Méthode des volumes finis

Cette méthode est une technique de discrétisation qui convertit les équations de conservation aux dérivées partielles en équations algébriques qui peuvent être résolue numériquement. La technique des volumes de contrôle consiste dans l’intégration des équations aux dérivées partielles sur chaque volume de contrôle pour obtenir les équations discrétisées qui conservent toutes les grandeurs physiques sur un volume de contrôle.

Un maillage constitué de volumes de contrôle, également appelés cellules ou mailles, est construit. Chaque variable présente alors une valeur en chacun de ces volumes de contrôle. Les liens entre ces variables découlent de la discrétisation des équations aux dérivées partielles.

V.2.2.1. Maillage

La génération du maillage (2D ou 3D) est une phase très importante dans une analyse numérique, vu l’influence de ses paramètres sur la solution calculée. La génération d’une très bonne qualité de maillage est essentielle pour l’obtention d’un résultat de calcul précis, robuste et signifiant. La spécification du maillage dépend de la complexité de la géométrie et du code de simulation utilisé.

Le premier travail à accomplir dans la réalisation d’une simulation numérique est la définition d’un maillage adapté à l’écoulement, dont la qualité infecte directement la précision des calculs. Un nombre de mailles insuffisant fera diverger les calculs ou sera responsable d’une diffusion numérique trop importante. Il faut trouver un compromis entre le nombre de mailles et le temps de calcul qui augmente considérablement avec le raffinement de la discrétisation du domaine de calcul.

La construction du maillage concerne non seulement le nombre de mailles mais aussi leur taille et leur forme. Typiquement, on densifie le maillage dans les zones où de forts gradients sont attendus. Inversement, dans les zones où les gradients attendus sont faibles, des mailles

134 plus grandes peuvent être utilisées. Quant à la forme des mailles, les mailles hexaédriques sont privilégiées. Cependant, dans le cas de géométries aux formes complexes, il n’est pas toujours possible d’utiliser de telles mailles. Des mailles tétraédriques peuvent alors, par exemple, être utilisées.

V.2.2.2. Discrétisation des équations aux dérivées partielles

Les équations de conservations de la masse, de la quantité de mouvement peuvent toutes être réécrites sous la forme générique équation (V-2) à travers une équation de transport d’une variable ϕ ([58], [169]). Considérons l’équation de transport d’un scalaire∅. Elle prend la forme générale de l’équation (V-1) où ; ρ, la masse volumique ; u, le vecteur vitesse ; et 𝑆_∅, le terme source du scalaire∅ .

Les équations peuvent s’écrire sous la forme générale suivante :

𝜕 𝜕𝑡(𝜌∅) + 𝑑𝑖𝑣(𝜌 ∅ 𝑢_𝑗) = 𝑑𝑖𝑣(. 𝑔𝑟𝑎𝑑(∅)) + 𝑆_∅ (V-1) C a d: ^{𝜕(𝜌∅)}_𝜕𝑡 +_𝜕𝑥^𝜕 𝑗(𝜌∅𝑢_𝑗) ⏟ 1 =_𝜕𝑥^𝜕 𝑗(_𝜕𝑥^𝜕∅ 𝑗) ⏟ 2 + 𝑆_⏟∅ 3 (V-2)

Convection = diffusion + source

Où les quatre termes représentent respectivement l’accélération temporelle, l’accélération due à la convection, la diffusion et un terme source. ∅ Est une variable générique.

Ces équations sont intégrées sur un volume de contrôle 𝐷𝑉 et leur forme intégrale devient alors :

∭_𝑉 ^𝜕(𝜌Φ)_𝜕𝑡 𝑑𝑉 + ∯ 𝜌Φ𝑢⃗ . 𝑑𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = ∯ Γ_Φ𝑔𝑟𝑎𝑑(Φ). 𝑑𝐴^{⃗⃗⃗⃗⃗} + ∭ 𝑆_{𝑉 Φ}𝑑𝑉 (V-3) D’où 𝑨, le vecteur normal à la surface ; 𝛤_∅, le coefficient de diffusion du scalaire 𝛷 ; .

Cette même équation discrétisée prend la forme écrite dans l’équation (V-4).Ici, 𝑁_{𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠} est le nombre de faces du volume de contrôle ; Φ_𝑓 la valeur de Φ sur la face 𝑓 , 𝜌_f,𝑢_f. 𝐴_f, le flux massique à travers la face 𝑓 ; A_f, le vecteur aire de la face 𝑓; et V, le volume de contrôle.

𝜕𝜌Φ

𝜕𝑡 𝑉 + ∑ 𝜌_𝑓𝑢⃗⃗⃗⃗ Φ_{𝑓 𝑓}. 𝐴⃗⃗⃗⃗ = ∑_𝑓 ^𝑁𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠Γ_𝑓𝑔𝑟𝑎𝑑(Φ_𝑓). 𝐴_𝑓+ 𝑆_Φ𝑉

𝑓 𝑁_{𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠}

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A. Discrétisation spatiale

La première étape de la discrétisation spatiale est la transformation des intégrales de volumes de l’équation en intégrales de surface en s’appuyant sur le théorème de Gauss., Fluent (2015) stocke les variables au centre des cellules par défaut. Cependant, dans l’équation (V-4) les variables au niveau des faces sont requises. Un schéma d’interpolation à partir des valeurs centrales est alors nécessaire. Pour le second terme de la partie gauche de l’équation (V-4) Fluent (2015) utilise un schéma amont, c’est-à-dire que la valeur sur la face 𝛷_𝑓 provient de la valeur amont (selon le sens de la vitesse u).

Pour un schéma amont du premier ordre, la valeur de la variable sur la face 𝑓 est égale à la valeur Φ au centre de la cellule amont, comme écrit dans l’équation (V-5)

Φ_𝑓 = Φ (V-5) Pour un schéma amont de deuxième ordre, la valeur de 𝛷_𝑓 est calculée selon l’équation (V-6) Ici, 𝒓 est le vecteur de déplacement entre le centre de la cellule amont et la surface.

Φ_𝑓= Φ + grad(Φ). 𝑟 (V-6) D’autres schémas sont disponibles dans le code de calcul Fluent 15, parmi lesquels le schéma de discrétisation power-law qui calcule la valeur sur la face à partir d’une équation monodimensionnelle de convection-diffusion, le schéma QUICK qui consiste en une moyenne pondérée du deuxième ordre, etc. Pour le terme de diffusion, c’est-à-dire le premier terme de la partie droite de l’équation (V-4), un schéma centré du deuxième ordre, comme écrit dans l’équation (V-7), est utilisée pour éviter la diffusion numérique. Ici, 𝛷 ₁ et 𝛷 ₂ sont respectivement les valeurs de la variable aux centres des cellules adjacentes à la face 𝑓 ; 𝑟 ₁ et𝑟 ₂, les vecteurs déplacements entre les centres des cellules adjacentes et la face 𝑓 .

Φ_𝑓 =¹₂(Φ₁+ Φ₂) +¹₂(𝑔𝑟𝑎𝑑(Φ₁). 𝑟 ₁+ 𝑔𝑟𝑎𝑑(Φ₂). 𝑟 ₂) (V-7)

B. Discrétisation temporelle

Dans notre étude nous avons utilisé le schéma implicite qui présente l’avantage qu’il est stable indépendamment du pas de temps Δt, mais il nécessite l’inversion d’une matrice

Le premier terme de l’équation (V-4), est une dérivée temporelle. En utilisant la forme générique de l’équation (V-8), on peut discrétiser temporellement au premier ordre ou au deuxième ordre, comme écrit respectivement dans les équations (V-9) et (V-10). Ici, 𝑛 + 1

136 représente l’instant 𝑡 + 𝛥𝑡 ; 𝑛, l’instant 𝑡 ; et 𝑛 − 1 l’instant 𝑡 − 𝛥𝑡.

∂Φ 𝜕𝑡 = 𝐹(Φ) (V-8) Φ𝑛+1−Φ𝑛 Δ𝑡 = 𝐹(Φ) (V-9) 3Φ𝑛+1−4Φ𝑛+4Φ𝑛−1 2Δ𝑡 = 𝐹(Φ) (V-10) Une fois choisi l’ordre de la discrétisation du terme de gauche dans l’équation (V-8), il faut choisir la méthode d’évaluation de 𝐹(𝛷) :

• soit à l’instant t (schémas explicites) : 𝐹(𝛷)𝑛

• soit à l’instant t+Δt (schéma implicite) : 𝐹(𝛷).𝑛+1

V.2.2.3. Couplage pression – vitesse

Fluent propose trois méthodes de couplage pression-vitesse : SIMPLE, SIMPLEC et PISO.

L’algorithme SIMPLE (semi-implicit method for pressure-linked equations) a été proposé par Patankar et Spalding (1972) [128], cité dans Versteeg et Malalasekera, (2007)

[169], pour assurer la liaison correcte entre la pression et la vitesse en utilisant la disposition de

la grille décalée. Van Doormal et Rithby (1984) [165], ont proposé l'algorithme SIMPLEC (SIMPLE-consistant), cet algorithme suit les mêmes étapes que l' algorithme SIMPLE avec une petite variation de manipulation des équations permettant aux équations de correction de vitesse SIMPLEC d'omettre des termes moins significatifs que ceux omis dans SIMPLE. L’algorithme PISO (Pressure Implicit with Splitting of Operators) proposé par Issa (1986) [80], cité dans Versteeg et Malalasekera, (2007) [169], est une procédure de calcul de la vitesse-pression développée pour le calcul non itératif des écoulements instationnaires compressibles. Il a été adapté avec succès pour la solution itérative des problèmes de stabilité [169].Les calculs en régime permanent utilisent généralement SIMPLE ou SIMPLEC, tandis que PISO est recommandé pour les calculs instables et les maillages fortement asymétriques.