Discrétisation spatiale en utilisant l'approche des vo- vo-lumes nis

An d'illustrer le principe de la discrétisation, nous allons rappeler et collecter les équations générales (éqs. 2.15, 2.22 et 2.37) dans le même système d'équa-tions. Pour cela, nous revenons sur la formulation vectorielle générale des lois de conservation (éq. 2.11) où nous avons introduit deux vecteurs de ux Fc et Fv.

Le premier vecteur est lié au terme d'advection (transport d'une quantité par déplacement global des particules) et le second contient les contraintes visqueuses et la diusion de chaleur. Enn, le termeQ contient les sources volumiques (forces volumiques ou sources de chaleur internes au volume).

En appliquant l'éq. 2.11 aux variables indépendantes de l'écoulement, nous obtenons le système suivant,

Dans le cas tridimensionnel, les termes de l'éq. 3.12 sont dénis comme suit,

W=

oùVn est la vitesse normale à la surface∂Ωdu volume Ω. Elle est dénie par,

Ce sont les termes décrivant le travail des forces visqueuses et le transfert de chaleur par conduction au sein du uide, respectivement. Le terme source est déni par,

Plusieurs méthodes numériques exploitent la discrétisation de l'espace et du temps séparément. Cela permet une exibilité sur le choix des approximations de diérentes précisions pour l'évaluation des dérivées temporelle et spatiale ; il s'agit de l'approche la plus répandue [Blazek 15].

La méthode des volumes nis, comme toute approche de discrétisation nu-mérique, suit une démarche bien dénie. Étant donné que ce type de méthode repose sur la conservation d'une quantité physique à l'intérieur d'un domaine (ou d'un sous-domaine), il est donc nécessaire d'exprimer cette conservation sous forme d'une équation intégrale (éq. 2.11). En premier lieu, il faut eectuer un "pavage" du domaineΩen le décomposant en un ensemble de sous-domaines {Ω = Ω₁, ...,Ω_NC} avecN_C le nombre total de cellules.

Chaque cellule du domaine Ω a un ensemble de frontières ∪(Γi,Γj..., Γk) dont la dimension (dim(∂Ω_m)) dépend de la forme géométrique des cellules. Cela dénit l'ensemble des frontières Γ_m = Γ₁, ..., Γ_NF. Ce pavage (maillage) doit ainsi pros-crire certaines conditions an de contenir l'augmentation signicative de l'erreur numérique :

• le recouvrement de cellules ;

• le partage de frontières entre plus que2 sous-domaines ;

• les trous dans le maillage ;

• le chevauchement entre les cellules ;

• les changements brusques des tailles des cellules.

On peut identier plusieurs types de maillage :

• le maillage structuré (g. 3.12a) : il contient des cellules quadrangulaires en 2D et hexaédriques en 3D. Ces cellules sont ordonnées dans l'espace, ce qui présente l'avantage de faciliter le calcul numérique. Cependant, il est dicile à appliquer pour des géométries courbes.

• le maillage non structuré (g. 3.12b) : il contient notamment des cellules triangulaires en 2D et tétraédriques en 3D. Ces cellules ne sont pas ordon-nées dans l'espace ce qui complique le calcul numérique. Cependant, il est plus exible à appliquer pour des géométries complexes (cylindriques par exemple).

• le maillage hybride : ce peut être un maillage multi-zone tel qu'illustré par la g. 3.12c ou bien constitué de plusieurs formes de cellules dans la même zone (hexaédriques et tétraédriques)

(a) Maillage structuré. (b) Maillage non

struc-turé. (c) Maillage hybride.

Figure 3.12 Diérents types de maillage en 2D.

En se basant sur ce pavage, des volumes de contrôle sont dénis an d'évaluer l'intégrale des termes convectifs, et des termes sources. An de simplier cette étude, nous allons considérer que chacun de ces volumes de contrôle ne change pas en fonction du temps. D'après le système d'équations donné par l'éq. 3.12, la dérivée temporelle du vecteur W peut être écrite pour une celluleΩi comme,

∂

L'intégrale surfacique à droite de l'éq. 3.22 est approximée par la somme des ux convectif et diusif traversant les faces du volume de contrôle. Généralement, ces ux sont supposés constants sur chaque point d'une face et il est évalué en son centre. Le terme source, au sein de chaque cellule, est généralement supposé constant. Cela est susant pour avoir un schéma de précision de second ordre [Blazek 15].

Ainsi, à partir de l'éq. 3.22, nous obtenons, dW

oùS_f est l'aire d'une face. En appliquant l'éq. 3.23 sur chaque volume de contrôle, nous obtenons un système d'équations ordinaires diérentielles de premier ordre.

Selon le type de volume de contrôle (cellule centrée ou vertex), les variables conser-vatives et les variables dépendantes sont associées au même point : centre de la cellule ou point du maillage.

Plusieurs solutions existent pour l'évaluation des ux convectifsFc_f et diusifs F_vf. La diculté réside dans le fait qu'il faut l'évaluer pour toutes les faces du volume de contrôle. Or, les variables d'écoulement (ρ,v_x, v_y, v_z,E,petT) ne sont pas toujours connues pour chaque face. Dans ce cas, il faut interpoler les ux ou bien les variables d'écoulement. Cette étape intervient pour construire la solution à partir des valeurs à l'intérieur du volume de contrôle. Elle peut être appliquée [Blazek 15] :

• soit par le calcul de la moyenne arithmétique,

• soit grâce à des méthodes d'interpolation dédiées, comme la méthode décen-tré avant (Upwind).

L'approximation des volumes nis fournit la forme algébrique (éq. 3.23) au centre de chaque cellule de maillage ; cette équation contient les valeurs des va-riables à un n÷ud ainsi qu'aux centres des n÷uds voisins. Si on considère que le système obtenu est linéaire et en régime permanent, le résultat de discrétisa-tion appliqué à une variable d'écoulement noté φ, est donc un système algébrique linéaire sous la forme suivante [Ferziger 02],

A_Pφ_P +X

l

A_lφ_f =Q_P, (3.24)

où P est le volume de contrôle où les équations diérentielles sont appliquées et f est l'indice qui désigne les n÷uds à l'entour. Les coecients A_l dépendent des données géométriques, des propriétés du uide.Q_P présente tous les termes qui ne contiennent que des variables connues. Le système d'équations pour le domaine de calcul peut être écrit sous la forme suivante,

Aφ=Q, (3.25)

où A est une matrice carrée creuse de coecients , φ est un vecteur contenant les valeurs des variables aux n÷uds du maillage etQ est le vecteur contenant les termes à droite de l'éq. 3.24

A =

Lorsque le nombre d'équations et d'inconnues est égal au nombre de volume de contrôle, alors le système est bien posé. Il faut avoir une éq. 3.23 pour chaque volume de contrôle. On dispose alors d'un nombre très important d'équations à résoudre numériquement [Ferziger 02].

Cette situation est vraie pour un maillage structuré. Pour un autre type de maillage, la matrice A devient plus complexe mais reste creuse. Le nombre maximal d'éléments dans une ligne de la matrice A est égal au nombre de voisins pour une approximation de second ordre. Pour une approximation d'ordre plus élevé, le nombre dépend des voisins que le schéma de discrétisation utilise.

3.3 Résolution numérique des équations de