Condition limite sur le fond et les murs

La mise en mouvement d’une particule peut être décrite par trois variables adimensionnelles :

 Le nombre de Shields 𝜃 :

𝜃 =_(𝜌 ^𝜏

𝑝−𝜌)𝑔𝑑_𝑝 (V-36) Où 𝜏 est la contrainte de cisaillement, 𝜌 la masse volumique de fluide porteur, 𝜌_𝑝 la masse volumique de la particule et 𝑑_𝑝 le diamètre de la particule. Ce nombre représente la contrainte de cisaillement adimensionnalisée par les caractéristiques des particules.

 Le nombre de Reynolds particulaire Re*, défini dans l’équation (V-37), fait intervenir la vitesse de frottement u* (équation (V-38) comme vitesse caractéristique et le diamètre de la particule comme longueur caractéristique. Ce nombre caractérise la turbulence au niveau de la particule

𝑅𝑒∗ = ^{𝜌𝑢∗𝑑}𝑝

𝜇 (V-37) 𝑢∗= √_𝜌^𝜏 (V-38) Le diagramme de Shields, présenté sur la (Figure. V. 3), représente en abscisse le nombre de Reynolds particulaire et en ordonnée la contrainte de cisaillement adimensionnelle θ. Le diagramme met en évidence une bande correspondant à la mise en mouvement des particules. Dans la partie inférieure de la bande, les particules sont immobiles ; dans la partie supérieure, elles sont en mouvement. L’utilisation d’une bande pour caractériser la mise en mouvement

146 traduit bien le fait que ce phénomène n’est pas pleinement déterministe et possède un caractère aléatoire lié d’une part à la nature turbulente de l’écoulement et d’autre part à l’arrangement de la particule au sein des particules environnantes.

Figure. V. 3 : Diagramme de Shields [26]

Plusieurs auteurs ont proposé des relations analytiques permettant de calculer la contrainte de Shields uniquement à partir des propriétés des particules et du fluide. Yalin (1977) [182] et Van Rijn (1984) [166] ont proposé l’utilisation du diamètre adimensionnel d*

𝑑∗= (^𝑅𝑒_𝜃^∗2) 1 3 = 𝑑_𝑝[^𝜌(𝜌𝑝−𝜌)𝑔 𝜇2 ] 1 3 (V-39) Une autre interpolation de la courbe de Shields a été fournie par Brownlie (1981), cité par Degoutte (2012), permettant le calcul de la contrainte de cisaillement adimensionnelle 𝜃 en fonction du diamètre adimensionnel 𝑑∗ (relation (V-40))

Grâce à cette relation, particulièrement intéressante pour une implémentation numérique, la valeur de la contrainte de cisaillement critique peut être calculée uniquement à partir des propriétés des particules et du fluide porteur.

𝜃 = 0.22𝑑∗−0.9+ 0.06 × 10−7.7𝑑^∗−0.9 (V-40) Après avoir constaté une tendance du diagrame de Shields à surestimer les contraintes critiques nécessaire à la mobilisation des particles les plus fines, Soulsby (1997) a proposé une autre formulisation analytique (relation (V-41)) corrigeant le diagramme de Shields pour les faibles valeurs de 𝑑∗ (Figure (V.4)).

147 𝜃 =_1+1,2.𝑑^0.3 _∗+ 0,055. (1 − 𝑒−0,022.𝑑^∗) (V-41)

Figure. V. 4 : Contrainte critique de mise en mouvement de Shields (1936) [151] et après

modification de Soulsby (1997) [154] pour les particules fines.

Il faut noter que sur le diagramme de Shields initial, les plus faibles valeurs de 𝑅𝑒∗

investiguées sont de l’ordre de 1. Cela correspond à un diamètre adimensionnel de l’ordre de 2-3. La formulation proposée par Soulsby (1997)[154] est par contre valable pour des diamètres

adimensionnels de l’ordre de 0,2.

V.3. 3.4.1. Création de nouvelles conditions d’interaction particule/paroi

Deux conditions sont disponibles dans les codes de calcul :

Reflect : la particule atteignant la paroi rebondit selon une loi de choc. Les coefficients de

restitution normale et tangentielle permettent de déterminer la quantité de mouvement de la particule après le choc. Reflect est également adaptée au fond des ouvrages lorsqu’aucune particule ne se dépose pas. La condition reflect ne prenant pas en compte le dépôt, elle est adaptée aux surfaces sur lesquelles aucune particule ne se sédimente. C’est cette condition qu’on utilise en général sur les parois verticales des ouvrages ou encore sur la surface libre lorsque cette dernière est une limite du domaine de calcul (condition de symétrie)

148 ( trapped). La condition trap, prend en compte le dépôt. Elle est adaptée au fond des ouvrages lorsque les dépôts sont répartis sur toute la surface. En revanche, lorsqu’il y a des zones préférentielles de dépôt, cette condition aboutit à de mauvais résultats [156].

Pour évaluer si une particule se dépose ou est remise en suspension dans l’écoulement, deux méthodes ont été classiquement utilisées :

 La condition BSS, correspondant au seuillage de la contrainte de cisaillement sur le fond ([51], [171], [1]).

 La condition BTKE, correspondant au seuillage de l’énergie cinétique turbulente sur le fond ([51], [185]).

La principale difficulté liée aux conditions BSS et BTKE réside dans le choix des valeurs de la contrainte de cisaillement seuil 𝜏 _𝑠 et de l’énergie cinétique turbulente seuil 𝑘_𝑠. Dufresne et al. (2009) [51] ; Vosswinkel et al. (2012) [171]; et Yan (2013) [185]) sont appuyés sur le diagramme de Shields pour calculer une contrainte de cisaillement seuil en fonction des propriétés moyennes des particules (diamètre médian de l’échantillon par exemple).Dans notre étude en nous nous sommes appuyés sur la formulation proposée par Soulsbay (1997) [154] qui est valable pour les grand et les petits particules.

Le paragraphe suivant s’attache à l’implémentation de nouvelles conditions d’interaction particule /paroi basée sur le couplage des deux conditions BSS et BTKE.

1. La première étape : calcule la contrainte de cisaillement seuil

La condition BSS se base sur la comparaison de la contrainte de cisaillement au niveau de la paroi 𝜏_𝑤 avec une contrainte seuil calculée pour chaque particule 𝜏 _𝑠. La valeur seuil 𝜏 _𝑠 est déduite du diagramme de Shields. La contrainte critique adimensionnelle θ, définie dans l’équation (V-36), est calculée à partir d’une expression analytique de la courbe de Soulsby (1997)[154], équation (V-41) en fonction du diamètre adimensionnel de la particule.

2. La deuxième étape : consiste à exploiter les contraintes de cisaillements calculés pour calculer l’énergie cinétique turbulente seuil

D’après Pope et al. (2006)[132], la contrainte de cisaillement peut s’exprimer comme une

fonction linéaire de l’énergie cinétique turbulente k seuil par la relation suivante :

𝜏 = 𝜌. 𝐶. 𝑘 (V-42) Où 𝐶: est une constante égale à 0,20.

149 On peut résumer les étapes de calcul comme suit :

 Une masse volumique est choisie pour calculer le diamètre d* (équation (V-39)). Ce choix est nécessaire pour réaliser les étapes suivantes.

 Plusieurs diamètres adimensionnels d* sont calculés.

 La contrainte de cisaillement seuil 𝜏_𝑠 est calculée pour chaque d* des particules de grands diamètres à partir de la relation (V-36), et les formulations de la courbe de Shields initiale (V-40).Pour les particules de petits diamètres la contraintes de cisaillement seuil 𝜏_𝑠 est modifiée par Soulsby équation (V-41), qui représente la valeur choisie pour calculer la force de cisaillement correspondante.

 Connaissant la contrainte de cisaillement critique calculée, une estimation de l’énergie cinétique turbulente 𝑘_𝑠, est faite à partir de la relation (V-42) pour chaque d*. Cette énergie cinétique est considéré comme une énergie cinétique seuil, après on compare cette dernière avec l’énergie cinétique turbulente alors :

 Pour𝑘 < 𝑘_𝑠, l’utilisation de la condition trap

 Pour𝑘 ≥ 𝑘_𝑠, l’utilisation de la condition reflect .