Études expérimentales et semi-empiriques

Kitamura et al. [Kitamura 99, Misumi 03] ont réalisé une étude expérimen-tale concernant des cylindres statiques horizontaux placés dans l'eau et dans l'air.

Les cylindres sont chaués par un ux thermique uniforme. Pour l'étude réalisée dans l'eau, le diamètre des cylindres varie entre 6cm et 80cm ; pour les cylindres entourés par l'air, les diamètres utilisés sont entre 20cm et 120cm.

Le paramètre utilisé pour faire les diérentes comparaisons est le nombre de Rayleigh modié déni par,

Ra^∗ = gβq_convD⁴

k_sαν , (3.1)

ν est la viscosité cinématique. L'étude a été réalisée sur un intervalle du Rayleigh modié Ra^∗ assez large : Ra^∗ = [1×10⁸,3,6×10¹³].

Ces études expérimentales ont permis d'observer la transition vers le régime turbulent et de visualiser le développement de la couche limite pour le régime laminaire et turbulent, tel qu'illustré par la g. 3.2.

(a) Régime laminaire Ra^∗= 1,97×10⁹

(b) Régime turbulent Ra^∗= 1,12×10¹¹

Figure 3.2 Visualisation expérimentale des régimes laminaire et turbulent autour d'un cylindre [Misumi 03].

Les auteurs ont fait apparaître quatre comportements diérents en fonction de la position considérée sur le périmètre du cylindre. Ils sont dénis comme suit :

• comportement laminaire, caractérisant le bord d'attaque,

• séparation tridimensionnelle du uide chaué de la surface du cylindre, à partir d'un angle qui dépend du nombre Ra^∗,

• après la séparation, début du régime transitoire,

• transformation de l'écoulement en turbulent : les écoulements voisins fu-sionnent au bord de fuite et montent en un nuage turbulent.

Ces comportements sont visibles à la g. 3.3 pour un cylindre de diamètre D= 120cm et Ra= 5,56×10¹¹,

Figure 3.3 Comportements multiples de l'écoulement autour d'un cylindre.

Dans l'article [Misumi 03], les auteurs ont pu identier un nombre de Rayleigh critique pour l'air Racrit = 3,5×10⁹ (qui est diérent de celui identié pour l'eau Ra= 1,2×10⁹) au-delà duquel le point de séparation apparaît pour la première fois impliquant l'apparition du régime turbulent.

Les études semi-empiriques sont menées an de remédier au manque de préci-sion des solutions théoriques, surtout dans le cas des formes cylindriques [Churchill 75].

Dans ce contexte, on trouve la solution,

N u^1/2 = 0,6 + 0,387







Ra h

1 + ^0,559_{P r} 9/16i16/9







1/6

, (3.2)

proposée par Churchill [Churchill 75] et qui est valide quels que soient le nombre de Rayleigh et le nombre de Prandtl et lorsque le cylindre est à température uniforme ou à ux uniforme. Dans cette étude, l'auteur donne très peu de détails sur le protocole expérimental, les techniques de mesure employées et les géométries étudiées, dans la mesure où les expériences ont été réalisées pour un large intervalle du nombre de Rayleigh.

Kuehn [Kuehn 76] a corrélé les résultats obtenus pour l'intervalle le plus large possible du nombre de Rayleigh, en combinant la solution de conduction, la solution de la couche limite laminaire et les données expérimentales an de fournir une solution semblable à celle trouvée par Churchill [Churchill 75] (éq. 3.3). Il s'agit d'une des rares corrélations de la littérature pouvant s'appliquer pour toutes les

valeurs du nombre de Rayleigh,

Les études expérimentales sourent toujours d'une dispersion du nombre de Nusselt. Cette dispersion a été évaluée par Morgan [Morgan 75] en calculant un coecient de variation V_c = 100×écart-type/moyenne(%). Pour des données ex-périmentales, Vc varie entre 3% et 35%. Il est compris entre 5% et 26% pour les corrélations proposées dans la littérature. Cette dispersion est due à plusieurs fac-teurs dont les pertes par conduction, les points de mesure et leur nombre, les per-turbations externes (mouvement d'air, source externe d'énergie...) et l'utilisation d'une enceinte sous dimensionnée [Morgan 75, Fand 77].

Après une analyse récapitulative de la littérature, Morgan [Morgan 75] a pu proposer une corrélation pour chaque intervalle du nombre de Rayleigh sous la forme,

N u=A_mRa^nm, (3.4)

tels que Am et nm sont les coecients donnés par le tableau suivant, Table 3.1 CoecientsA_metn_m utilisés pour la corrélation 3.4.

A_m n_m Ra

Dans [Fand 77] et [Fand 83], Fand et al. ont analysé la convection autour d'un cylindre horizontal isotherme (diamètre de 1,157cm) immergé dans l'eau, l'air et trois diérentes huiles de silicone. Le nombre de Rayleigh expérimental varie de 2,5×10² à 1,8×10⁷ et le nombre de Prandtl varie de 0,7 à 3090. Lors de cette étude, les auteurs ont mis l'accent sur deux aspects qui peuvent introduire la dispersion des résultats expérimentaux dans la littérature. Le premier aspect est la température à laquelle les propriétés du uide sont évaluées et qui dière d'un auteur à l'autre. Pour cela, ils ont proposé des corrélations empiriques de la même forme algébrique mais à chaque fois la température à laquelle les propriétés thermiques sont évaluées dière. En comparaison avec les résultats expérimentaux, ils ont proposé la forme suivante,

Nuj = 0,478Ra^0,25_j Pr^0,05j , (3.5) qui garantit une déviation moyenne minimale de 1,5% par rapport aux résultats expérimentaux. Les propriétés du uide sont évaluées à la température T_j dénie en fonction de la température de surface T_s et la température ambiante T_amb par, T_j =T_amb+j(T_s−T_amb); j = 0,32. (3.6)

Le deuxième aspect est la dissipation visqueuse qui est prise en compte. Dans ce cas, le nombre de Nusselt est fonction de Nu = f(Pr, Ra, Ge) comme suit (3×10² ≤Ra≤2×10⁷ ),

Nu = 0,4Pr^0,0432Ra^0,25 + 0,503Pr^0,0334Ra^0,0816 + 0,958Ge^0,122

Pr^0,06 Ra^0,0511, (3.7) tel que Ge est un nombre adimensionnel, équivalent du nombre de Eckert pour la convection forcée. Il sert à quantier la dissipation visqueuse et il est déni par,

Ge= gβL_c

c_p . (3.8)

Les corrélations 3.5 et 3.7 proposées par Fand [Fand 77, Fand 83] montrent plus de cohérence avec les données expérimentales que les résultats de Churchill (éq. 3.2) et de Morgan (éq. 3.1). De plus, elles sont fonction du nombre de Prandtl ce qui n'est pas pris en considération dans les autres corrélations ([Churchill 75]

et [Morgan 75]).

Le fait que le cas des cylindres à température uniforme ou à ux uniforme, ait été traité par diérents auteurs, a poussé Kitamura [Kitamura 99, Misumi 03]

à utiliser le nombre de Rayleigh modié Ra^∗ (éq. 3.1) pour être en mesure de comparer les diérents résultats.

Les résultats présentés par Kitamura ont donné une dispersion du nombre de Nusselt plus faible, autour de20%, par rapport aux résultats de Churchill (éq. 3.2) et de Morgan (éq. 3.1). Les aspects cités par Fand et al. [Fand 77, Fand 83] peuvent être parmi les causes de dispersion entre les corrélations proposées par Churchill (éq. 3.2) et par Morgan (éq. 3.1) et celles empiriques proposées par Kitamura [Kitamura 99, Misumi 03]. De plus, la méthode d'élaboration des équations de Morgan et Churchill, considérée parfois inappropriée, peut être parmi les causes de dispersion. Morgan [Morgan 75] a, tout simplement, moyenné les résultats obtenus par des autres chercheurs et Churchill a utilisé des mesures expérimentales issues de la littérature pour un nombre de Rayleigh élevé, sans donner les détails nécessaires concernant la procédure expérimentale.

Dans une partie de l'étude, Misumi [Misumi 03] s'est penché sur la variation locale du coecient d'échange surtout après l'apparition du point de séparation sur la surface cylindrique (transition laminaire, turbulent). Il a montré que Nu varie proportionnellement à Ra^∗1/5 dans la région laminaire et qu'il est nettement plus important dans la région transitoire et turbulente. Ce fait montre que le nombre et l'emplacement des mesures locales eectuées an d'estimer Nu peut engendrer des erreurs sur le calcul du nombre de Nusselt moyen.

Luciano [Luciano 83] a réalisé deux séries d'expériences an de mesurer les coecients d'échange moyen et local par convection naturelle, en régime laminaire autour d'un cylindre horizontal de diamètres 0,37cm et 15cm. À la n de cette étude, des corrélations empiriques sont proposées et comparées avec la solution intégrale des équations de la couche limite.

Les corrélations empiriques proposées par Kitamura [Kitamura 99] et par Lu-ciano [LuLu-ciano 83] ont la même forme que la corrélation de Morgan (éq. 3.4) et les diérents coecients, en régime laminaire, sont donnés dans le tableau 3.2,

En rapprochant les corrélations empiriques extraites sur les formes cylindriques horizontales à température constante (éqs. 3.2, 3.4 et éqs. 2 et 3 dans le tableau 3.2), il est possible de réaliser une étude comparative, tel qu'illustré par la g. 3.4.

Table 3.2 Domaines de validité et coecients de l'éq. 4.25 donnés par Luciano [Luciano 83]

et Kitamura [Kitamura 99] et [Bergman 11, Holman 01]

Auteur Intervalle de validité a b

Kitamura [Kitamura 99] 3×10⁸ ≤Ra^∗ ≤2,5×10¹⁰ 0,5 0,2 Luciano [Luciano 83] 1,5×10⁴ ≤Ra≤6×10⁵ 0,488 0,246 Holman [Bergman 11, Holman 01] Ra≤9×10⁹ 0,525 0,25

7,00 8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00 15,00 16,00

100 000 200 000 300 000 400 000 500 000 600 000 700 000 800 000

Nombre de Nusselt Nu

Nombre de Rayleigh Ra

Churchill Holman Luciano Morgan

Figure 3.4 Variations du nombre de Nusselt en fonction du nombre de Rayleigh décrites par des corrélations issues de la littérature.

Cette comparaison nous permet d'évaluer l'écart qui est introduit par l'appli-cation des corrélations empiriques (éqs. 3.2, 3.4 et les équations de Luciano et Holman) considérées lors de cette partie bibliographique.

Le nombre de Nusselt moyen Nu des quatre corrélations illustrées par la g. 3.4 est utilisé comme référence pour calculer les écarts introduits par l'application de cette approche empirique. Les diérences entre cette moyenne Nu et les corrélations maximale (Nusup à partir de l'éq. 3.4 [Holman 01]) et minimale (Nuinf à partir de l'éq. 3.2 [Churchill 75]) sont calculées comme suit,

δN u_sup(Ra) =Nusup(Ra)−Nu(Ra), δN u_inf(Ra) = Nu(Ra)−Nuinf(Ra). (3.9) Les écarts e_1sup et e_1inf sont dénis par,

e_1sup =

δN u_sup Nu

, e_1inf =

δN u_inf Nu

. (3.10)

Ces écarts supérieur et inférieur sont estimés :e_1sup= 9,78%ete_1inf = 7,18%, respectivement. Les résultats sont illustrés par la g. 3.5.

8 9 10 11 12 13 14 15 16

100 000 200 000 300 000 400 000 500 000 600 000 700 000 800 000

Nombre de Nusselt Nu

Nombre de Rayleigh Ra

Nu_moyen lim_sup lim_inf

Figure 3.5 Variation du nombre de Nusselt empirique moyen en fonction du nombre de Rayleigh avece_1sup= 9,78%et e_1inf = 7,18%.