4.3 Le r´esultat de Steel et le r´esultat classique
4.3.1 Les variables probl´ematiques d’un mod`ele fonctionnel
tionnel causal
Ainsi que nous venons de l’indiquer, la question qui nous occupe dans cette sous-section est de savoir si les variables Ui d’un mod`ele fonction-
nel causal sont des variables exog`enes d’un syst`eme r´eel que ce mod`ele repr´esente. Cette question demande en fait `a ˆetre pr´ecis´ee. En effet, deux cadres th´eoriques diff´erents ont ´et´e introduits dans ce qui pr´ec`ede :
1. le cadre classique dans lequel on montre que la condition de Markov causale est satisfaite par tout syst`eme d´eterministe S dont les variables exog`enes sont conjointement ind´ependantes. Dans ce cadre, les variables exog`enes de S sont les variables exog`enes d’un ensemble de variables qui repr´esentent toutes les propri´et´es observables pertinentes dont l’ins- tanciation d´epend de S ;
2. le cadre introduit par Steel, dans lequel il montre que tous les mod`eles fonctionnels causaux dont les variables Ui sont conjointement
ind´ependantes satisfont la condition de Markov causale.
Nous voulons maintenant d´ecider si Steel est fond´e `a dire qu’il montre que tout syst`eme S sont les variables exog`enes sont conjointement ind´ependantes est d´eterministe. Il nous faut donc d´eterminer si les variables Ui d’un mod`ele
fonctionnel causal MS qui repr´esente toutes les propri´et´es observables dont
4.3. Le r´esultat de Steel et le r´esultat classique 167
On peut commencer ici par remarquer que Steel manifeste une h´esitation au moment de d´esigner les variables Ui d’un mod`ele fonctionnel causal. Plus
pr´ecis´ement, il introduit les mod`eles fonctionnels comme des mod`eles sur « un ensemble de variables endog`enes X = {X1, . . . , Xn} [...] et un ensemble
de variables exog`enes ou termes d’erreur U = {U1, . . . , Xk} »26 Ce passage
trahit une incertitude relative au statut des variables de U – dont le lecteur aura compris que nous la consid´erons significative. Mais par ailleurs il sugg`ere un point sur lequel faire porter l’analyse. Ce point est celui de la diff´erence entre variables exog`enes et termes d’erreur.
Variables exog`enes et termes d’erreur. Pour d´efinir les termes d’er- reur et d´eterminer en quoi ils diff`erent des variables exog`enes, il convient de revenir aux ensembles de variables. Plus pr´ecis´ement, deux points doivent ˆetre rappel´es ici :
– les variables exog`enes d’un ensemble de variables V sont celles des variables de V qui n’ont pas de cause directe dans V ;
– un ensemble de variables V peut repr´esenter plus ou moins ad´equatement un syst`eme r´eel donn´e, selon que les variables de V repr´esentent plus ou moins des propri´et´es observables dont l’instan- ciation d´epend du syst`eme.
Cependant, quel que soit le degr´e d’ad´equation de la repr´esentation d’un syst`eme S par un ensemble de variables VS = {V1, . . . , Vn}, il est toujours
possible d’´ecrire un ensemble de n ´equations tel que chaque variable Vi fi-
gure du cˆot´e gauche d’une ´equation et d’une seule, et y figure comme une fonction fi de ses parents dans le graphe causal sur VS et d’une variable Ti.
Il est courant de repr´esenter S au moyen de l’ensemble de ces ´equations et d’une distribution de probabilit´es sur l’ensemble T des variables Ti.27 Les
repr´esentations de ce type sont couramment appel´es « mod`eles fonction- nels causaux»28, et nous parlerons plutˆot de « mod`eles fonctionnels causaux
usuels» afin de les distinguer des mod`eles fonctionnels causaux de Steel : D´efinition 4.6 (Mod`eles fonctionnels causaux usuels) Un mod`ele fonctionnel causal usuel sur un ensemble de variables V = {V1, V2, . . . , Vn}
est un couple compos´e de :
1. un ensemble E de n ´equations tel que chaque Vi apparaˆıt du cˆot´e gauche
du signe « =» dans exactement une ´equation de E, et y apparaˆıt comme une fonction de ses causes directes dans V et d’une variable Ti;
26
Steel (2005) p. 5. Les italiques sont dans le texte original.
27
Sur ce point, voir Pearl (2000) pp. 26–27.
28
2. une distribution de probabilit´es sur l’ensemble T = {T1, T2, . . . , Tn}.
Les variables Ti qui figurent dans un mod`ele causal fonctionnel usuel sont
habituellement appel´es « termes d’erreur» – et nous nous conformerons `a cette habitude.
La fa¸con dont nous venons de pr´esenter les mod`eles causaux fonctionnels usuels fait apparaˆıtre que les variables Ti d’un tel mod`ele ont une fonction
bien pr´ecise : permettre une repr´esentation fonctionnelle des relations entre les variables de V. Pour le dire autrement, chaque Ti repr´esente tout ce qui
contribue `a la d´etermination de la valeur de Vi mais n’est pas repr´esent´e
par l’ensemble de causes directes de Vi dans V. Plus pr´ecis´ement et plus
concr`etement, les variables de T « repr´esentent, en tas [in one heap], les erreurs de mesure, les facteurs omis et quelque ´el´ement purement probabiliste qu’il puisse y avoir dans la d´etermination d’un effet par ses causes»29.
De cet ´eclaircissement emprunt´e `a Cartwright, nous tirons deux points non ind´ependants. En premier lieu, la diff´erence entre variables exog`enes et termes d’erreur se comprend comme une diff´erence de nature entre ce que les unes et ce que les autres repr´esentent, et corr´elativement comme une diff´erence entre deux vis´ees de la repr´esentation. D’un cˆot´e les va- riables exog`enes repr´esentent des familles de propri´et´es observables et la repr´esentation vise `a produire une image ad´equate de la r´ealit´e repr´esent´ee : les propri´et´es repr´esent´ees sont des propri´et´es observables identifi´ees et chaque variable exog`ene repr´esente exactement une telle famille. De l’autre cˆot´e les termes d’erreur repr´esentent des agr´egats d’influences de nature di- verse et la repr´esentation vise seulement `a procurer au mod`ele propos´e la propri´et´e de donner une repr´esentation fonctionnelle des relations entre les variables de V.
En second lieu, il apparaˆıt que le mode de repr´esentation des syst`emes r´eels que constituent les mod`eles fonctionnels causaux usuels n’a pas le mˆeme statut que celui qui sous-tend l’affirmation classique selon laquelle les syst`emes d´eterministes dont les variables exog`enes sont conjointement ind´ependantes satisfont la condition de Markov causale. D’une part, le re- cours aux termes d’erreur manifeste une prise en compte des conditions concr`etes de construction des mod`eles et d’´evaluation de la valeur des va- riables. Cette prise en compte peut ˆetre corr´elative du projet de pr´edire la valeur de certaines variables `a partir de la mesure effective de la valeur d’autres variables. D’autre part, le mode de repr´esentation des syst`emes r´eels que nous avons mentionn´e dans la premi`ere section du pr´esent chapitre et relativement auquel l’affirmation classique fait sens reste abstrait.
29
4.3. Le r´esultat de Steel et le r´esultat classique 169
Variables exog`enes ou termes d’erreur ? Maintenant que nous avons ´etabli la diff´erence entre variables exog`enes et termes d’erreur, nous pouvons revenir aux variables Ui des mod`eles fonctionnels causaux de Steel. Le dernier
paragraphe fait apparaˆıtre que la question de savoir si ces variables sont des variables exog`enes ou des termes d’erreur trouvera une r´eponse en mˆeme temps que la question de savoir ce que ces variables repr´esentent. Or, mˆeme si Steel ne traite pas cette derni`ere question pour elle-mˆeme, il semble bien que les variables Ui d’un de ses mod`eles fonctionnels causaux peuvent repr´esenter
des influences relevant de deux types bien diff´erents. Pour le comprendre, nous revenons `a l’exemple de la voiture quantique. Le mod`ele fonctionnel causal dont Steel dit qu’il repr´esente le syst`eme de d´emarrage de cette voiture compte deux variables Ui, sur lesquelles nous revenons tour `a tour.
De la premi`ere de ces deux variables, U1, nous avons consid´er´e plus haut
qu’elle repr´esente des propri´et´es dont l’instanciation cause la rotation de la clef. Selon cette lecture, il s’agit d’une variable exog`ene au sens propre que nous venons de d´efinir : une variable qui repr´esente une propri´et´e observable dont l’instanciation d´epend du syst`eme consid´er´e, mais qui se trouve ne pas avoir de cause parmi les autres variables utilis´ees pour repr´esenter le syst`eme. Cette lecture est corrobor´ee par la lettre du texte de Steel, qui parle pour U1
– et pour U1seulement – de « parent exog`ene»30. Toutefois, il est apparu d´ej`a
que la terminologie utilis´ee par Steel n’est pas toujours usuelle et l’hypoth`ese selon laquelle U1 serait un terme d’erreur ne peut pas encore ˆetre rejet´ee
d´efinitivement.
Si U1 est un terme d’erreur, il s’agit du terme d’erreur pour X1. Dans ce
cas, U1 repr´esente tout ce qui contribue `a la d´etermination de la valeur de
X1 mais n’est pas repr´esent´e par les variables de l’ensemble X = {X1, X2}.
Surtout, si U1 est un terme d’erreur, alors le mod`ele envisag´e par Steel a le
mˆeme statut que les mod`eles fonctionnels causaux usuels. En cons´equence, il doit compter un terme d’erreur non seulement pour X1, mais encore pour
X2.
U2se pr´esente d’abord comme un tel terme d’erreur. En effet, il est apparu
plus haut que U2 repr´esente le caract`ere probabiliste de l’action de X1 sur
X2. U2 repr´esente donc bien une contribution `a la d´etermination de la valeur
de X2 qui n’est pas repr´esent´ee par les variables de l’ensemble X. Seulement,
U2 ne repr´esente pas tout ce qui contribue `a la d´etermination de la valeur de
X2 mais n’est pas repr´esent´e par les variables de X. Plus pr´ecis´ement, elle ne
repr´esente qu’un des types d’influences qui sont repr´esent´ees ensemble par les termes d’erreur au sens usuel de l’expression. Pour cette raison, elle ne joue pas le rˆole que jouerait un terme d’erreur pour X2 dans un mod`ele fonc-
30
tionnel causal usuel sur X. En cons´equence, U2 n’est pas un terme d’erreur.
Corr´elativement, nous n’avons pas de raison de renoncer `a l’analyse selon laquelle U1 est une variable exog`ene au sens usuel du terme.
Parce que l’exemple de la voiture quantique est choisi par Steel lui- mˆeme pour illustrer son analyse et parce que Steel ne fait par ailleurs jamais r´ef´erence ni `a la possibilit´e d’omettre des variables au moment de construire un mod`ele ou ni `a d’´eventuelles erreurs de mesure, nous consid´erons que les conclusions de l’analyse men´ee dans le paragraphe pr´ec´edent peuvent ˆetre g´en´eralis´ees. Autrement dit, nous consid´erons qu’il est toujours le cas que les variables U des mod`eles fonctionnels causaux de Steel ou bien sont des variables exog`enes dans l’ensemble de variables choisi pour repr´esenter un syst`eme donn´e, ou bien repr´esentent des influences de l’un des trois types d’in- fluences repr´esent´ees par les termes d’erreur usuels. ´Etant donn´e un mod`ele fonctionnel causal du type de ceux que Steel consid`ere, l’ensemble de va- riables U qui lui correspond est donc un objet composite, et l’h´esitation de Steel au moment o`u il introduit les variables Ui trouve une explication. Il
nous reste maintenant `a tirer les cons´equences de cette analyse relativement `a la port´ee du r´esultat ´etabli dans Steel (2005) et, plus pr´ecis´ement, `a son rapport avec le th´eor`eme 4.1.