Description du problème et hypothèses simplicatrices

Le problème physique traité et réalisé expérimentalement est schématisé par la g. 4.27a.

Machine

(a) Géométrie et domaine de calcul.

130 cm

(b) Conditions thermiques de fonc-tionnement.

Figure 4.27 Problème physique à considérer.

Pour résumer, la problématique considérée est celle de l'évacuation de chaleur par une machine électrique suspendue à l'intérieur d'une enceinte rectangulaire, à une distance de 30cm de la base.

Le calcul d'une solution d'un problème 3D avec de telles dimensions est une tâche délicate et exigeante. Ainsi, des simplications géométriques sont nécessaires pour réduire le domaine de calcul, et donc logiquement, le temps de calcul. Dans ce cadre, seule la moité du domaine de calcul (le plan de symétrie est le planx−z dans la g. 4.27) est considérée lors de cette étude.

Plusieurs simulations sont eectuées en changeant à chaque fois la position de la machine par rapport à l'horizontale. Dans tous les cas, les parois de la cabine de test sont supposées être à une température constante faible (paroi froide), égale à la température ambiante. Quelle que soit la position angulaire, les parois de la machine Synchrel sont maintenues à une température constante élevée (paroi chaude) (g. 4.27b).

L'écoulement, dans ce cas, est entraîné par les forces de ottabilité dues au gradient de température entre la surface de la machine et les parois de la cabine de test. Il est considéré laminaire puisque le nombre de Rayleigh est, dans tout les cas, inférieur au nombre de Rayleigh critique (Racrit = 10⁹).

Le phénomène à simuler est la convection naturelle dans un milieux fermé (cabine de test). Les hypothèses adoptées an d'établir le modèle mathématique simplié élaboré dans le chapitre 2 en régime permanent (éqs. 2.72, 2.73 et 2.74) décrivant la physique de la présente étude sont les suivantes :

• le uide est Newtonien et incompressible,

• les conditions aux limites (températures) sont constantes au cours du temps,

• les propriétés thermophysiques du uide sont considérés constantes,

• l'approche de Boussinesq est utilisée an de calculer les forces de ottabilité,

• la dissipation visqueuse est négligeable.

À ce stade, quatre facteurs principaux peuvent inuencer le temps de calcul nécessaire pour résoudre le problème numérique thermique :

• la nature de l'écoulement (laminaire ou turbulent) : l'écoulement dans notre cas est laminaire ; ainsi un calcul utilisant les modèles de turbulence peut augmenter inutilement les temps de calcul,

• la taille du domaine du calcul : compte tenu de la symétrie de la géométrie de la machine et le processus de convection naturelle, seule la moitié du domaine de calcul est considérée

• la solution numérique (transitoire ou permanent) : an d'alléger le calcul numérique et de faciliter la comparaison aux mesures expérimentales (les mêmes conditions), nous avons choisi de chercher une solution en régime permanent,

• la stratégie de maillage : elle est choisie de façon à limiter le nombre de volumes de contrôle générés ; cela est illustrée par la g. 4.28.

Base Plafond

Maillage fin

Maillage grossier Maillage grossier

Figure 4.28 Stratégie de maillage.

4.3.2 Maillage

Il est possible de simuler la convection naturelle autour d'une section cylin-drique en utilisant un modèle 2D en tenant compte de l'invariance géométrique axiale de la machine.

Cependant, bien que cette solution permette d'alléger fortement le problème et donc d'accélérer les calculs, nous avons choisi de réaliser les calculs MFN avec un modèle 3D. Dans notre cas, la machine est placée dans une cabine dans laquelle des interactions entre le ux thermique et le plafond de la cabine se produisent. Ces interactions dépendent de la température imposée à chaque simulation et peuvent générer des tourbillons tridimensionnels menant à une solution 2D instable. De plus, elles peuvent aecter la valeur du coecient d'échange autour de la machine Synchrel.

Pour la géométrie de la machine Synchrel, il est important de prendre en consi-dération l'eet de bord des surfaces latérales, même en régime laminaire. En chan-geant l'inclinaison de la machine d'une simulation à une autre, le comportement du uide autour de la machine change et devient de nature tridimensionnelle (autour du cylindre, tout le long de la surface cylindrique et verticalement au-dessus de la machine), comme cela a été présenté dans la partie 4.1. De plus, lorsque la ma-chine est verticale ou inclinée, les surfaces latérales se comportent diéremment ; la surface du bas bloque le ux thermique et la surface du haut se joint à la surface cylindrique pour favoriser le transfert thermique.

Dans la littérature, il est recommandé de réaliser un modèle 3D pour garantir une solution numérique plus précise et stable [Kumar 14].

Le maillage utilisé pour la géométrie 3D du domaine uidique est tétraédrique.

La taille des mailles autour de la machine et sur le chemin approximatif du ux

de chaleur (région 1 de la g. 4.29) est ranée an d'être en mesure de détecter les couches limites thermique et dynamique. La taille des mailles aux extrémités de la cabine de test (région 2 de la g. 4.29) est relativement grossière.

1

2 2

Figure 4.29 Maillage pour la machine en position inclinée.

En appliquant cette stratégie pour toute les inclinaisons de la machine (g.

4.29), le domaine de calcul contient de l'ordre de 13 millions de volumes élémen-taires. Le choix de la taille des cellules est pris selon une étude de sensibilité de maillage en modiant la taille des éléments dans la zone1.

Pour cela, nous avons initialement choisi le coecient d'échange moyen total, calculé en utilisant la moyenne pondérée de l'éq. 4.25 appliquée à chaque surface de la machine, comme référence. Il est égal à h = 7,18W/m²K pour un écart de température de∆T = 39K.

L'étude de sensibilité consiste à calculer le coecient d'échange pour diérentes tailles d'éléments dans la zone 1, et à les comparer au coecient d'échange de référence. La taille des éléments dans la zone1 varie entre :

• 3mm et10mm pour la première solution ;

• 1mm et5mm pour la deuxième solution ;

• 0,2mm et 3mm pour la troisième solution.

L'écart entre la solution numérique et le coecient d'échange de référence cor-respondant à chaque solution numérique est égal à 10%, 7,1% et 1,3%, respecti-vement. Finalement, nous avons choisi de travailler avec un maillage dont la taille de volumes élémentaires dans la région ranée (1) est comprise entre 0,2mm et 3mm (zone 1), et dans la région grossière (2) entre 3mm et 40mm.

Une ination de maillage autour de la géométrie est appliquée de manière à détecter le champ de vitesses et la distribution locale de la température qui prennent place à proximité de la paroi. L'ination est de type "Premier rapport d'aspect" ; elle nécessite de xer le nombre de couches et le rapport d'aspect. Le rapport d'aspect est le rapport entre la base et la hauteur de la cellule. Vue que la base est dénie lors de la dénition de la taille du maillage, nous pouvons déduire la hauteur de la première couche de l'ination. L'épaisseur des autres couches est calculée à partir de l'épaisseur de la première couche et du taux de croissance.

Première couche Quatrième couche

Solide

Sens d’inflation

Figure 4.30 Exemple d'ination.