Loi de comportement thermo-poro-élastique (approche micro )

p = p_l -S_l p_g - p_l -U (2.85)

Dans cette expression U l’énergie libre des interfaces, représente la contribution des effets de tensions superficielles qui devient de plus en plus prépondérante lorsque l’humidité relative diminue :

( )

=

ò

S¹_l ^{c l l}

U p S dS (2.86)

Les auteurs montrent que la prise en compte de ce terme peut rendre compte des effets de l’énergie de surface sur le retrait de séchage des matériaux cimentaires. Notons que certains auteurs obtiennent les relations de compatibilité à partir de raisonnements micromécaniques. Ce sera l’objet de la section suivante. Les différents modèles présentés ci-dessus supposent que le squelette solide du milieu poreux est homogène. Dans le cas des matériaux cimentaires fortement hétérogène avec un caractère multi-échelle, il est difficile de mettre en œuvre ce genre de modèles pour estimer les propriétés poro-élastiques quand on sait par exemple que le coefficient de compressibilité de la phase solide k_s intervient directement dans les différentes expressions. Une alternative à ce type de modèles est l’approche micromécanique et qui a été privilégiée dans cette étude. Il s’agit d’incorporer à l’échelle macroscopique des informations dont on dispose au sujet de la microstructure et de la physique se jouant à l’échelle microscopique. Un des intérêts de l’approche réside dans le fait que les formulations macroscopiques homogénéisées sont établies en considérant les constituants de base du milieu poreux et en estimant de façon plus réaliste leurs interactions compte tenu de leurs dispositions, formes, orientations etc….

II.6 Loi de comportement thermo-poro-élastique (approche micro )

L’approche micromécanique vise à déduire à partir d’informations sur les différentes phases constitutives du matériau à une échelle qu’on qualifie de microscopique, les propriétés homogénéisées du matériau à une échelle qui elle est macroscopique. Il s’agit d’une substitution des propriétés locales par des propriétés moyennes ou équivalentes. Cette démarche de manière générale se décline en trois phases : la représentation du volume élémentaire représentatif du matériau qui permet de bien séparer les deux échelles, la localisation qui est la résolution du problème posé sur les frontières du volume élémentaire et enfin l’homogénéisation des propriétés effectives du matériau.

69 II.6.1. Représentation : notion de VER

La démarche micromécanique repose sur la définition d’un volume élémentaire représentatif VER du matériau hétérogène. Il s’agit du volume qui représente le mieux possible les informations issues de la microstructure du matériau (mécanismes locaux, morphologie et orientation des différentes phases constituantes, etc.…) mais malgré tout suffisamment simple pour permettre une résolution du problème posé. Le choix de ce volume élémentaire représentatif doit répondre aux conditions de séparation d’échelles. Dans le cas d’un milieu aléatoire on différencie trois longueurs caractéristiques : L est la longueur caractéristique de la taille de la structure ou de l’ouvrage étudié, l la longueur caractéristique du VER et d la longueur caractéristique de la taille des hétérogénéités. Pour que la méthode d’homogénéisation puisse être valable, l’ordre de grandeur de la longueur caractéristique du VER doit satisfaire les deux conditions suivantes :

- l est suffisamment petit devant L de façon à garantir que le matériau homogène équivalent défini à l’échelle macroscopique puisse être traité comme un milieu continu sur lequel les outils classiques de différenciation et d’intégration sont applicables et sur lequel on est en mesure de déterminer les champs de contraintes et de déformations.

- l est suffisamment grand devant la taille des hétérogénéités ou des pores, ce qui confère au VER son caractère représentatif de la statistique des hétérogénéités et permettant ainsi de caractériser son comportement par une loi homogène.

En résumé les deux conditions s’écrivent : d ll LL. Ces deux conditions sont illustrées sur la Figure 2.8.

Figure 2.8 : Différentes échelles caractérisant la structure et son matériau constitutif

II.6.2. Localisation

Lorsque le VER est défini, la seconde étape du processus est la « localisation ». Il s’agit ici d’obtenir les relations entre les grandeurs microscopiques et macroscopiques par la résolution du problème posé sur le domaine W occupé par le VER. Deux sortes de conditions aux limites sont possibles à imposer : les conditions aux limites homogènes en déformation et les conditions aux limites homogènes en contrainte.

70

II.6.2.1 Conditions aux limites en déformation

Dans ce cas on impose sur le contour ¶W du VER le champ de déplacement affine

( )

=

u x E . x avec E la déformation macroscopique homogène et u x

( )

le champ de déplacement local. L’équilibre du domaine devant être assuré en l’absence des forces de volumes, on a (Dormieux et al. 2006) : spatiale des déformations locales induites par le champ de déplacement appliqué. En se plaçant dans le cadre de l’élasticité linéaire, le problème de localisation posé sur W est le suivant :

( ) ( ) ( ) ( )

( )

^x est le tenseur d’ordre 4 d’élasticité dans le domaine W. Le problème est linéaire et admet une solution unique. Le champ de déformation e associé au champ de déplacement dépend linéairement de la déformation macroscopique E sous la forme :

( )

^{x =}

( )

^{x :E " ÎWx}

e

( ) ( ) ( ) ( )

^{x :x :} (2.91)

est un tenseur du quatrième ordre appelé tenseur de localisation en déformation. En utilisant l’équation (2.89) on montre aisément que sa moyenne dans tout le VER est le tenseur identité d’ordre 4 :

== (2.92)

71

Par ailleurs il dépend de la position x dans le domaine W et possède les propriétés de symétrie mineures c'est-à-dire _ijklijkl == _jikljikl == _ijlkijlk == _jilkjilk. Par contre la symétrie majeure n’est pas assurée :

ijkl ¹¹ klij ijkl ¹ klij.

II.6.2.2 Conditions aux limites homogènes en contrainte

Ici on impose sur la frontière ¶W une condition en effort T^dtel que T^d = × n.  est le tenseur des contraintes macroscopiques de Cauchy et n le vecteur normal unitaire extérieur au domaine.

En appliquant le théorème de Gauss on trouve de la même manière que dans le cas des conditions aux limites en déformation que la contrainte macroscopique _ est la moyenne spatiale des contraintes locales induites par l’effort appliqué sur le contour ¶W soit :

1

( )

W x d

= W =

W

ò

^

s s (2.93)

De manière analogue au cas des conditions homogènes en déformations le problème posé sur le VER s’écrit :

avec

( ) ( )

^xx le tenseur de souplesse microscopique. La linéarité du problème permet de relier la contrainte à chaque point x à la contrainte macroscopique par la relation suivante :

( )

x =

( )

x : 

s

( ) ( )

x :  (2.95)

est le tenseur d’ordre 4 de localisation en contraintes et possède les mêmes caractéristiques que le tenseur (symétrie mineure et absence de symétrie majeure) :

== (2.96)

II.6.3. Homogénéisation

Il s’agit ici de déterminer l’expression du comportement moyen du milieu équivalent. Pour cela deux approches sont envisageables : l’approche directe et l’approche énergétique. Introduisons tout d’abord le lemme de Hill-Mandel.

II.6.3.1 Lemme de Hill-Mandel

Soient un champ de contrainte statiquement admissible (^div

(

^s

( )

^x

)

^{=0 dansW) et e}

^{( )}

^{x un}

champ de déformation cinématiquement admissible. Si ces deux champs, non nécessairement

72

associés, vérifient la condition de contrainte homogène au contour ou déformation homogène au contour, alors on a :

L’interprétation mécanique est que la moyenne spatiale du travail des efforts internes microscopiques correspond au travail macroscopique.

II.6.3.2 Approche directe

La loi de comportement à l’échelle microscopique permet d’écrire pour les deux sortes de conditions aux limites en déformation :

( )

^{x =}

( ) ( )

^{x : x =}

( )

^{x :}

( )

^{x :E}

s

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^{x :x :}e^eeeeeee

( )

^xxx

( ) ( )

^{x :}

( ) ( )

^{x :E} (2.99) et en contraintes :

( )

^{x =}

( )

^{x :}

( )

^{x =}

( ) ( )

^{x : x :}

e

( ) ( ) ( )

^{x :x :}sssss

( ) ( ) ( )

^xxx

( ) ( ) ( ) ( )

^{x : x :} (2.100)

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