élevée au niveau de la région supérieure du cylindre (θ = 180◦).
Il faut attirer l'attention sur le fait que les résultats numériques de Kuehn et al.
[Kuehn 80], qui ne prennent pas en considération la compressibilité du uide, sont validés par rapport à leurs données expérimentales. D'autre part, les même données expérimentales sont utilisées pour valider les résultats numériques de Yamamoto et al. [Yamamoto 04]. Nous pouvons alors déduire que la prise en compte de la
compressibilité n'est pas signicative et ne fait qu'alourdir le calcul.
À l'aide d'une étude numérique (MFN), Atayilmaz et al. [Özgür 09] ont proposé l'équation,
Nu= 0,954Ra0,168, (3.11)
pour calculer le nombre de Nusselt en fonction du nombre de Rayleigh en régime laminaire (7,4×101 <Ra<3,4×103 etP r= 0,7).
Une première comparaison entre les mesures réalisées et les résultats MFN a donné une diérence dans la plage de 20%; elle est présentée par la g. 3.9.
Figure 3.9 Comparaison des résultats numériques et expérimentaux de Atayilmaz [Özgür 09].
Cette équation est comparée aux relations proposées par Morgan [Morgan 75], Churchill et Chu [Churchill 75] et Fand [Fand 83]. La comparaison est donnée par la g. 3.10.
Figure 3.10 Résultats expérimentaux de Atayilmaz [Özgür 09] avec les résultats d'autres études [Morgan 75, Churchill 75]
L'intervalle de déviation entre les diérents résultats est de ±20%. Cette dé-viation est maximale par rapport aux résultats de Churchill et Chu [Churchill 75].
Les auteurs ont expliqué cette diérence par le fait que l'expression de Churchill [Churchill 75] est valable pour un intervalle très large du nombre de Rayleigh (la-minaire et turbulent).
Une comparaison similaire a été eectuée par Logie et al. [Logie 11] pour un large intervalle du nombre Ra≤108 et en appliquant un modèle de turbulence de second degré (modèle k−). La conclusion est la même par rapport aux résultats de Churchill [Churchill 75].
Pour le cas d'un cylindre, la méthode MFN est généralement utilisée en 2D puisque la longueur du cylindre est très grande par rapport au diamètre. Ceci n'est pas toujours le cas des machines électriques ; impliquant que le modèle 2D ne peut pas être utilisé.
Les modèles MFN peuvent être résolus par plusieurs approches numériques diérentes telles que des diérences nies [Kuehn 80, Saitoh 93] et des volumes nis [Cesini 99, Özgür 09, Özgür 11]. Ces approches sont présentées dans la sous-section suivante, en se concentrant davantage sur l'approche qui sera utilisée dans la suite de cette étude.
3.2 Discrétisation spatiale des équations de Navier-Stokes
La solution analytique des équations de Navier-Stokes ne peut pas être calculée dans tous les cas. Si cette solution existe pour des cas particuliers, c'est grâce au recours à des hypothèses simplicatrices trop restrictives pour pouvoir être appliquées de façon satisfaisante par rapport à la réalité. En particulier, si l'étude se place dans le régime turbulent, ce qui entraîne l'apparition des nouvelles inconnues et donc l'utilisation des approches de fermeture (annexe C), il est primordial d'avoir recours à des méthodes numériques. Ces méthodes numériques servent à remplacer le système continu par un système discret équivalent.
Les codes informatiques, utilisés pour réaliser une telle tâche, regroupés sous le nom de codes Mécanique des Fluides Numérique (MFN), permettent la dis-crétisation des équations aux dérivées partielles en exprimant ces équations sous forme d'un système algébrique qui peut être résolu en utilisant des techniques numériques.
Le tableau 3.3 présente une liste non exhaustive des diérents codes de calcul MFN et les approches numériques utilisées,
Table 3.3 Quelques codes CFD.
Nom Origine Méthode
FLOW-3D Harwell, Royaume-Uni Volumes nis Fluent Fluent Inc, Royaume-Uni Volumes nis
STAR-CCM+ New York, USA Volumes nis
OPENFOAM Royaume-Uni Volumes nis
COMSOL Suède Éléments nis
Flotherm Wilsonville, USA Volumes nis
Dans les sections suivantes, nous allons faire une description succincte des mé-thodes de discrétisation les plus utilisées lors de la modélisation thermique dans
les domaines uidiques.
3.2.1 Méthodes de discrétisation des équations de Navier-Stokes
La procédure de modélisation numérique des phénomènes convectifs commence initialement par la discrétisation spatiale des équations de Navier-Stokes ; cela correspondant à l'approximation numérique des diérents termes (d'advection, de source et de diusion). Pour cela, plusieurs approches existent : les diérences nies, les éléments nis et les volumes nis. Les deux derniers approches reposent sur les mêmes étapes :
• discrétiser le domaine de calcul (domaine physique) en cellules (volumes élé-mentaires), ce processus est appelé maillage. Le maillage peut contenir des cellules triangulaires et/ou quadratiques en 2D ou des cellules tétraédriques, hexaédriques, prismatiques ou pyramidales en 3D,
• résoudre les lois de la mécanique des uides pour chaque cellule élémentaire.
Méthode des diérences nies et des éléments nis
L'approche des diérences nies fait partie des premières méthodes développées et appliquées pour la résolution numérique des équations diérentielles. Elle est ap-pliquée directement sur la forme diérentielle des équations de Navier-Stokes. Son principe consiste à utiliser l'expansion par séries de Taylor pour la discrétisation des dérivées des variables d'écoulement.
L'avantage de cette méthode est sa simplicité et la possibilité d'obtenir des approximations d'ordre élevé pour augmenter la précision de la discrétisation spa-tiale. Par contre cette méthode ne s'applique que sur un maillage structuré, ce qui la rend limitée en terme d'utilisation [Blazek 15].
L'approche des éléments nis, introduite pendant les années 50, est aussi ap-pliquée pour la simulation des écoulements. Cette approche consiste à écrire le problème aux EDP sous une forme intégrale (formulation faible).
Cette approche a l'avantage de traiter les phénomènes discontinus. Elle est at-tractive et préférable pour l'analyse des écoulements autour et à l'extérieur des géo-métries complexes vu sa formulation intégrale et sa bonne adaptation aux maillages triangulaires ou tétraédriques. De plus, elle peut être adaptée aux applications où le uide n'est pas Newtonien [Blazek 15].
Méthode des volumes nis
Cette méthode est basée sur le respect des lois de conservation (la forme in-tégrale des équations de Navier-Stokes). Une fois le domaine physique divisé en volumes de contrôles (cellules) polyédriques, les intégrales à droite de l'équation de transport générale (éq. 2.11) peuvent être approximées par la somme des ux traversant chaque surface du volume de contrôle. La précision de la discrétisation spatiale des équations de Navier Stokes dépend du schéma d'évaluation des ux.
Il y a deux façons de dénir la forme et la position du volume de contrôle en rapport au maillage :
• cellule centrée (g. 3.11a) : dans ce cas, le volume de contrôle coïncide avec la cellule physique et la quantité du ux est enregistrée au centre de la cellule de la grille.
• cellule vertex (g. 3.11b) : dans ce cas, le volume de contrôle peut unir plusieurs cellules partageant le même point du maillage (n÷ud), ou, être centré autour de ce point. La quantité du ux est enregistrée aux n÷uds.
(a) Cellule centrée. (b) Cellule vertex.
Figure 3.11 Diérentes dénitions des volumes de contrôle en respectant le discrétisation du domaine physique.
Par rapport à la méthode des éléments nis, malgré que dans certains cas les deux méthodes ont une exibilité comparable par rapport à la géométrie traitée, la méthode des volumes nis peut être plus favorable parce qu'elle s'appuie direc-tement sur les lois de conservation sur chaque volume de contrôle [Blazek 15].