Les structures ` a base de blocs ost´ eomorphes

et´e port´ee sur une autre g´eom´etrie appel´ee ost´eomorphe que nous d´ecrirons dans le paragraphe

suivant.

1.1.3 Les structures `a base de blocs ost´eomorphes

Dyskin et al.[2003d] se sont pench´es sur la possibilit´e de cr´eer des formes autobloquantes qui

seraient en contact sur toute leur surface. Le r´esultat pourrait ˆetre obtenu `a l’aide de surfaces

non planes, mais qui seraient aussi suffisamment lisses pour minimiser les concentrations de

contraintes par rapport `a celles induites entre les blocs convexes tels que les blocs platoniciens

Figure 1.10 –Assemblage autobloquant de buckyballsDyskin et al. [2003b]

´

etudi´es pr´ec´edemment.

Consid´erons deux surfaces courbes conjugu´ees correspondant `a l’interface entre deux blocs.

Ces deux surfaces ont donc vocation `a entrer en contact l’une avec l’autre. Un exemple est

dessin´e sur la fig 1.11a, la face convexe de l’un des ´el´ements correspond `a la surface concave de

l’autre et inversement.

Dans le cas pr´esent, il est impossible d’induire un mouvement dans le sens de Z ou bien dans

le sens de Y. Le seul mouvement autoris´e restant est un d´eplacement unilat´eral selon X. Avec

cette g´eom´etrie des interfaces, deux blocs pourraient alors ˆetre g´eom´etriquement contraints.

Ce type d’autoblocage peut ˆetre vu comme une version macroscopique du frottement caus´e par

l’interaction des asp´erit´es de deux surfaces en contact. La concentration de contrainte sera aussi

bien moindre que celle provoqu´ee par les connecteurs entre les briques conventionnelles.

Cette id´ee a donn´e naissance `a une nouvelle classe de blocs autobloquants ayant un

fort potentiel dans le d´eveloppement de nouvelles structures et de nouveaux mat´eriaux. La

g´eom´etrie est dessin´ee sur la figure 1.11b. Ces blocs ont une forme de vert`ebre avec des

sym´etries qui permettent le blocage dans les trois directions d’o`u leur nom d’ost´eomorphes.

Dyskin et al. [2003d] ont ´etudi´e des blocs ost´eomorphes dont la forme des surfaces a ´et´e d´ecrite

`

a l’aide d’un polynˆome d’ordre 4 en Z et Y. Yong [2011] a ´etudi´e des blocs ost´eomorphes ayant

des formes de surfaces d´ecrites par d’autres ´equations. On appellera l’´echelle de longueur du

bloc L/2. La pi`ece de la figure a ´et´e dessin´ee grˆace `a ce polynˆome d’ordre 4. La p´eriode du

polynˆome d’ordre 4 est L et correspond `a la longueur du bloc. L’interface entre deux blocs

s’inscrit dans un demi-carr´e, la longueur est donc li´ee `a la hauteur. De ce fait, si la longueur

du bloc est ´egale `a L alors la hauteur du bloc est ´egale `a L/2.

La courbe d´ecrivant la surface non plane est caract´eris´ee par un param`etre appel´e H. Elle

correspond `a la profondeur des parties concaves (ou bien `a la hauteur des parties convexes) de

la surface. En augmentant le rapport H/(L/2), on peut augmenter l’interp´en´etration des blocs

les uns par rapport aux autres ce qui a pour cons´equence d’augmenter l’autoblocage. Grˆace

aux param`etres H et l, on peut obtenir la largeur minimale qui sera ´egale `a l-2H et la largeur

maximale qui sera ´egale `a l+2H. Sur la figure 1.11b, le bloc a pour centre O et la longueur l

1.1. Le concept des mat ´eriaux autobloquants

(a) (b)

Figure1.11 –Principe de l’autoblocage `a partir d’une g´eom´etrie non plane : a)Formes

convexes-concaves du principe des interfaces ost´eomorphes - b) Bloc ost´eomorphe

Figure1.12 –Variation du param`etre H lors de la fabrication d’un bloc ost´eomorphe (ici, c’est la

version simplifi´ee de la g´eom´etrie ost´eomorphe qui est dessin´ee)

est choisie telle que l+2H=L.

On peut observer une sym´etrie par rapport au plan (OXY) et une antisym´etrie par rapport

au plan (OXZ). Les vecteurs Y et Z sont des axes d’antisym´etrie de l’interface entre deux

blocs. Dans le cas du bloc repr´esent´e sur la figure 1.11b, ce rapport vaut 1/4. En alignant

plusieurs blocs dans la direction des surfaces courbes (axe X), on obtient une poutre 1D (voir

fig. 1.14a). Si on d´ecale un des blocs de un demi bloc par rapport `a son voisin, il est alors

possible de construire une plaque (pavage 2D voir fig. 1.14b).

Si en plus de ce d´ecalage, ce bloc subit une rotation de 90°, il est alors possible de cr´eer

des structures en angle droit (voir fig.1.13), ce qui permet de parcourir la troisi`eme dimension

(assemblages 3D, Robson [1978], voir fig. 1.14c). Les blocs ost´eomorphes sont taill´es dans un

parall´el´epip`ede de hauteure et de section carr´eeL

²

. La forme des blocs peut varier en fonction

du param`etre de retrait H qui peut varier de 0 `a

^L₂

(voir sur la figure 1.12).

Figure1.13 –Blocs ost´eomorphes assembl´es perpendiculairement au plan initial

(a) (b) (c)

Figure1.14 – Diff´erents types d’assemblages : a) Poutre, b) Plaque, c) Volume

Il existe plusieurs types de formes ost´eomorphes. Les ost´eomorphes `a surfaces courbes et les

ost´eomorphes `a surfaces r´egl´ees.

Les ost´eomorphes `a surfaces courbes sont construits `a partir d’un cube coup´e en deux. Les

bords oppos´es de ce cube sont ensuite taill´es `a l’aide d’une courbe compos´ee `a partir d’un

polynˆome d’ordre 4 en Y et Z ou bien `a partir de fonction sinuso¨ıdales Yong [2011].

Il est possible de dessiner plusieurs types de blocs ost´eomorphes `a surfaces courbes en modifiant

la fonction math´ematique servant `a dessiner les faces convexes et concaves de la pi`ece. Mais il

est difficile de maˆıtriser la g´eom´etrie de la surface. En pratique, lorsqu’on con¸coit le dessin d’un

bloc ost´eomorphe, le profil de la surface inf´erieure (concave) et de la surface sup´erieure (convexe)

sont introduits dans un logiciel de dessin assist´e par ordinateur. Ce dernier va alors g´en´erer la

surface qui s’appuie sur ces deux courbes par des fonctions splines difficilement maˆıtrisables.

Ces impr´ecisions sur la forme des blocs modifient la nature du contact et perturbent la r´eponse

de l’assemblage.

Yong[2011] avait rencontr´e ces difficult´es dans le cas de blocs ost´eomorphes s’appuyant sur des

courbes sinuso¨ıdales (SC) ou en arc de cercle (CA).

Les ost´eomorphes `a surfaces r´egl´ees ont ´et´e imagin´es lors de la th`ese de Brugger [2008]. Il

s’agit d’une simplification des blocs ost´eomorphes propos´es parDyskin et al. [2003d]. Ces blocs

sont toujours construits `a partir d’un cube coup´e en deux. Les bords oppos´es de ce cube sont

ensuite taill´es `a l’aide d’une droite qui va parcourir ces bords (voir figure1.15). De plus, lorsque

l’´epaisseur des blocs e est choisie ´egale `a

^L₂

, les blocs s’assemblent alors dans des directions

orthogonales permettant ainsi au pavage 2D d’envahir la 3`eme dimension (fig. 1.13) comme

pour les blocs ost´eomorphes `a surfaces courbes.

Dans le document Expériences et simulations de matériaux autobloquants (Page 32-36)