Conditions saturées

On aborde ici la question de la formulation de la loi de comportement thermo-poro-élastique en conditions saturées. Cette loi est dérivée de l’énergie libre  du système ouvert qui échange de la chaleur et une masse de fluide avec l’extérieur. Les variables d’état de ce système sont le tenseur des déformation de Green-Lagrange D, de la température T et la masse de fluide échangée par unité de volume initial m. Le matériau est élastique si la dissipation intrinsèque est identiquement nulle au cours de toute évolution du milieu. La loi de comportement thermo-poro-élastique est définie par les équations d’état de l’équation (2.37). Un cas particulier important est celui où l’énergie libre est une fonction quadratique des variables d’état D, m et T(Coussy 1995). Sous l’hypothèse de transformations infinitésimales le tenseur de Green-Lagrange s’identifie au tenseur des déformations e et le tenseur de Piola-Kirchoff au tenseur des contraintes de Cauchy s . La loi de comportement élastique pour un milieu poreux par rapport à un état de référence indicé par 0 s’écrit sous la forme (Coussy 1995; Coussy 2004) :

( )

r æ ö

= + -ç ÷ -

-è m_fl ø B A

: M T T

0 0

0

s s₀ :e _{- ç}^ææææ_çççç (2.57)

62

- : le tenseur d’élasticité isotherme du 4^ème ordre non drainé

- A : le tenseur d’ordre 2 du couplage thermo-mécanique non drainé - B : le tenseur de Biot, le tenseur de couplage hydro-mécanique - M : le module de Biot

- r⁰_fl : la masse volumique du fluide à l’état de référence - p : la pression de fluide

- C_th : la capacité de chaleur volumique non drainé à déformation nulle - s₀ : l’entropie massique du fluide à l’état de référence

avec k₀ et m₀ les coefficients de compressibilité et de cisaillement drainé, b le coefficient de Biot tel que B=b1 et a_th le coefficient de dilatation, et sont les opérateurs de projection orthogonaux : tels que = Ä= Ä11Ä1 et = -= -1 31 3// . Les équations (2.57) et (2.58) (ou de manière équivalente (2.60) et (2.61)) constituent les équations du comportement thermo-poro-élastique linéaire. Ces dernières exigent l’identification d’un certain nombre de paramètres physiques et mécaniques notamment les paramètres du couplage squelette-fluide. Il convient avant de passer à la suite de spécifier clairement les fonctions de couplage, leur interprétation physique ainsi que les notions de concept de conditions drainées et non drainées.

63 Conditions drainées

Il s’agit d’un système ouvert qui permet l’échange de matière avec l’extérieur et donc la dissipation des surpressions interstitielles (la pression de fluide est constante p- p₀ =0).

Conditions non drainées

Le milieu est un système fermé qui ne permet pas l’échange de matière avec l’extérieur. La variation de la masse de fluide est nulle (dm=0). Il en résulte la création de surpressions interstitielles qui affectent le comportement du squelette solide. Ces surpressions sont exprimées à travers le coefficient de Skempton par :

æ ¶ ö

= çè¶ ÷ø _f

s

m ,T

B p

s (2.63)

Il est important de noter que ces deux définitions se rapportent au volume élémentaire du milieu poreux et non pas à la structure étudiée.

Le coefficient de Biot et le module de Biot quant à eux rendent compte de l’effet de la présence d’eau dans les pores sur le comportement macroscopique du matériau.

Coefficient de Biot

C’est le paramètre non dimensionné du couplage squelette-fluide qui traduit la variation de la contrainte totale engendrée par une variation de la pression interstitielle dans des conditions isothermes et à déformation nulle (Dormieux et al. 2006).

Module de Biot

Le module de Biot, homogène à une contrainte est le paramètre du couplage squelette-fluide qui traduit la variation de la pression interstitielle engendrée par l’apport de masse fluide dans des conditions isothermes et sans déformations (Dormieux et al. 2006).

Couplages poro-élastiques : relations de compatibilités

On s’intéresse dans cette section à l’établissement de relations complémentaires dites de compatibilité (Biot et Willis 1957) pour le milieu poreux. Ces relations permettent de diminuer le nombre de paramètres à identifier dans la formulation générale de la loi de comportement thermo-poro-élastique et qui sont à priori fortement couplés. On écrit la relation existant entre la variation de la porosité et les déformations volumiques du squelette et du matériau (Coussy 2004) :

(

^-f0

) (

^{= -f}0

)

s ^{+ -f f}0

e 1 1 e (2.64)

et la moyenne de la contrainte macroscopique à partir de celle du squelette et des pores :

(

^f

)( )

^f

( )

- = -_{0 0 s} - _s0 - ₀ p-p₀

s s 1 s s (2.65)

64

Dans ces équations e et e représentent les déformations volumiques moyennes du matériau et _s du squelette solide (e=

( )

tre /3 ; es =

(

tres

)

/3). Dans l’état de référence elles sont égales à e ₀ et e . De même les contraintes hydrostatiques moyennes du matériau et du squelette s’écrivent : _s0

( )

= tr /

s s 3, ss ⁼

(

trss

)

/3 ets , ₀ s sont leurs correspondants à l’état de référence. On suppose _s0 que le squelette solide est homogène avec un comportement élastique linéaire tel que :

- =

L’équation d’état du fluide saturant s’écrit :

r r

En combinant dans un premier temps les équations (2.64), (2.65) et (2.66) on a :

(

^-

)

^æ_ç ^{- ö}_÷^{= -}

(

^{f f-}

)

^+æ_ç ^{-f ö}_÷

(

^-

)

On élimine dans un second temps de l’équation (2.71) le terme f f- ₀ à l’aide des équations (2.67) , (2.68) et (2.70) et on la réécrit sous la forme :

65

Cette dernière équation se retrouve aussi sous la forme

f -f milieu poreux (squelette + porosité).

On remarque que le coefficient et le module de Biot dépendent de la porosité du matériau. Plus le matériau est poreux, plus le coefficient de Biot est élevé. La borne de Voigt qui repose sur le principe de minimisation de l’énergie potentielle conduit par exemple à une minoration du coefficient de Biot sous la forme :

f₀ £ = -1 ⁰ £1 argiles et les roches mais rares sont ceux qui concernent les matériaux cimentaires. Dans le cadre de la modélisation plusieurs auteurs abordent le problème sous l’angle de « contrainte effective ».

Par définition c’est une fonction de la contrainte totale et de la pression interstitielle de l’eau, qui contrôle les effets mécaniques dus à une modification de l’état de contrainte auquel est soumis un élément de matériau. Terzaghi (1936) a été le premier à identifier le rôle important de la pression interstitielle dans la déformation des sols. Il définit la contrainte effective, la seule variable de contrainte à gouverner la réponse en déformation du milieu poreux saturé comme la différence entre la contrainte totale s et la pression du fluide p:

= - 1

eff p

s s (2.77)

En réalité cette hypothèse n’est valable que dans le cas où l’on considère que la matrice solide est incompressible. (Lade et De Boer 1997) montrent que le principe de Terzaghi s’applique à la plupart des cas géotechniques mais que les écarts qu’il produit sont importants lorsque les contraintes sont élevées. (Biot et Willis 1957) à la suite des travaux de Terzaghi présentent une extension de ces résultats dans le cas où les grains solides ne sont pas incompressibles. Ils montrent que la contrainte effective doit s’écrire comme la différence entre la contrainte totale et une fraction cp de la pression interstitielle soit :

c

= - 1= - 1

eff p bp

s s s (2.78)

66

La condition c = =b 1 correspond à l’hypothèse initiale d’incompressibilité des grains solides de Terzaghi (k_s Æ ¥). La notion de contrainte effective est souvent utilisée en mécanique des sols et des roches. D’autres expressions du coefficient c ont été proposées :

c f= (Pietruszczak et Pande 1995) pour les matériaux cimentaires ;

c = -1 a (Skempton et Bishop 1954; De Buhan et Dormieux 1999) pour les roches, a étant la surface de contact du squelette solide avec le fluide saturant la porosité ;

(

^f

)

infinitésimale et l’indice 0 se rapportant toujours aux valeurs initiales. Les trois expressions qui constituent la base de la formulation thermo-poro-élastique dans la condition partiellement saturée s’écrivent (Bary 2004) :

On peut regrouper les deux premières équations sous la forme (Coussy 2004, Bary 2004) :

(

j j

)

^Bj ^A

^{( )}

: p p T T

= ₀0+ ₀0 ^:::^: -

( ( ( ( (

^ppp^p - ₀ - ₀ - ₀

s s e (2.80)

B_j est le tenseur de Biot de la phase fluide j, M_jk est le module de Biot de la phase j lorsque j=k et un module de couplage entre phases lorsque j ¹k (définissant la variation de pression de la phase j quand la masse de la phase k varie). Rappelons que et ₀₀ sont liés par la relation l’évolution de la pression de la phase j quand la température relative T T- ₀ change. Dans le cas isotrope la dernière équation s’écrit :

(

k m

)

: bj¹

(

pj p j

)

athk T

⁽

T

⁾

¹

= ₀+ 3 ₀ +2 ₀

) ^{) ) ) ) ) ) )}

^:::: -^bbbbbbbbjjjj¹¹¹¹1¹

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

- ₀ -3 ₀ - ₀

s s e (2.81)

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