Déplacement d'un volume élémentaire soumis à un gradient de température

Pour comprendre le mécanisme de la convection naturelle, nous allons consi-dérer le cas d'un uide au repos et soumis à une pression constante. Sous l'eet de l'augmentation en température, le uide tend à se dilater ce qui va aecter son volume, et donc sa masse volumique.

Prenons l'exemple d'un volume de contrôle initialement à une température faible. S'il vient à être exposé à une source de chaleur, la dilatation du uide va diminuer la masse volumique des particules dans ce volume de contrôle. Autrement dit, il devient plus léger, tel qu'illustré par la g. 2.10.

(a) Volume de contrôle Ω à température faible.

(b) Volume de

contrôle Ω à

température élevée.

Figure 2.10 Variation de la masse volumique en fonction de la température d'un volume de contrôle.

La diérence de masse volumique entre les volumes élémentaires chauds et froids au sein du uide place ses constituants sous l'eet des forces d'Archimède (en plus des forces gravitationnelles). De là, les volumes de masse volumique faible acquièrent un mouvement ascendant, alors que les volumes de masse volumique plus élevée se mettent à descendre. Grâce à la diusion thermique et à la viscosité du uide, le mouvement du uide se propage au sein du domaine uidique (transfert de quantité de mouvement) et il s'accompagne d'un transfert de chaleur. Cette réaction spontanée du uide, provoquée par le changement de la masse volumique du uide en fonction de la température, à pression constante, se produit jusqu'à atteindre un état d'équilibre thermique et mécanique. C'est le mécanisme de la convection naturelle (dite aussi convection libre) causée par la présence simultanée de l'accélération de pesanteur et d'une diérence de température.

Reprenons le volume élémentaire Ω, libre de se déplacer spontanément vers le haut ou bien vers le bas dans une cabine fermée. Si Ω est entouré de volumes élémentaires de même masse volumique, il va rester au repos. Dans ce cas, la poussée d'Archimède exercée sur le volume est nulle.

À présent, nous nous mettons dans le cas où la paroi inférieure de la cabine est chauée et la paroi en haut refroidie, comme illustré par la g. 2.11. Dès que la masse volumique du milieu entourant le volume élémentaire devient plus faible

à cause d'une température élevée imposée par la paroi inférieure, le volume Ω se met en mouvement vers le haut sous l'eet de la poussée d'Archimède. Le même mécanisme explique le déplacement des volumes élémentaires de la zone froide (bleue) vers le bas. Ainsi, lorsque la poussée d'Archimède est diérente de zéro, elle est responsable du déplacement du uide chaud et léger vers le haut, dans cette cabine.

Paroi froide

Paroi chaude Paroi

adiabatique

Paroi adiabatique

Figure 2.11 Schéma explicatif du déplacement des molécules sous l'eet des forces d'Ar-chimède (de ottabilité) [Mabrouk 10].

La poussée d'Archimède, créée par le gradient de température, doit être supé-rieure à la traînée visqueuse, qui freine le mouvement des particules. La g. 2.12 représente la force d'Archimède qui vient s'opposer à la traînée visqueuse. Ainsi, si ces deux forces sont égales, il n'y a pas de mouvement parce que le volume élémentaire est en équilibre mécanique.

Paroi froide

Paroi chaude Paroi

adiabatique

Paroi adiabatique

Force de cisaillement

Figure 2.12 Schéma de l'inuence des contraintes de cisaillement [Mabrouk 10].

De là, la diusion thermique défavorise toujours l'amorçage de la convection naturelle. C'est un mécanisme qui minimise le gradient de température sans dé-placement de matière. Elle retarde ainsi, l'apparition des forces d'Archimède, ainsi que tout forme de mouvement au sein du uide.

La convection naturelle entre une surface à température élevée entourée par un uide froid s'eectue en trois étapes. D'abord, l'énergie thermique s'écoule, par diusion, de la surface chaude vers les volumes élémentaires adjacents, ce qui élève leur température. Ensuite, les volumes élémentaires à énergie plus élevée se déplacent et se mélangent avec ceux d'énergie plus faible. Une partie de l'énergie de chaque volume se transmet aux autres. L'écoulement résultant assimile alors un transport simultané de masse et d'énergie.

Enn, l'énergie transmise à chaque volume élémentaire se manifeste sur deux formes : celle emmagasinée grâce à la capacité calorique du uide et celle trans-portée lors du mouvement du uide [Abdelhalim 11].

Ainsi, le mécanisme de la convection naturelle est une réaction, causée par des perturbations externes qui poussent le uide à trouver un autre état d'équilibre mécanique.

Il est nécessaire par la suite de rappeler quelques notions basiques liées à la convection naturelle an de décrire les équations qui vont gouverner ce phénomène (Navier-Stokes+hypothèses).

Loi de l'hydrostatique

Considérons le volume élémentaire uidique, présenté dans la g. 2.13. Le vo-lume est dit en équilibre mécanique si la somme des forces appliquées est nulle,

z

z+dz z

n

g 

Figure 2.13 Équilibre mécanique d'un volume de contrôle.

−p(z+dz) +p(z)−ρgdz = 0. (2.55) La diérence de pression hydrostatiquepa le rôle d'équilibrer l'eet de pesanteur.

C'est la loi de Pascal (loi de statique des uides) généralisée par,

∂p

∂z =−ρg. (2.56)

Tout corps immergé dans un uide à l'équilibre mécanique est soumis à ce gradient de pression sous forme d'une force verticale opposée à la force gravita-tionnelle. C'est la poussée d'Archimède qui dénit la ottabilité d'un corps, qui est proportionnelle à son volume et sa masse volumique. Elle est obtenue en intégrant l'éq. 2.56 comme suit [Prenel 99],

−

poids propre au volume soumis

=0. (2.57)

D'après cette équation, le terme 2.18 des forces volumiques dans l'équation de conservation de mouvement générale 2.22 peut être déni comme suit,

Z

En mécanique des uides, cette force s'applique sur les volumes élémentaires en vue d'atteindre l'équilibre mécanique. Comme la masse volumique dépend de la température, un gradient de température va donc créer une diérence de masse volumique entre particules chaudes et froides. Ce déséquilibre thermique devient

la cause d'un déséquilibre mécanique (la diérence entre les forces de pression hydrostatique et les forces gravitationnelles n'est pas nulle),

−

poids propre au volume soumis

6=0. (2.59)

Pour entraîner l'écoulement en mouvement, le gradient de température doit atteindre un seuil capable de créer une poussée d'Archimède plus grande que les forces de frottement (de cisaillement). Ces forces de cisaillement sont verticales (en vert dans la g. 2.12) et s'opposent à la force de gravitation, donc, au dépla-cement des particules. Dès que les forces gravitationnelles dépassent ce seuil, le déplacement devient possible. La poussée d'Archimède amplie la vitesse initiale du volume élémentaire jusqu'au moment où les deux forces deviennent égales (éq.

2.57) [Mabrouk 10].