Application de la méthode d’homogénéisation aux milieux poreux

Cette partie concerne l’application de l’approche micromécanique aux milieux poreux saturés et partiellement saturés. Ceci a fait l’objet de plusieurs études dans la littérature notamment (Bourgeois 1997; Chateau et Dormieux 1998; Dormieux et al. 2002; Dormieux et al. 2006; Giraud et al. 2007). Les équations du comportement thermo-poro-élastique présentées précédemment sont établies en s’appuyant sur les outils classiques de la thermodynamique des milieux continus.

Dans cette section on vise à déterminer ces mêmes équations par homogénéisation. La démarche consiste par un changement d’échelle à caractériser le comportement effectif macroscopique du milieu poreux à partir de l’exploitation des informations issues de l’échelle microscopique.

II.7.1 Conditions saturées

On se place dans le cas d’une condition aux limites en déformation homogène. On considère un VER constitué d’une phase solide élastique linéaire W^s et de la porosité W^p telle que

s p

W = W ÈW . On suppose que la frontière ¶W du VER est constituée uniquement de la phase solide. On s’intéresse particulièrement à la part du comportement liée aux déformations du squelette et non pas aux phénomènes de transport de la phase liquide par rapport au squelette solide. On représente les efforts intérieurs dans le fluide par un champ de pression uniforme et on néglige les contraintes visqueuses et les fluctuations de la pression de fluide p. La formulation du problème (P) s’écrit :

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où G_sl désigne l’interface entre la phase solide et liquide et n la normale unité sortant du solide.

La connectivité du réseau poreux est prise en compte par le fait que la pression du fluide p est considérée comme un paramètre de chargement indépendant. On peut réécrire la loi de

Cette contrainte s_p peut donc être interprétée comme une « précontrainte » dans les pores. On rappelle que l’on veut exprimer la loi de comportement macroscopique, i.e. la relation entre

Ce problème n’est autre que le problème classique d’homogénéisation présentée dans la section II.5. La déformation microscopique est reliée à la déformation macroscopique par la relation :

( )

x

( )

x :E

¢ = ¢

e

( ) ( ) ( )

x :EE^¢ (2.164)

La contrainte macroscopique correspondant s’écrit :

( ) ( )

^{x : x} _W ^{:E hom :E}

¢= ¢ = ¢= ¢

S ^s

( ) ( ) ( ) ( ) (

^{x :x :}

) ( ) ) ( )

^xx _W ^{::EEEEE¢ hom :EE¢ (2.165)}

avec ^homhom le tenseur d’élasticité homogénéisé.

2- Le second problème est celui où on considère uniquement la précontrainte s_p

(

E=0 :

)

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L’équation (2.168) permet alors d’écrire :

( ) ( )

_W

( ) ( ) ( )

_W

( ) ( )

_W

En utilisant l’expression de la précontrainte de l’équation (2.162), on a :

( )

macroscopique nulle :S¢¢ = -pB. On obtient donc pour le tenseur de Biot la relation :

( )

C’est la première équation d’état de la poro-élasticité. Lorsque la phase solide est isotrope on a

=3 +2

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avec A^s_h la composante hydrostatique du tenseur de localisation de la déformation de la phase solide : ==AA^s_h^s_h ++++AAAA^s_d^s_d .

Pour obtenir la seconde équation d’état du milieu poreux, on utilise la variation de la porosité lagrangienne dans les deux problèmes (P’) et (P’’). Elle s’écrit de manière générale :

f f- ₀ =f₀tr e _Wp (2.174)

et comme e e= ¢+e¢¢ on a ^{f f}- ₀ =^f₀

(

tr e¢ Wp +tr e¢¢ Wp

)

.

Dans le problème (P’) la combinaison des équations (2.164) et (2.171) donne :

1 1 B E

p p

: : :

f₀ e^¢ _W =f_{0 WW} =BBB: (2.175)

Ensuite dans le problème (P’’) la moyenne volumique de la déformation macroscopique sur W étant nulle on peut écrire :

( )

p s

f₀ e¢¢ _W = - -1 f₀ e¢¢ _W (2.176) où e^¢¢ _Ws est la moyenne volumique de la déformation sur la phase solide. Le comportement élastique de cette phase solide permet d’écrire :

(

1^-f0

)

^¢¢ _W^{s = -}

(

1 ^f0

)

^{s : ¢¢} _W^ss En combinant cette dernière relation avec l’équation (2.177) on obtient :

( )

1 p 1 1 B

: p : s :

f₀ ^e¢¢ _W = ^{s :}

(( ( ( (

-fff₀01¹¹+ ^(2.179) Finalement la variation totale de porosité peut s’écrire sous la forme :

B E p

Dans le cas d’une matrice homogène et isotrope le module de Biot du squelette solide prend la forme :

94 constitué d’une phase liquide et d’une phase gazeuse. La particularité de cette configuration réside dans les tensions de surface générées par l’interface liquide/gaz. Ces tensions de surface sont connues pour impacter le comportement macroscopique et sont prises en compte explicitement dans ce paragraphe. Les tensions de surface en l’occurrence liquide/solide existent aussi dans le cas du matériau saturé mais sont souvent négligées pour des raisons pratiques. Dans le domaine poreux W^p on distingue la partie occupée par la phase liquide W_l^pet celle occupée par la phase gazeuse W_g^p. On note p_l la pression de la phase liquide et p_g la pression de la phase gazeuse.

La configuration initiale est celle du matériau saturé et caractérisée par une contrainte macroscopique nulle S= p_l =0. Les contraintes microscopiques s₀^s dans la phase solide dans cette même configuration initiale ne sont donc pas nulles puisqu’elles sont équilibrées par les tensions qui s’exercent sur l’interface liquide/solide g_sl (Dormieux et al 2004) :

(

1

)

dans les pores s’écrit (Dormieux et al 2004) :

( ) ( ) ( )

l’interface G^a. Cette dernière équation peut se réécrire sous la forme :

( ) ( ) ( )

La décomposition du problème en sous problèmes élémentaires comme dans le cas du problème du matériau saturé conduit à l’expression suivante de la précontrainte macroscopique :

95 droite de cette dernière équation est nulle et on a :

( )

avec B_g et B_l respectivement les tenseurs de Biot gazeux et liquide du milieu poreux :

( ) ( )

B 1 p B 1 p

g l

g =fg :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x _W^pp^p et B B B^BBBBBBllll =ffllllllllll¹¹::

( ) ( ( )

xx _WW^{p (2.189)}

Finalement on peut écrire comme dans le cas du matériau saturé la loi de comportement sous la forme :

ou de manière équivalente sous la forme :

( )

avec B_g le tenseur de Biot du milieu partiellement saturé. On remarque qu’en négligeant le terme associé aux tensions de surface on retrouve l’expression de la contrainte effective de Bishop comportement présentée dans la section précédente.

II.8 Conclusion

Nous avons à travers ce chapitre tout d’abord montré la complexité des phénomènes intervenant dans les problèmes THM pour les matériaux cimentaires. Un grand nombre de paramètres et grandeurs physiques interviennent dans les équations, et ceux-ci varient généralement en fonction des variables d’état du système. L’identification expérimentale de ces paramètres est souvent couteuse et n’est souvent possible qu’à un degré de précision relativement faible. L’approche

« macro » basée sur la thermodynamique des processus réversibles permettant d’identifier un certains nombre de paramètres du couplage THM à savoir le coefficient de Biot et le module de Biot a été exposée. La seconde approche qui consiste à utiliser les informations de la microstructure du matériau et d’en déduire à travers des techniques d’homogénéisation les

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propriétés macroscopiques du matériau a également été abordée. C’est cette dernière approche que nous avons adoptée dans la modélisation proposée dans le chapitre suivant. Elle est totalement liée aux schémas d’homogénéisations choisis. C’est en cela que nous avons passé en revue les schémas qui sont fréquemment utilisés dans le cadre de l’homogénéisation des matériaux cimentaires. Une analyse comparative entre ces schémas a ensuite été faite permettant de discriminer ceux qui seraient à priori les plus adaptés à notre cas d’étude.

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Chapitre III

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