Expériences et simulations de matériaux autobloquants

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Submitted on 3 May 2013

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Magali Dugué

To cite this version:

Magali Dugué. Expériences et simulations de matériaux autobloquants. Autre. Université de Greno-

ble, 2013. Français. �NNT : 2013GRENI002�. �tel-00820069�

TH ` ESE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSIT ´ E DE GRENOBLE

Sp ´ecialit ´e : Mat ´eriaux, M ´ecanique, G ´enie Civil, ´ Electrochimie

Arr ˆet ´e minist ´eriel : 7 ao ˆut 2006

Pr ´esent ´ee par

Magali DUGU ´ E

Th `ese dirig ´ee par Marc FIVEL et codirig ´ee par Yves BR ´ ECHET

pr ´epar ´ee au sein du Laboratoire Science et Ing ´enierie des Mat ´eriaux et Proc ´ed ´es

et de l’ ´ Ecole Doctorale Ing ´enierie – Mat ´eriaux, M ´ecanique, Environne- ment, ´ Energ ´etique, Proc ´ed ´es, Production

Exp ´eriences et simulations de mat ´eriaux autobloquants

Th `ese soutenue publiquement le 18 F ´evrier 2013, devant le jury compos ´e de :

M. Olivier BOUAZIZ

Ing ´enieur-Recherche, HDR `a ArcelorMittal, Rapporteur

M. Christophe BOUVET

Professeur `a l’ISAE, Rapporteur

M. Laurent TABOUROT

Professeur `a l’Universit ´e de Savoie, Examinateur

M. Marc THOMAS

Ing ´enieur-Recherche, HDR `a l’ONERA, Examinateur

M. Marc FIVEL

Directeur de Recherche au laboratoire SIMAP, Directeur de th `ese

M. Yves BR ´ ECHET

Professeur `a Grenoble-INP, Co-Directeur de th `ese

M. R ´emy DENDIEVEL

Professeur `a Grenoble-INP, Invit ´e

Remerciements

Mˆ eme si une th` ese est une exp´ erience tr` es enrichissante, elle est aussi une exp´ erience difficile.

Sans l’aide et le soutien d’un certain nombre de personnes, je n’en serais probablement pas l` a aujourd’hui. Je tiens donc ` a remercier ces personnes.

Pour commencer, j’aimerais remercier mes directeurs de th` ese Marc Fivel et Yves Br´ echet ainsi que R´ emy Dendievel avec qui ¸ca a ´ et´ e un plaisir de travailler pendant mes trois ans de th` ese et avec qui les ´ echanges ont ´ et´ e tr` es instructifs et enrichissants.

J’aimerais ensuite remercier les membres du jury, Olivier Bouaziz, Christophe Bouvet, Laurent Tabourot, Marc Thomas qui ont particip´ e ` a l’´ evaluation de mes travaux de th` ese et qui m’ont fait l’honneur de venir ` a Grenoble pour assister ` a ma soutenance.

Ma th` ese ´ etait inscrite dans le projet ANR MANSART. Ce projet m’a donn´ e l’occasion de rencontrer des personnes ext´ erieures au laboratoire et avec qui j’ai pu ´ echanger et travailler au cours de ma th` ese. Je voudrais donc remercier tous les partenaires du projet MANSART en commen¸cant par Marc Thomas et Yves Br´ echet qui ont pilot´ e ce projet. J’aimerais aussi re- mercier Justin Dirrenberger, Lo¨ıc Courtois, Am´ elie Kolopp, Marion Amiot, Pierre Leite, C´ ecile Davoine, Frank Simon, Pierrick P´ echambert, Dominique Bissi` eres, Dominique Poquillon, Valia Fascio, Sophie Gourdet, Yannick Girard, Eric Maire, Michel Perez, Anne Perwuelz, Maryline Lewandowski, Samuel Forest, Dominique Jeulin et Sjoerd van der Veen.

Je voudrais aussi remercier les membres du laboratoire SIMaP-GPM2 qui m’ont accueillie dans une ambiance chaleureuse et tr` es conviviale. J’aimerais remercier en particulier Franck Pelloux, Charles Josseron et Xavier Bataillon qui m’ont aid´ e pendant la mise en place de mes exp´ eriences. Claire Thomasson et Claude Ghiotti qui ont ´ et´ e d’une grande aide sur les points administratifs. Je voudrais aussi remercier les doctorants du GPM2 ainsi que Ratigal qui ont

´

et´ e d’un grand soutien pendant ma th` ese.

Merci aux membres du projet FYT en esp´ erant pouvoir revoler un jour.

Et pour finir, j’aimerais remercier ma famille qui m’a ´ egalement beaucoup soutenue tout au

long de mon parcours.

R´ esum´ e

Les mat´ eriaux ` a topologie autobloquante sont des pavages p´ eriodiques de blocs ´ el´ ementaires dont la coh´ esion est assur´ ee par la g´ eom´ etrie particuli` ere des blocs ainsi que par l’application d’une pr´ ecompression lat´ erale. Ces assemblages peuvent notamment ˆ etre r´ ealis´ es entre autres possibilit´ es ` a partir de tous les solides platoniciens ou ` a l’aide de blocs ’ost´ eomorphes’.

Ces pavages sont de nouveaux exemples de mat´ eriaux hybrides, car il est possible d’y associer diff´ erents mat´ eriaux dans le but d’obtenir des combinaisons de propri´ et´ es impossibles ` a r´ ealiser dans le cas d’un mat´ eriau monolithique. Ce sont aussi des mat´ eriaux architectur´ es, car il est aussi possible de jouer sur la g´ eom´ etrie des blocs individuels.

De nombreux param` etres appel´ es variables de fabrication influencent le comportement de ces assemblages : le coefficient de frottement et la pr´ ecompression lat´ erale appliqu´ ee aux limites de l’assemblage ont une influence pr´ epond´ erante. L’effet de la pr´ ecompression a ´ et´ e ´ etudi´ e exp´ erimentalement en r´ ealisant des essais d’indentation sur des structures autobloquantes de cubes en alumine ainsi que sur plusieurs assemblages de blocs ost´ eomorphes en polym` ere r´ ealis´ es par prototypage rapide et formant diff´ erentes structures parfois hi´ erarchis´ ees.

Nous avons ´ egalement d´ evelopp´ e un outil num´ erique de simulation du comportement de structures autobloquantes qui utilise la m´ ethode des ´ el´ ements discrets. Chaque bloc est repr´ esent´ e par son barycentre et un rep` ere local associ´ e. Les lois locales qui r´ egissent l’interac- tion entre deux blocs sont d´ etermin´ ees par ´ el´ ements finis.

Nous avons utilis´ e la m´ ethode des ´ el´ ements finis ainsi que le code discret pour simuler des essais d’indentation de structures autobloquantes, et ´ etudier num´ eriquement l’influence de diff´ erentes variables de fabrication ou bien d’autres variables telles que l’endommagement. Les simulations num´ eriques mettent en ´ evidence l’existence d’une courbe maˆıtresse parabolique qui d´ ecrit assez bien les courbes d’indentation exp´ erimentales. Ces courbes maˆıtresses poss` edent des param` etres caract´ eristiques qui d´ ependent de ces variables de fabrication.

Un ph´ enom` ene de rigidit´ e n´ egative dˆ u au caract` ere ´ elastique de chacun des blocs au cours de la d´ echarge d’un essai d’indentation d´ ej` a observ´ e par A. Dyskin sur des assemblages de cubes a pu ˆ etre reproduit.

Les ph´ enom` enes physiques se produisant lors de l’indentation d’un assemblage de blocs

cubiques ou ost´ eomorphes sont maintenant mieux compris. Dans notre cas, il y en a deux :

d’une part le glissement entre les blocs et d’autre part la rotation entre les blocs.

Interlocked materials are periodic paving of elementary blocks. The cohesion is insured by the boundary conditions applied on the edge of the assembly as well as the topology of the blocks. This paving can also be built for instance from all platonic solids or with the help of osteomorphic blocks.

It is possible to use blocks built with different materials inside the same assembly. There- fore, those paving are new examples of architectured materials, halfway between materials and structures, which associate different materials in a certain configuration to obtain combinations of properties, which is not possible to realize in the case of a monolithic material.

Two parameters are strongly influencing the behavior of those structures : the friction coefficient and the boundary conditions applied on the edge of the assembly. The effect of the boundary conditions has been experimentally quantified by performing indentation tests on structures built with cubic blocks in alumina.

Osteomorphic blocks have been built in polymer by rapid prototyping. Indentation tests on several assemblies of osteomorphic blocks in polymer forming different structures have been realized. A numerical tools, that can simulate the behavior of interlocked structures built with cubes or osteomorphic blocks, has also been developed. This code uses the discrete element method. Each block is represented by its center of mass and its local base associated. Local laws that govern the interaction between the two blocks are determined with the help of finite element simulations of the mechanical response of the contact between two blocks.

This code has been used to simulate indentation experiment on interlocked structures and numerically study the influence of the different parameters used to design the assembly such as the geometry of the blocks (cubic or osteomorphic), the friction coefficient, the boundary conditions, the size of the blocks and the structure.

Simulations of indentation of nineteen blocks assemblies have also been made with finite element results and compared to the results obtained with the discrete element code.

Then, the study of discrete element simulation brought to light the existence of a master curve that is similar to the experimental indentation curves. Therefore the indentation curves can be described by few parameters. The evolution of those parameters can be studied according to the design parameters.

This code also leads to a better understanding of the phenomena that occurs inside the

assembly during the mechanical loading. In the case of a cubic interlocked paving, there is a

competition between the sliding between the blocks and the rotation between the blocks.

Notations utilis´ ees 9

Introduction 12

1 Les mat´ eriaux autobloquants 22

1.1 Le concept des mat´ eriaux autobloquants . . . . 24

1.1.1 Les structures platoniciennes . . . . 24

1.1.2 Les structures ` a base de g´ eom´ etries non platoniciennes . . . . 28

1.1.3 Les structures ` a base de blocs ost´ eomorphes . . . . 29

1.2 Les propri´ et´ es des mat´ eriaux autobloquants . . . . 33

1.2.1 Raideur en indentation . . . . 34

1.2.2 T´ enacit´ e . . . . 36

1.2.3 Absorption acoustique . . . . 37

1.2.4 Dissipation d’´ energie . . . . 39

1.2.5 Restitution d’´ energie . . . . 40

1.2.6 Influence des variables de fabrication . . . . 42

1.2.7 Tol´ erance ` a l’endommagement . . . . 46

1.3 Les applications . . . . 48

1.3.1 Bouclier thermique de navette spatiale . . . . 48

1.3.2 Construction extraterrestre . . . . 49

1.3.3 Le g´ enie civil . . . . 50

1.3.4 Les mat´ eriaux hybrides . . . . 52

2 Essais d’indentation d’assemblages autobloquants 55 2.1 M´ ethode exp´ erimentale utilis´ ee dans le cas des cubes . . . . 58

2.2 R´ esultat de l’indentation d’un assemblage de cubes en alumine . . . . 61

2.3 M´ ethode exp´ erimentale utilis´ ee dans le cas des blocs ost´ eomorphes . . . . 68

2.3.1 Forme de l’indenteur . . . . 68

2.3.2 Mise en forme de l’assemblage . . . . 68

2.3.3 Installation de l’assemblage ` a l’int´ erieur de la machine de compression . . 69

2.4 R´ esultat de l’indentation d’assemblages de blocs ost´ eomorphes en polym` ere . . . 70

2.4.1 Indentation d’un assemblage hexagonal de 19 blocs . . . . 70

2.4.2 Indentation d’un assemblage hexagonal de 217 blocs . . . . 76

2.4.3 Indentation de l’assemblage Coarse . . . . 85

2.4.4 Indentation de l’assemblage Tiss´ e . . . . 91

2.4.5 Comparaison des assemblages de blocs ost´ eomorphes ´ etudi´ es . . . . 96

TABLE DES MATI ` ERES

2.5 Synth` ese des r´ esultats exp´ erimentaux . . . . 98

3 M´ ethodologie de simulations d’assemblages autobloquants 101 3.1 Introduction ` a la m´ ethode des ´ el´ ements discrets . . . 103

3.2 D´ emarche de mod´ elisation . . . 103

3.2.1 Mod´ elisation d’un bloc . . . 104

3.2.2 Mod´ elisation de l’interface . . . 104

3.2.3 Mod´ elisation par ´ el´ ements finis de l’interaction entre deux blocs . . . 104

3.2.4 Conditions aux limites . . . 105

3.2.5 Recherche de l’´ equilibre . . . 106

3.3 Algorithme utilis´ e dans le code d’´ el´ ements discrets . . . 108

3.3.1 Rep` ere utilis´ e dans le cas des cubes . . . 108

3.3.2 Rep` ere utilis´ e dans le cas des ost´ eomorphes . . . 108

3.3.3 D´ eplacement relatif entre deux blocs . . . 110

3.3.4 Position relative angulaire entre deux blocs . . . 112

3.3.5 Calculs des efforts et du d´ eplacement du point d’application de la force . 114 3.3.6 Calculs des moments . . . 114

3.3.7 Somme des forces et des moments sur un bloc . . . 115

3.3.8 V´ erification des conditions d’´ equilibre . . . 115

3.3.9 Algorithme Verlet-Vitesse . . . 115

3.4 D´ etermination des lois de contact entre deux cubes par ´ el´ ements finis . . . 117

3.4.1 Rep` ere utilis´ e et notations . . . 117

3.4.2 Forme g´ en´ erale des lois de comportement . . . 119

3.4.3 Effet du d´ eplacement . . . 121

3.4.4 Effet d’une rotation . . . 128

3.4.5 Synth` ese des lois de contact entre deux cubes . . . 142

3.5 D´ etermination des lois de contact entre deux blocs ost´ eomorphes . . . 143

3.5.1 Cas des surfaces planes de blocs ost´ eomorphes . . . 143

3.5.2 Cas des surfaces r´ egl´ ees de blocs ost´ eomorphes . . . 146

3.5.3 Synth` ese des lois de contact entre deux blocs ost´ eomorphes . . . 149

4 Simulations d’indentations d’assemblages autobloquants 154 4.1 Cas des cubes . . . 156

4.1.1 Simulation par ´ el´ ements discrets . . . 156

4.1.2 Confrontation avec les simulations par ´ el´ ements finis . . . 157

4.1.3 Etude param´ ´ etrique . . . 158

4.2 Cas des ost´ eomorphes . . . 180

4.2.1 Simulations par ´ el´ ements finis . . . 180

4.2.2 Etude param´ ´ etrique . . . 182

4.3 Synth` ese et conclusion des simulations num´ eriques . . . 202

Conclusion 208

A Caract´ erisation m´ ecanique du polym` ere par essais de traction 212

A.1 Sch´ ema de l’´ eprouvette . . . 214

A.2 traction des ´ eprouvettes en polym` ere - premier essai de traction . . . 215

A.3 traction des ´ eprouvettes en polym` ere - second essai de traction . . . 215

B Utilisation d’Abaqus 218 C D´ etail des lois de contact entre les surface planes de deux blocs ost´ eomorphes226 C.1 Effet du d´ eplacement . . . 228

C.1.1 Effet d’un d´ eplacement +D

. . . 228

C.1.2 Effet d’un d´ eplacement +D

. . . 230

C.1.3 Effet d’un d´ eplacement +D

. . . 232

C.2 Effet d’une rotation . . . 236

C.2.1 Effet d’une rotation +R

. . . 237

C.2.2 Effet d’une rotation +R

. . . 237

C.2.3 Effet d’une rotation ±R

. . . 240

D D´ etail des lois de contact entre les surfaces r´ egl´ ees de deux blocs ost´ eomorphes 246 D.1 Effet d’un d´ eplacement . . . 248

D.1.1 Effet d’un d´ eplacement ±D

. . . 248

D.1.2 Effet d’un d´ eplacement ±D

. . . 250

D.1.3 Effet d’un d´ eplacement ±D

. . . 258

D.2 Effet d’une rotation . . . 264

D.2.1 Effet d’une rotation ±R

. . . 264

D.2.2 Effet d’une rotation ±R

. . . 270

D.2.3 Effet d’une rotation ±R

. . . 275

Bibliographie 285

Notations utilis´ ees

F ~ ={F

,F

,F

} : Vecteur force

D={D ~

,D

,D

} : Vecteur d´ eplacement R={R ~

,R

,R

} : Vecteur rotation

P ~

= {P

, P

, P

} : Centre de l’interface

δP ~ = {δP

, δP

, δP

} : D´ eplacement du point d’application de la force P ~ = P ~

+ δP ~ : Position du point d’application de la force

L : Longueur du bloc cubique ou ost´ eomorphe

L

=

: Distance entre le bord du bloc et le centre de l’interface entre 2 cubes

L

=

=

: Distance entre le bord du bloc et le centre de l’interface entre les surfaces r´ egl´ ees L

=

: Distance entre le bord du bloc et le centre de l’interface entre les surfaces planes e : Hauteur du bloc

h : Retrait

l − 2h : Largeur du bloc a : Demi-longueur du bloc E : Module d’Young σ : Contrainte

S : Surface en contact O

: Centre du bloc 1 O

: Centre du bloc 2

K

: Raideur reliant la force X et le d´ eplacement selon +Z pendant la charge dans le cas d’un contact entre deux cubes

K

: Raideur reliant la force Y et le d´ eplacement selon -X pendant la d´ echarge dans le cas d’un contact entre les surfaces planes de deux blocs ost´ eomorphes avec :

– u : d´ ecollement, les deux blocs ne sont plus en contact – m : d´ eplacement dans le sens n´ egatif

– d : d´ echarge

– x : application d’un d´ eplacement selon X

– y : ´ etude de la composante selon Y issue du d´ eplacement selon X – a : premi` ere partie de la d´ echarge

J

: Raideur reliant la force Y et la rotation n´ egative autour de X pendant la d´ echarge dans le cas d’un contact entre les surfaces r´ egl´ ees de deux blocs ost´ eomorphes avec :

– u : d´ ecollement, les deux blocs ne sont plus en contact – m : rotation dans le sens n´ egatif

– d : d´ echarge

– x : application d’une rotation autour de l’axe X

– y : ´ etude de la composante selon Y issue d’une rotation autour de l’axe X – a : seconde partie de la d´ echarge

Pr´ econtrainte : donn´ ee exprim´ ee en kPa, correspond ` a l’effort appliqu´ e sur les bords de l’assemblage dans le but de bloquer les blocs du bord.

Pr´ ecompression : donn´ ee exprim´ ee en N/mm, correspond au couple appliqu´ e dans les

vis de pr´ ecompression. Ces vis vont appliquer un d´ eplacement aux blocs du bord de

l’assemblage dans le but de bloquer ces bords.

Les mat´ eriaux architectur´ es et multifonctionnels

De nos jours, dans de nombreux milieux industriels, les cahiers des charges sont de plus en plus exigeants et les mat´ eriaux doivent r´ epondre ` a des crit` eres de plus en plus s´ ev` eres. De plus, de nouveaux crit` eres ont fait leur apparition tels le coˆ ut de fabrication, la masse des mat´ eriaux de construction, l’´ economie d’´ energie, etc..., ce qui ajoute des contraintes suppl´ ementaires. Les mat´ eriaux doivent maintenant r´ epondre ` a des exigences multiphysiques comme par exemple la r´ esistance m´ ecanique combin´ ee ` a de la r´ esistance thermique et/ou de l’absorption vibratoire.

Mais il est souvent difficile d’associer des propri´ et´ es physiques antagonistes. Pour obtenir un mat´ eriau qui pourrait remplir plusieurs fonctions, une nouvelle classe de mat´ eriau est apparue : les mat´ eriaux architectur´ es.

Figure 1 – R´ epartition des mat´ eriaux dans l’espace de la conductivit´ e thermique en fonction du module d’Young

La figure 1 repr´ esente 2300 mat´ eriaux sur une carte o` u chacun d’entre eux est positionn´ e ` a la fois en fonction de sa conductivit´ e thermique et de son module d’Young. Ce type de carte est classiquement utilis´ ee pour effectuer une s´ election de mat´ eriaux (Ashby [1989]). Cependant, on constate qu’il existe des zones enti` eres dans lesquelles aucun mat´ eriau n’est disponible. Ainsi par exemple, il n’y a aucun mat´ eriau repr´ esent´ e sur cette carte ayant ` a la fois une forte conductivit´ e thermique et un faible module d’Young.

Il existe deux m´ ethodes permettant d’optimiser des mat´ eriaux et ainsi combler en partie ces zones vierges :

– D’une part, il est possible de jouer sur la microstructure pour am´ eliorer les propri´ et´ es du

mat´ eriau dans le cas de c´ eramiques, de m´ etaux ou bien la formule chimique dans le cas

TABLE DES MATI ` ERES

de polym` eres. Cette m´ ethode permet d’agir ` a l’´ echelle microm´ etrique.

– D’autre part, il est aussi possible d’optimiser la g´ eom´ etrie d’un mat´ eriau pour optimiser la r´ esistance m´ ecanique et en mˆ eme temps obtenir la structure la plus l´ eg` ere possible.

Avec cette m´ ethode, on agit ` a l’´ echelle centim´ etrique. Ces m´ ethodes permettent d’ajouter de nombreux mat´ eriaux et d’´ elargir le domaine de certains mat´ eriaux sur ces cartes, mais cette m´ ethode a ses limites.

Une autre ´ echelle qui se situe entre les deux est l’´ echelle millim´ etrique et correspond ` a celle des mat´ eriaux hybrides. Cette ´ echelle n’a pas ´ et´ e beaucoup explor´ ee. Les mat´ eriaux hybrides ajoutent des degr´ es de libert´ e qui permettent d’ajouter de la multifonctionnalit´ e aux mat´ eriaux : il est alors possible de combiner des mat´ eriaux de diff´ erentes classes tels ceux de la figure 2.

Figure 2 – Diff´ erentes classes de mat´ eriaux pouvant ˆ etre utilis´ ees pour la r´ ealisation de mat´ eriaux hybrides Ashby and Br´ echet [2003]

Les mat´ eriaux hybrides doivent ˆ etre con¸cus avec des param` etres tr` es pr´ ecis pour une appli- cation donn´ ee (Ashby [2005], Ashby and Br´ echet [2003]). Citons l’exemple de l’acier galvanis´ e : l’acier est recouvert de zinc, ce qui lui permet de r´ esister ` a la corrosion tout en conservant ses propri´ et´ es de t´ enacit´ e et de r´ esistance m´ ecanique. Un autre exemple est le cas de mat´ eriaux composites o` u l’orientation des fibres est choisie pour am´ eliorer les propri´ et´ es m´ ecaniques du mat´ eriau suivant des directions particuli` eres.

M. Ashby a class´ e ces mat´ eriaux hybrides en quatre cat´ egories (voir figure 3) :

– Les mat´ eriaux composites : ce sont des mat´ eriaux qui peuvent concilier r´ esistance m´ ecanique et rigidit´ e en traction avec faible masse. Il est aussi possible d’associer un effort optimal pour une valeur de conductivit´ e thermique, un coefficient d’expansion et de chaleur sp´ ecifique.

– Les mousses et les treillis qui sont des mat´ eriaux tr` es l´ egers et poss´ edant des propri´ et´ es

isolantes thermique et acoustique (car tr` es poreux). Les mousses poss` edent aussi de bonnes

capacit´ es d’absorption d’´ energie dans le cas de chocs et peuvent aussi pr´ esenter une bonne

rigidit´ e en flexion.

– Les structures sandwichs : en combinant diff´ erents mat´ eriaux dans une structure appel´ ee sandwich, c’est-` a-dire un cœur entre deux peaux, il est possible d’obtenir des propri´ et´ es multifonctionnelles, comme dans le cas d’un mat´ eriau cœur constitu´ e de sph` eres creuses qui permettent une isolation acoustique Fallet et al. [2008] et d’un mat´ eriau peau en aluminium qui donne une bonne r´ esistance m´ ecanique au sandwich.

– Les mat´ eriaux fragment´ es : c’est dans cette cat´ egorie que nous situons les mat´ eriaux ` a to- pologie autobloquante. Ces mat´ eriaux offrent une bonne flexibilit´ e et une bonne r´ esistance m´ ecanique. En plus de ces deux propri´ et´ es, ces mat´ eriaux peuvent aussi des propri´ et´ es de r´ esistance thermique ainsi que d’absorption vibratoire

La r´ ealisation d’un mat´ eriau hybride consiste d’abord ` a effectuer une s´ election des mat´ eriaux appropri´ es, de les combiner et de les optimiser g´ eom´ etriquement pour rendre le mat´ eriau hybride le plus performant possible pour une application donn´ ee.

Figure 3 – Diff´ erentes cat´ egories de mat´ eriaux hybrides Ashby and Br´ echet [2003]

Les mat´ eriaux architectur´ es au laboratoire SIMaP

De nombreux mat´ eriaux architectur´ es sont ´ etudi´ es au sein du laboratoire SIMaP comme les mousses, les mat´ eriaux enchevˆ etr´ es,...

Les mat´ eriaux autobloquants font aussi partie des mat´ eriaux architectur´ es ´ etudi´ es au labo-

ratoire SIMaP, en particulier lors de travaux de la th` ese de Brugger [2008].

TABLE DES MATI ` ERES

La th` ese de C. Brugger

Durant cette th` ese, Brugger [2008] a ´ etudi´ e des assemblages de blocs ost´ eomorphes en glace ainsi que des assemblages de cubes en plˆ atre. Ces exp´ eriences ont permis de comprendre com- ment les assemblages se comportent lorsque diff´ erents param` etres de fabrication varient, tels que le coefficient de frottement, la pr´ ecompression lat´ erale, la taille des blocs ou encore la taille de l’assemblage.

Ces travaux de th` ese ont ´ egalement donn´ e lieu ` a l’´ ebauche d’un premier code num´ erique fond´ e sur la m´ ethode des ´ el´ ements discrets dans le but de simuler des assemblages autobloquants de cubes. Les lois de contact (lois locales) avec frottement entre deux cubes sont d´ etermin´ ees par ´ el´ ements finis. Grˆ ace ` a ce code, diff´ erentes ´ etudes ont pu ˆ etre faites sur des assemblages.

Nous pr´ esenterons en d´ etail les travaux r´ ealis´ es par Brugger [2008] dans le chapitre suivant.

Les autobloquants dans le projet MANSART : Les mat´ eriaux sand- wichs architectur´ es

Les travaux pr´ esent´ es dans ce manuscrit s’inscrivent dans le projet ANR MANSART pilot´ e par l’ONERA. Le projet MANSART est un consortium financ´ e par l’ANR r´ eunissant des industriels (ATECA, SMCI, AIRBUS, EADS) et des laboratoires (SIMAP, MATEIS, MINES-ParisTech, ENSAIT, CIRIMAT, LGMT).

Dans MANSART, 5 autres th` eses se d´ eroulent en parall` ele :

– Mat´ eriaux monofilamentaires enchevˆ etr´ es : ´ etude des relations microstructure-propri´ et´ es m´ ecaniques (exp´ eriences et simulations - Courtois et al. [2012] - MATEIS)

– Impact sur structures sandwichs ` a ˆ ames ` a fibres enchevˆ etr´ ees (exp´ eriences et simulations - Am´ elie Kolopp - LGMT)

– Propri´ et´ es m´ ecaniques effectives des mat´ eriaux architectur´ es par simulation num´ erique massive et prototypage rapide (Dirrenberger et al. [2011, 2012a,b], centre des mat´ eriaux, ENSMP)

– Mise en œuvre et ´ etude de structures de non-tiss´ es et de composites poreux multifonc- tionnels en para-aramide : Absorption acoustique et R´ esistance ` a l’impact (Marion Amiot - Lewandowski et al. [2012] - ENSAIT)

– D´ eveloppement de nouvelles conceptions de structures sandwichs composites (exp´ eriences et simulations - Mezeix et al. [2009] - CIRIMAT)

Le but de ce projet est de travailler sur de nouveaux mat´ eriaux de type architectur´ es plus l´ egers et qui ont la capacit´ e d’absorber plus d’´ energie dans le but de remplacer les nids d’abeilles.

Les mat´ eriaux ayant un potentiel multicrit` eres doivent ˆ etre identifi´ es par la mod´ elisation avant d’ˆ etre r´ ealis´ es.

Les assemblages autobloquants sont l’un des mat´ eriaux ´ etudi´ es dans le cadre du projet

MANSART : nous nous int´ eresserons plus particuli` erement aux pavages 2D constitu´ es de

blocs cubiques ou ost´ eomorphes. Ces pavages sont ´ etudi´ es pour ˆ etre utilis´ es comme cœur

Figure 4 – Proc´ edure de r´ ealisation de mat´ eriaux sur mesure

de mat´ eriaux sandwichs pour la protection du fuselage d’un avion par exemple (fig 5). Les mat´ eriaux constitutifs des assemblages envisag´ es dans le cadre du projet MANSART sont des c´ eramiques, l’aluminium et un ´ elastom` ere.

Figure 5 – Protection du fuselage d’un avion

Les autobloquants dans le labex CEMAM

Le labex CEMAM est un Centre d’Excellence sur les Mat´ eriaux Architectur´ es Multifonction- nels. Le rˆ ole de ce centre est de concevoir, r´ ealiser et caract´ eriser des mat´ eriaux hybrides. Pour cela, le centre r´ eunit 130 scientifiques issus de trois laboratoires grenoblois (SIMAP, LEPMI, LMGP) ainsi qu’une ´ equipe exp´ erimentale du LiPHY. Ces scientifiques issus de diff´ erents do- maines tels que les sciences des mat´ eriaux, physique, m´ ecanique et biologie s’attachent ` a conce- voir des ’mat´ eriaux sur mesure’ qui rempliront des cahiers des charges de plus en plus pr´ ecis et r´ epondant ` a de plus en plus de contraintes. Ces activit´ es de CEMAM sont r´ eparties dans 6 projets transversaux interdisciplinaires.

– Mat´ eriaux ` a hautes performances pour environnements extrˆ emes

TABLE DES MATI ` ERES

– Ing´ enierie des films minces – All` egement des structures

– Fonctionnalisation thermique des bˆ atiments

– Mat´ eriaux multifonctionnels pour les g´ en´ erateurs ´ electrochimiques – Conception de Biomat´ eriaux pour l’ing´ enierie tissulaire

Le centre a aussi pour rˆ ole de contribuer ` a l’enseignement des mat´ eriaux en France. Il r´ eunit une ´ ecole d’ing´ enieur (PHELMA dans Grenoble-INP) deux ´ ecoles doctorales, trois masters dont deux internationaux ainsi qu’un centre de formation int´ egr´ e qui encadrera des projets de collaboration avec des partenaires industriels.

Les mat´ eriaux autobloquants sont des pistes envisageables pour r´ ealiser certains de ces mat´ eriaux architectur´ es multifonctionnels. Ainsi des assemblages de blocs en c´ eramiques per- mettent ` a la fois une tenue ` a haute temp´ erature et une bonne r´ esilience, leur permettant ainsi de r´ esister ` a des environnements extrˆ emes comme par exemple dans le cas de bouclier de r´ eacteur d’avion prot´ egeant l’´ electronique embarqu´ ee.

L’objectif de la th` ese

Cette th` ese s’inscrit dans la continuit´ e des travaux de Brugger [2008].

Dans un premier temps, les travaux men´ es dans cette th` ese ont consist´ e ` a reprendre les exp´ eriences de Brugger [2008]. Les mˆ emes essais d’indentation d’assemblages de cubes seront effectu´ es avec des blocs en alumine dense, puis avec des blocs de formes ost´ eomorphes en polym` ere r´ ealis´ es par prototypage rapide.

Dans un second temps, la th` ese a consist´ e ` a compl´ eter les r´ esultats obtenus lors des exp´ eriences grˆ ace ` a des simulations num´ eriques afin de comprendre les effets induits par les diff´ erents param` etres de fabrication des assemblages. En effet, num´ eriquement, il est possible de faire varier un grand nombre de param` etres de fabrication d’assemblages autobloquants de blocs cubiques ou ost´ eomorphiques (tels que le coefficient de frottement, la pr´ ecompression lat´ erale, la taille des blocs ou encore la taille de l’assemblage).

Des simulations num´ eriques ont ´ et´ e effectu´ ees par ´ el´ ements finis ainsi que par ´ el´ ements discrets. Dans cette optique, le d´ eveloppement du code ´ el´ ements discrets initi´ e par Brugger [2008] a ´ et´ e poursuivi et une nouvelle g´ eom´ etrie a ´ et´ e ajout´ ee : la g´ eom´ etrie ost´ eomorphe simplifi´ ee. Les lois de contact entre les blocs ont ´ et´ e identifi´ ees par ´ el´ ements finis puis introduites dans le code. Des simulations par ´ el´ ements finis d’assemblages complets ont ´ egalement ´ et´ e r´ ealis´ ees ` a la fois pour valider le code d’´ el´ ements discret et pour ´ etudier l’influence de certains param` etres de conception.

Ce m´ emoire sera divis´ e en quatre chapitres. Dans le premier chapitre, nous pr´ esenterons

un r´ esum´ e des diff´ erents travaux effectu´ es jusqu’` a ce jour sur les mat´ eriaux autobloquants. Le

second chapitre portera sur les exp´ eriences de caract´ erisation effectu´ ees sur deux familles d’as-

semblages autobloquants : la premi` ere famille est constitu´ ee de cubes en alumine et la seconde

de blocs ost´ eomorphes en polym` ere. Ensuite, nous pr´ esenterons les d´ etails du mod` ele d’´ el´ ements

discrets avec une attention particuli` ere port´ ee sur l’identification des lois aux contacts, ` a la fois dans le cas de blocs cubiques et pour des blocs ost´ eomorphes. Pour finir, nous exposerons les r´ esultats des simulations num´ eriques obtenus soit par les ´ el´ ements finis ou par le code d’´ el´ ements discrets.

Note pour le lecteur :

Ce manuscrit a ´ et´ e r´ edig´ e avec un double objectif : d’une part de pr´ esenter les travaux de

ma th` ese de doctorat et d’autre part de servir de document de travail aux futurs ´ etudiants qui

prendront la rel` eve. ` A cette fin, les donn´ ees techniques relatives aux simulations par ´ el´ ements

finis des lois de contacts sont enti` erement d´ etaill´ ees dans les annexes. La lecture de ces annexes

n’est cependant pas n´ ecessaire pour comprendre la d´ emarche de cette th` ese, le seul corps du

texte suffit.

Les mat´ eriaux autobloquants

1.1 Le concept des mat´ eriaux autobloquants

Les mat´ eriaux fragiles sont tr` es sensibles aux chocs et ` a la propagation des fissures. On les dit ’peu tol´ erants aux dommages’. D’ailleurs, plus ces mat´ eriaux sont de grandes dimensions et plus leur r´ esistance diminue. Pour les renforcer, il est n´ ecessaire d’empˆ echer les fissures de se propager.

Une m´ ethode de renforcement int´ eressante consiste ` a arrˆ eter la propagation des fissures en fragmentant le mat´ eriau. Et plus les fragments seront petits, plus le libre parcours moyen des fissures sera petit et plus le mat´ eriau gardera son int´ egrit´ e au niveau macroscopique.

C’est l` a que la topologie peut aider ` a sugg´ erer une fa¸con de subdiviser le mat´ eriau en plusieurs petits morceaux qui sont ensuite r´ eassembl´ es pour former une structure o` u les

´

el´ ements sont autobloqu´ es. Il y a deux aspects du probl` eme : trouver la forme appropri´ ee des fragments et leur arrangement.

L’id´ ee de l’autoblocage topologique a ´ et´ e motiv´ ee par la th´ eorie du ’bloc cl´ e’ qui est populaire en m´ ecanique des roches et dans l’ing´ enierie des mines Goodman and Shi [1985]. Les ing´ enieurs travaillant dans les mines doivent faire face ` a des roches massives et fragment´ ees par de grosses fissures. Les fragments form´ es pr` es de la surface de l’excavation sont r´ epartis en deux cat´ egories en fonction de leur probabilit´ e de tomber dans l’excavation.

Les blocs qui peuvent tomber de la masse rocheuse sont appel´ es des ’blocs cl´ es’ et distingu´ es des autres blocs qui eux ne peuvent pas tomber car cin´ ematiquement contraints par leurs voisins. Il est donc suffisant de maintenir les ’blocs cl´ es’ pour que la structure soit stable. Pour des structures en deux dimensions la pr´ esence de ’blocs cl´ es’ est in´ evitable. Aussi longtemps que les ’blocs cl´ es’ seront en place, les autres blocs seront bloqu´ es.

Dans le monde en trois dimensions des arrangements autobloquants peuvent exister sans la pr´ esence de ’blocs cl´ es’.

1.1.1 Les structures platoniciennes

Les premi` eres structures autobloquantes, qui ont ´ et´ e mises en ´ evidence par Glickman [1984]

puis par Dyskin et al. [2001b], sont compos´ ees de briques t´ etra´ edriques. Ces blocs sont arrang´ es dans un plan en une seule couche comme montr´ ee sur la figure 1.1.

Dyskin et al. [2003c] ont d´ emontr´ e qu’il ´ etait possible d’utiliser tous les solides platoniciens

pouvant paver l’espace, pour construire une structure autobloquante, tels que : des t´ etra` edres,

des cubes, des octa` edres, des dod´ eca` edres et des icosa` edres.

1.1. Le concept des mat ´eriaux autobloquants

Figure 1.1 – Assemblages autobloquants de blocs t´ etra´ edriques

Figure 1.2 – Solides platoniciens pouvant paver l’espace 3D

1.1.1.1 Comment construire un assemblage autobloquant ` a l’aide de poly` edres r´ eguliers

La compr´ ehension des assemblages de t´ etra` edres a permis d’´ etendre la th´ eorie de l’autoblo- cage aux autres solides platoniciens.

1.1.1.1.1 Exemple des t´ etra` edres

Cette structure ne contient pas de ’blocs cl´ es’. En se pla¸cant dans la section A de la figure 1.3, les blocs semblent tous ˆ etre des ’blocs cl´ es’. Mais en se pla¸cant dans une autre section not´ ee B et parall` ele ` a la section A, on peut voir que ces blocs ne sont finalement pas des ’blocs cl´ es’

car ils sont immobilis´ es par une rang´ ee adjacente de blocs t´ etra´ edriques.

Figure 1.3 – Assemblage de t´ etra` edres - repr´ esentation sch´ ematique

De plus, on peut voir sur la figure 1.4 que deux t´ etra` edres voisins sont en contact l’un avec l’autre de telle sorte qu’un sommet se trouvant sur le bord sup´ erieur de l’un des deux blocs est en contact avec le milieu du bord sup´ erieur de l’autre bloc.

Inversement, le milieu du bord inf´ erieur du premier t´ etra` edre est en contact avec le sommet

se trouvant sur le bord inf´ erieur du second bloc. Les bords sup´ erieurs des deux blocs sont perpendiculaires. Cette remarque est aussi valable pour les bords inf´ erieurs.

En suivant ce proc´ ed´ e, l’assemblage autobloquant peut ˆ etre construit. Dans cette structure,

Figure 1.4 – Projection de deux sections parall` eles d’un assemblage de t´ etra` edres

les blocs ont chacun quatre voisins. L’arrangement obtenu impose des contraintes cin´ ematiques qui permettent l’autoblocage de la structure. Deux des quatre voisins de chaque t´ etra` edre empˆ echent que celui-ci puisse ˆ etre retir´ e de l’assemblage par un mouvement orient´ e vers le haut, tandis que les deux autres voisins empˆ echent le bloc d’ˆ etre retir´ e dans l’autre sens.

Les figures 1.4 et 1.5 montrent la forme de la section m´ ediane de l’assemblage. Cette section est pleine et compl` etement pav´ ee par des sections carr´ ees.

Les sections se trouvant au-dessus et en dessous de la section m´ ediane consistent en deux

Figure 1.5 – Section m´ ediane d’un assemblage de t´ etra` edres

familles de rectangles perpendiculaires entre eux et avec des ´ echelles de grandeur qui d´ ependent

de la position de la section consid´ er´ ee. Les rectangles se transforment en segments lorsque la

section se trouve tout en haut ou tout en bas. Les fl` eches de la figure 1.5 indiquent la direction

1.1. Le concept des mat ´eriaux autobloquants

dans laquelle les cˆ ot´ es de la section du t´ etra` edre de r´ ef´ erence (et ceux de ses voisins directs) se d´ eplaceront quand la section plane est d´ ecal´ ee vers le haut ` a partir de la section m´ ediane.

Ces fl` eches repr´ esentent les directions d’inclinaison des faces du t´ etra` edre adjacent. Les incli- naisons associ´ ees avec les fl` eches entrantes bloquent le d´ eplacement vers le haut du t´ etra` edre de r´ ef´ erence, tandis que les inclinaisons associ´ ees avec les fl` eches sortantes bloquent le d´ eplacement vers le bas. Par cons´ equent, une telle alternance des directions des fl` eches (alternance des incli- naisons des faces) assure l’autoblocage.

L’assemblage tel quel ne peut pas r´ esister aux contraintes dans les directions lat´ erales, c’est-

`

a-dire dans le plan de l’assemblage. Il est donc n´ ecessaire d’ajouter des contraintes externes pour empˆ echer le mouvement lat´ eral des ´ el´ ements par exemple en ins´ erant l’assemblage dans un cadre rigide.

1.1.1.1.2 Cas g´ en´ eral

Un crit` ere d’autoblocage de poly` edres convexes a ´ et´ e propos´ e par Dyskin et al. [2003d] en consid´ erant les polygones form´ es par les intersections des extensions des faces d’un ´ el´ ement contraint par les ´ el´ ements voisins avec une section parall` ele ` a l’assemblage. Les conditions de l’autoblocage peuvent ˆ etre formul´ ees de la fa¸con suivante : un ´ el´ ement est bloqu´ e dans l’assemblage si et seulement si, en d´ ecalant continuellement la section plane dans les deux sens suivant une direction normale au plan du pavage, le polygone repr´ esentant la section transversale dans le plan de coupe se transforme petit ` a petit en un segment ou bien un point.

On consid` ere que le contact entre les blocs est maintenu aussi dans les sections se trouvant au-dessus et au-dessous de la section m´ ediane (au moins au voisinage proche de la section m´ ediane). Cela exclut par exemple les assemblages p´ eriodiques de sph` eres qui ne sont pas autobloquants.

La figure 1.6 illustre l’impl´ ementation de ce principe en montrant comment des assemblages de cubes ou d’octa` edres peuvent ˆ etre construits. On remplit une surface avec des hexagones.

On ajoute ensuite des facettes pour les transformer en prismes hexagonaux puis on incline ces facettes de fa¸con altern´ ee comme indiqu´ e par les fl` eches dessin´ ees sur la figure 1.6. C’est l’alternance de l’inclinaison de ces facettes qui assurera l’autoblocage. Les facettes sont finalement ´ etendues pour se rencontrer et selon leur angle d’inclinaison, elles formeront soit des cubes soient des octa` edres. Une formulation math´ ematique rigoureuse de ce principe de construction d’assemblages autobloquants a ´ et´ e pr´ esent´ ee par Kanel-Belov et al. [2008].

C’est en utilisant ce principe que les assemblages autobloquants ont ´ et´ e construits ` a partir

des autres solides platoniciens (dod´ eca` edres et icosa` edres).

Figure 1.6 – M´ ethode de construction d’un assemblage de poly` edres autobloquants : a) Surface remplie avec des hexagones qui sont ensuite transform´ es en prismes hexagonaux, puis les faces des prismes de fa¸ con altern´ ee comme indiqu´ e par les fl` eches. Les faces sont fi- nalement ´ etendues pour se rencontrer et selon leur angle d’inclinaison, b) ils formeront soit des octa` edres, c) soit des cubes

1.1.2 Les structures ` a base de g´ eom´ etries non platoniciennes

Dans le cas des assemblages de solides platoniciens, le contact n’a pas lieu sur la surface enti` ere des blocs. Il est alors possible de retirer de la mati` ere l` a o` u le contact n’est pas pr´ esent tout en gardant l’aspect autobloquant de l’assemblage.

Dyskin et al. [2003a] ont montr´ e que de nouvelles formes peuvent ainsi ˆ etre g´ en´ er´ ees en modifiant les structures construites ` a partir de solides platoniciens. La figure 1.7 montre la section octogonale du centre de l’assemblage ainsi que le r´ esultat de la transformation d’un t´ etra` edre en transformant la forme de sa section m´ ediane en doublant le nombre de cˆ ot´ es. Dans le cas extrˆ eme, les carr´ es de la section m´ ediane se transforment en cercle. La figure 1.8 montre le r´ esultat de cette transformation de t´ etra` edres en tubes creux pour un emboˆıtement sp´ ecifique autobloquant.

Figure 1.7 – Transformation d’un assemblage constitu´ e de formes platoniciennes vers un assem- blage construit avec une nouvelle g´ eom´ etrie : a) les carr´ es de la section m´ ediane ont

´

et´ e transform´ es en octogones r´ eguliers, b) les carr´ es de la section m´ ediane ont ´ et´ e

transform´ es en cercles Dyskin et al. [2003a]

1.1. Le concept des mat ´eriaux autobloquants

Figure 1.8 – Assemblage de blocs tubulaires Dyskin et al. [2003a]

Cette technique peut-ˆ etre utilis´ ee avec tous les solides platoniciens, comme par exemple avec les cubes (Brugger [2008]). En tronquant le dessus et le dessous des cubes sur lesquels il n’y a aucun contact, on peut obtenir une nouvelle g´ eom´ etrie telle que d´ ecrite sur la figure 1.9a et construire un assemblage de cubes tronqu´ es (figure 1.9b). Dyskin et al. [2003b] ont aussi

(a) (b)

Figure 1.9 – Nouvelle g´ eom´ etrie autobloquante construite ` a partir de la g´ eom´ etrie cubique : a) cube tronqu´ e, b) Assemblage de cubes tronqu´ es

d´ ecouvert qu’` a partir d’icosa` edres tronqu´ es, on peut aussi obtenir des assemblages de buckyballs (figure 1.10). Ils forment un assemblage poreux, car ils ne remplissent pas enti` erement la section m´ ediane. De plus, leur surface de contact est plus petite que pour les autres assemblages. Ils ont donc une moins bonne tenue m´ ecanique. Ces derni` eres ann´ ees, une attention toute particuli` ere a

´

et´ e port´ ee sur une autre g´ eom´ etrie appel´ ee ost´ eomorphe que nous d´ ecrirons dans le paragraphe suivant.

1.1.3 Les structures ` a base de blocs ost´ eomorphes

Dyskin et al. [2003d] se sont pench´ es sur la possibilit´ e de cr´ eer des formes autobloquantes qui

seraient en contact sur toute leur surface. Le r´ esultat pourrait ˆ etre obtenu ` a l’aide de surfaces

non planes, mais qui seraient aussi suffisamment lisses pour minimiser les concentrations de

contraintes par rapport ` a celles induites entre les blocs convexes tels que les blocs platoniciens

Figure 1.10 – Assemblage autobloquant de buckyballs Dyskin et al. [2003b]

´

etudi´ es pr´ ec´ edemment.

Consid´ erons deux surfaces courbes conjugu´ ees correspondant ` a l’interface entre deux blocs.

Ces deux surfaces ont donc vocation ` a entrer en contact l’une avec l’autre. Un exemple est dessin´ e sur la fig 1.11a, la face convexe de l’un des ´ el´ ements correspond ` a la surface concave de l’autre et inversement.

Dans le cas pr´ esent, il est impossible d’induire un mouvement dans le sens de Z ou bien dans le sens de Y. Le seul mouvement autoris´ e restant est un d´ eplacement unilat´ eral selon X. Avec cette g´ eom´ etrie des interfaces, deux blocs pourraient alors ˆ etre g´ eom´ etriquement contraints.

Ce type d’autoblocage peut ˆ etre vu comme une version macroscopique du frottement caus´ e par l’interaction des asp´ erit´ es de deux surfaces en contact. La concentration de contrainte sera aussi bien moindre que celle provoqu´ ee par les connecteurs entre les briques conventionnelles.

Cette id´ ee a donn´ e naissance ` a une nouvelle classe de blocs autobloquants ayant un fort potentiel dans le d´ eveloppement de nouvelles structures et de nouveaux mat´ eriaux. La g´ eom´ etrie est dessin´ ee sur la figure 1.11b. Ces blocs ont une forme de vert` ebre avec des sym´ etries qui permettent le blocage dans les trois directions d’o` u leur nom d’ost´ eomorphes.

Dyskin et al. [2003d] ont ´ etudi´ e des blocs ost´ eomorphes dont la forme des surfaces a ´ et´ e d´ ecrite

`

a l’aide d’un polynˆ ome d’ordre 4 en Z et Y. Yong [2011] a ´ etudi´ e des blocs ost´ eomorphes ayant des formes de surfaces d´ ecrites par d’autres ´ equations. On appellera l’´ echelle de longueur du bloc L/2. La pi` ece de la figure a ´ et´ e dessin´ ee grˆ ace ` a ce polynˆ ome d’ordre 4. La p´ eriode du polynˆ ome d’ordre 4 est L et correspond ` a la longueur du bloc. L’interface entre deux blocs s’inscrit dans un demi-carr´ e, la longueur est donc li´ ee ` a la hauteur. De ce fait, si la longueur du bloc est ´ egale ` a L alors la hauteur du bloc est ´ egale ` a L/2.

La courbe d´ ecrivant la surface non plane est caract´ eris´ ee par un param` etre appel´ e H. Elle

correspond ` a la profondeur des parties concaves (ou bien ` a la hauteur des parties convexes) de

la surface. En augmentant le rapport H/(L/2), on peut augmenter l’interp´ en´ etration des blocs

les uns par rapport aux autres ce qui a pour cons´ equence d’augmenter l’autoblocage. Grˆ ace

aux param` etres H et l, on peut obtenir la largeur minimale qui sera ´ egale ` a l-2H et la largeur

maximale qui sera ´ egale ` a l+2H. Sur la figure 1.11b, le bloc a pour centre O et la longueur l

1.1. Le concept des mat ´eriaux autobloquants

(a) (b)

Figure 1.11 – Principe de l’autoblocage ` a partir d’une g´ eom´ etrie non plane : a)Formes convexes- concaves du principe des interfaces ost´ eomorphes - b) Bloc ost´ eomorphe

Figure 1.12 – Variation du param` etre H lors de la fabrication d’un bloc ost´ eomorphe (ici, c’est la version simplifi´ ee de la g´ eom´ etrie ost´ eomorphe qui est dessin´ ee)

est choisie telle que l+2H=L.

On peut observer une sym´ etrie par rapport au plan (OXY) et une antisym´ etrie par rapport au plan (OXZ). Les vecteurs Y et Z sont des axes d’antisym´ etrie de l’interface entre deux blocs. Dans le cas du bloc repr´ esent´ e sur la figure 1.11b, ce rapport vaut 1/4. En alignant plusieurs blocs dans la direction des surfaces courbes (axe X), on obtient une poutre 1D (voir fig. 1.14a). Si on d´ ecale un des blocs de un demi bloc par rapport ` a son voisin, il est alors possible de construire une plaque (pavage 2D voir fig. 1.14b).

Si en plus de ce d´ ecalage, ce bloc subit une rotation de 90 ° , il est alors possible de cr´ eer

des structures en angle droit (voir fig. 1.13), ce qui permet de parcourir la troisi` eme dimension

(assemblages 3D, Robson [1978], voir fig. 1.14c). Les blocs ost´ eomorphes sont taill´ es dans un

parall´ el´ epip` ede de hauteur e et de section carr´ ee L

. La forme des blocs peut varier en fonction

du param` etre de retrait H qui peut varier de 0 ` a

(voir sur la figure 1.12).

Figure 1.13 – Blocs ost´ eomorphes assembl´ es perpendiculairement au plan initial

(a) (b) (c)

Figure 1.14 – Diff´ erents types d’assemblages : a) Poutre, b) Plaque, c) Volume

Il existe plusieurs types de formes ost´ eomorphes. Les ost´ eomorphes ` a surfaces courbes et les ost´ eomorphes ` a surfaces r´ egl´ ees.

Les ost´ eomorphes ` a surfaces courbes sont construits ` a partir d’un cube coup´ e en deux. Les bords oppos´ es de ce cube sont ensuite taill´ es ` a l’aide d’une courbe compos´ ee ` a partir d’un polynˆ ome d’ordre 4 en Y et Z ou bien ` a partir de fonction sinuso¨ıdales Yong [2011].

Il est possible de dessiner plusieurs types de blocs ost´ eomorphes ` a surfaces courbes en modifiant la fonction math´ ematique servant ` a dessiner les faces convexes et concaves de la pi` ece. Mais il est difficile de maˆıtriser la g´ eom´ etrie de la surface. En pratique, lorsqu’on con¸coit le dessin d’un bloc ost´ eomorphe, le profil de la surface inf´ erieure (concave) et de la surface sup´ erieure (convexe) sont introduits dans un logiciel de dessin assist´ e par ordinateur. Ce dernier va alors g´ en´ erer la surface qui s’appuie sur ces deux courbes par des fonctions splines difficilement maˆıtrisables.

Ces impr´ ecisions sur la forme des blocs modifient la nature du contact et perturbent la r´ eponse de l’assemblage.

Yong [2011] avait rencontr´ e ces difficult´ es dans le cas de blocs ost´ eomorphes s’appuyant sur des courbes sinuso¨ıdales (SC) ou en arc de cercle (CA).

Les ost´ eomorphes ` a surfaces r´ egl´ ees ont ´ et´ e imagin´ es lors de la th` ese de Brugger [2008]. Il s’agit d’une simplification des blocs ost´ eomorphes propos´ es par Dyskin et al. [2003d]. Ces blocs sont toujours construits ` a partir d’un cube coup´ e en deux. Les bords oppos´ es de ce cube sont ensuite taill´ es ` a l’aide d’une droite qui va parcourir ces bords (voir figure 1.15). De plus, lorsque l’´ epaisseur des blocs e est choisie ´ egale ` a

, les blocs s’assemblent alors dans des directions orthogonales permettant ainsi au pavage 2D d’envahir la 3` eme dimension (fig. 1.13) comme pour les blocs ost´ eomorphes ` a surfaces courbes.

Cette g´ eom´ etrie a plusieurs avantages notamment pour sa fabrication. La g´ eom´ etrie sim-

1.2. Les propri ´et ´es des mat ´eriaux autobloquants

plifi´ ee du bloc pr´ esent´ e sur la figure 1.15 est beaucoup plus facile ` a maˆıtriser puisqu’elle est obtenue par une translation suivant Z d’une ligne contenue dans un plan YX et s’appuyant sur les deux contours en V des surfaces inf´ erieures et sup´ erieures. Il s’agit donc d’une surface r´ egl´ ee beaucoup plus simple ` a r´ ealiser. Estrin et al. [2003] et Brugger [2008] ont aussi constat´ e que la

Figure 1.15 – Bloc ost´ eomorphe ` a g´ eom´ etrie simplifi´ ee : la surface de contact est r´ egl´ ee

g´ eom´ etrie ost´ eomorphe est tr` es modulable, il est par exemple possible d’incliner les faces planes des blocs pour obtenir la g´ eom´ etrie dessin´ ee sur la figure 1.16a.

(a) (b)

Figure 1.16 – Nouvelle g´ eom´ etrie issue de la g´ eom´ etrie ost´ eomorphe : a) Bloc ost´ eomorphe cintr´ e, b) Assemblage cylindrique ` a base de blocs ost´ eomorphes cintr´ es Brugger [2008]

1.2 Les propri´ et´ es des mat´ eriaux autobloquants

Nous avons ´ evoqu´ e les principales formes qui permettaient de r´ ealiser des structures au- tobloquantes telles que les t´ etra` edres, les cubes et les blocs ost´ eomorphes. Diff´ erents travaux, exp´ erimentaux et num´ eriques, ont d´ ej` a ´ et´ e effectu´ es sur les assemblages autobloquants r´ ealis´ es

`

a partir de ces diff´ erentes formes. Ces travaux ont permis d’estimer certaines propri´ et´ es de ces

assemblages.

1.2.1 Raideur en indentation

Une des techniques de caract´ erisation m´ ecanique des assemblages autobloquants est l’essai d’indentation. L’indentation d’un assemblage autobloquant consiste ` a appliquer une compression (un effort normal au plan de l’assemblage) sur un ou plusieurs blocs jusqu’` a la perforation de l’assemblage. Cela ´ equivaut ` a tester une plaque en flexion. Une exp´ erience d’indentation sur un assemblage de 100 t´ etra` edres fabriqu´ es en alliage de Al-Mg-Si et ayant des bords de longueur a = 1cm a ´ et´ e r´ ealis´ ee par Dyskin et al. [2001a,b, 2003a]. Cet indenteur

(a) (b)

Figure 1.17 – Indentation d’un assemblage de t´ etra` edres en alliage d’aluminium : a) Assemblage apr` es indentation, b) Assemblage avec un bloc manquant

est plac´ e de telle sorte que son centre co¨ıncide avec le centre d’une croix form´ ee par les arˆ etes du bloc central et les moiti´ es des arˆ etes des deux t´ etra` edres adjacents. L’indentation est instrument´ ee et permet d’obtenir une mesure de l’effort en fonction du d´ eplacement de l’indenteur et donc la courbe de charge. Une mesure de l’effort appliqu´ e par l’indenteur et de son d´ eplacement ainsi que du d´ eplacement de l’arˆ ete du bas du bloc central est alors effectu´ ee.

L’indentation a ´ et´ e stopp´ ee lorsque les blocs adjacents ` a l’indenteur ont tellement tourn´ e qu’ils entrent en contact avec l’indenteur.

Du fait de la topologie autobloquante, chaque ´ el´ ement de la structure 3D est contraint par ses voisins et ne peut pas s’´ echapper, except´ e les ´ el´ ements qui se trouvent ` a la p´ eriph´ erie. Ces

´

el´ ements doivent ˆ etre contraints par un ´ el´ ement ext´ erieur, dans ce cas-ci, un cadre m´ etallique que l’on peut voir sur la photo de la figure 1.17a. Les bords de ce cadre sont serr´ es grˆ ace ` a des vis qui permettent de r´ egler la pr´ econtrainte. Les t´ etra` edres situ´ es sur la couronne ext´ erieure de l’assemblage ont ´ et´ e coup´ es en deux. Les bords de l’assemblage sont alors plans ce qui leur permet d’ˆ etre en contact parfait avec le cadre. Le chargement a ´ et´ e appliqu´ e ` a l’aide d’un indenteur de 1cm de diam` etre.

La courbe d’indentation (force-d´ eplacement) de l’assemblage (figure 1.18b) a ´ et´ e compar´ ee

`

a la courbe de chargement d’une plaque monolithique (figure 1.18a) constitu´ ee du mˆ eme

mat´ eriau et de la mˆ eme ´ epaisseur que l’assemblage. La densit´ e de la structure autobloquante

est 1/3 fois moins grande que celle de la plaque monolithique.

1.2. Les propri ´et ´es des mat ´eriaux autobloquants

En comparant les deux courbes d’indentation, les auteurs ont pu constater que la pente en

(a) (b)

Figure 1.18 – Courbes d’indentation : a) Comportement m´ ecanique de la plaque de r´ ef´ erence, b) Comportement m´ ecanique de l’assemblage - Dyskin et al. [2001a, 2003a]

d´ echarge de l’assemblage est trois fois plus petite que celle de la plaque monolithique. Mais pour obtenir la rigidit´ e en flexion, il faut tenir compte de l’aire de contact r´ eduite entre les blocs. La surface de contact est un losange ayant un cˆ ot´ e ´ egal ` a a/2 inclin´ e d’un angle de cos

(sqrt(2/3)) par rapport ` a la normale du plan de l’assemblage. Apr` es une projection sur le plan perpendiculaire au plan de l’assemblage, le contact a la forme dessin´ ee sur la figure 1.19.

En tenant compte de cette surface de contact, il est ensuite possible de calculer la rigidit´ e en flexion et de la comparer ` a celle de la plaque monolithique.

La rigidit´ e de la plaque monolithique est 7.5 plus grande que celle de l’assemblage pendant la

Figure 1.19 – Projection de la surface de contact entre deux blocs sur le plan perpendiculaire ` a celui du pavage

charge. Cette diff´ erence peut ˆ etre expliqu´ ee par le fait que les blocs peuvent tourner les uns par rapport aux autres. Lorsque les blocs tournent, ils se d´ ecollent (le contact passe de plan-plan ` a plan-arˆ etes) et la surface de contact diminue.

Sur la photo 1.17a, on peut voir que l’assemblage est fortement d´ eform´ e ` a la fin de l’essai,

alors que les blocs ne sont pas d´ eform´ es plastiquement. Cette d´ eformation r´ esiduelle est due ` a

la g´ eom´ etrie des blocs de la structure qui permet donc une grande flexibilit´ e et facilite la mise

en forme de l’assemblage. Par ailleurs, il est int´ eressant de noter que la structure garde son int´ egrit´ e mˆ eme lorsqu’un ´ el´ ement est manquant (voir photo 1.17b).

1.2.2 T´ enacit´ e

D’autres exp´ eriences d’indentation ont ´ et´ e r´ ealis´ ees par Dyskin et al. [2003d] sur un assemblage de blocs ost´ eomorphes en polym` eres Polylite 61-209 illustr´ e par la photo 1.20a.

Cette r´ esine est translucide, ce qui permet de visualiser les fissures se propageant dans le mat´ eriau au cours de la d´ eformation. Il s’agit d’un mat´ eriau fragile avec une t´ enacit´ e de 0.6M P a.m

une r´ esistance ` a la compression de 140MPa et un module d’Young de 4GPa.

L’assemblage est constitu´ e de 14*7 blocs ost´ eomorphes de dimensions L=38mm, H=4.75mm.

(a) (b) (c)

Figure 1.20 – Comparaison de l’indentation d’un assemblage avec l’indentation d’une plaque mo- nolithique en polym` ere : a) Indentation d’une plaque monolithique en polym` ere, b) Indentation d’une plaque de bloc ost´ eomorphes en polym` ere, c) Courbes d’inden- tation de la plaque monolithique ainsi que de l’assemblage pour deux valeurs de pr´ econtrainte - Dyskin et al. [2003d]

A nouveau, les blocs situ´ es au bords de l’assemblage sont coup´ es en deux, pour assurer un contact plan avec le cadre et faciliter la mise en place de la pr´ econtrainte. L’assemblage ainsi que la plaque monolithique sont maintenus en place de la mˆ eme fa¸con grˆ ace ` a un cadre avec un contrˆ ole de la charge lat´ erale.

La vitesse d’indentation est fix´ ee ` a 2mm/min et reste constante sur tout l’essai. Deux valeurs de pr´ econtrainte ont ´ et´ e test´ ees : 535kPa et 714kPa mesur´ ees grˆ ace ` a des capteurs de force. La premi` ere remarque est que la courbe d’indentation de la structure autobloquante a un comportement ´ elastique fortement non lin´ eaire.

La figure 1.20c montre que la pr´ econtrainte a un effet n´ egligeable sur le comportement

1.2. Les propri ´et ´es des mat ´eriaux autobloquants

de la plaque monolithique alors qu’elle a un effet beaucoup plus important dans le cas de l’assemblage autobloquant. La courbe d’indentation de l’assemblage atteint un effort maximal plus faible pour une valeur de d´ eformation bien plus ´ elev´ ee que dans le cas de l’indentation de la plaque monolithique, ce qui montre que l’assemblage est bien plus flexible que la plaque.

Dans le cas de l’assemblage autobloquant, la force maximale semble proportionnelle ` a la valeur de la pr´ econtrainte. En effet, lorsque la pr´ econtrainte passe de 535kPa ` a 714kPa (x1,33), la force maximale passe de 1500N ` a 2000N soit une augmentation de 33%.

La plaque est perfor´ ee apr` es une charge de 9.5kN apr` es une faible d´ eformation, alors que la structure autobloquante continue ` a se d´ eformer pour des d´ eplacements de l’indenteur sup´ erieurs ` a l’´ epaisseur des blocs (11mm). La charge maximale atteinte en fin de charge (pour un d´ eplacement de 11mm) est alors de 2kN. Apr` es d´ echarge, on observe un d´ eplacement r´ esiduel de 4mm au niveau du bloc central.

La courbe d’indentation de cet assemblage a ´ et´ e compar´ ee ` a la courbe d’indentation d’une plaque monolithique fabriqu´ ee dans le mˆ eme mat´ eriau que les blocs ost´ eomorphes (figure 1.20c). Cette comparaison a montr´ e que les fissures se propagent ` a l’int´ erieur de la plaque (fig.

1.20a) alors que dans le cas de l’assemblage autobloquant, les fissures s’arrˆ etent aux interfaces entre les blocs (fig. 1.20b). Il n’y a que le bloc du centre qui est fractur´ e alors que le reste de la structure n’a subi aucun dommage.

Le fait que les fissures restent confin´ ees est dˆ u ` a l’absence de lien physique entre les blocs et donc les fissures ne peuvent pas traverser l’interface entre les blocs. De plus la g´ eom´ etrie des blocs permet ` a l’assemblage de garder son int´ egrit´ e mˆ eme en l’absence de blocs. Les blocs peuvent ˆ etre support´ es par seulement deux voisins se trouvant en contact avec les surfaces courbes.

1.2.3 Absorption acoustique

Carlesso et al. [2012] ont ´ etudi´ e la possibilit´ e d’utiliser des assemblages de blocs ost´ eomorphes dans le but de lutter contre la pollution sonore.

Cette caract´ eristique des autobloquants a ´ et´ e ´ etudi´ ee initialement dans le but d’accroˆıtre l’absorption sonore de tuiles en c´ eramique utilis´ ees pour l’isolation thermique de moteurs fonc- tionnant grˆ ace ` a des turbines ` a gaz.

Le mat´ eriau utilis´ e pour l’exp´ erience est le plˆ atre dentaire : dental stone GC Fujirock (CaSO

.1/4H

O). Des blocs ost´ eomorphes de 20*20*10mm ont ´ et´ e fabriqu´ es ` a partir de ce mat´ eriau puis assembl´ es puis obtenir une petite plaque ronde de 130mm de diam` etre.

L’exp´ erience acoustique consiste en un tube de 130mm avec un haut-parleur comme source

sonore, deux microphones qui vont capturer l’onde initiale et l’onde r´ efl´ echie, un support

permettant de maintenir l’´ echantillon absorbant dans le tube. Derri` ere l’´ echantillon se trouve

Figure 1.21 – Essais acoustiques sur des assemblages ost´ eomorphes en plˆ atre dentaire : a) moule de fabrication des blocs, b) forme ost´ eomorphe utilis´ ee, c) face A de l’assemblage de blocs ost´ eomorphes, d) face B de l’assemblage de blocs ost´ eomorphes, e) l’assemblage de blocs ost´ eomorphes avec de la cire remplissant les interfaces (scell´ e) , f) plaque monolithique de r´ ef´ erence - Carlesso et al. [2012]

un mur dense qui permet des mesures avec un espace contenant un volume d’air entre l’´ echantillon et le mur qui est ajustable.

L’´ echantillon a ´ et´ e test´ e dans les deux sens (nomm´ es A et B sur la figure 1.21) et compar´ e ` a

Figure 1.22 – Essais acoustiques sur des assemblages ost´ eomorphes en plˆ atre dentaire : Montage exp´ erimental - Carlesso et al. [2012]

un assemblage de blocs ost´ eomorphes o` u toutes les interfaces entre les pi` eces ont ´ et´ e remplies avec de la cire ainsi qu’` a une plaque monolithique fabriqu´ ee dans le mˆ eme mat´ eriau et servant de r´ ef´ erence (voir fig. 1.23). Cette plaque monolithique montre un tr` es faible coefficient

Figure 1.23 – Courbe d’absorption acoustique des diff´ erents ´ echantillons - Carlesso et al. [2012]

d’absorption (inf´ erieur ` a 0.1) pour toute la gamme de fr´ equences analys´ ee. Le test des deux

1.2. Les propri ´et ´es des mat ´eriaux autobloquants

structures non scell´ ees a r´ ev´ el´ e un tr` es fort pic d’absorption en particulier entre 150 et 500 Hz.

L’absorption est la mˆ eme lorsque l’assemblage se trouve dans le sens A ou bien dans le sens B. Par contre, l’absorption de l’assemblage scell´ e est r´ eduite de fa¸con drastique, presque au mˆ eme niveau que celle de la plaque monolithique. Cela montre bien que l’origine de l’augmentation de la capacit´ e d’absorption de la structure segment´ ee par rapport ` a celle de la plaque monolithique vient de la dissipation aux contacts entre les blocs plutˆ ot que la porosit´ e interne du mat´ eriau.

Le pic d’absorption de l’assemblage montre un maximum ` a 200Hz et monte ` a 0.57 pour le cˆ ot´ e B et 0.55 pour le cˆ ot´ e A. Le coefficient d’absorption de l’assemblage dans le sens B est 23 fois plus grand que le coefficient d’absorption de la plaque dense et 7.5 plus grand que le coefficient d’absorption de l’assemblage autobloquant ayant les interfaces bouch´ ees avec de la cire.

On peut supposer qu’une partie de l’intensit´ e des ondes sonores dissip´ ees de l’assemblage de blocs ost´ eomorphes non scell´ es est perdue ` a cause de l’interaction des ondes avec les interfaces et aussi peut ˆ etre due ` a la perte frictionnelle produite par le frottement avec les blocs adjacents.

Ces processus n’ont pas lieu dans une plaque massive. Pour l’assemblage scell´ e, la friction entre les blocs n’est pas possible tandis que la cire r´ eduit fortement les pertes d’´ energie.

Un autre param` etre important qui caract´ erise la performance d’absorption sonore est la r´ esistance au flux d’air. Le facteur de la r´ esistance au passage de l’air refl` ete l’interaction entre les ondes sonores et les interfaces entre les blocs. Une grande r´ esistance au passage de l’air a pour effet qu’une grande partie de la puissance sonore se r´ efl´ echit ` a la surface de l’absorbant.

Par contre si la r´ esistance ` a l’air est faible, les ondes sonores passeront ` a travers le mat´ eriau et l’´ energie sonore ne sera pas convertie en chaleur, donnant alors comme r´ esultat, une faible absorption sonore. La g´ eom´ etrie tortueuse des interfaces entre les blocs ost´ eomorphes permet d’accroˆıtre la r´ esistance ` a la p´ en´ etration de l’air.

1.2.4 Dissipation d’´ energie

Dans les exp´ eriences pr´ esent´ ees pr´ ec´ edemment, la courbe d’indentation d’assemblages autobloquants montrait un comportement ´ elastique non lin´ eaire. Estrin et al. [2004], Schaare et al. [2008] ont ´ etudi´ e cette non-lin´ earit´ e en indentant des assemblages de blocs cubiques en aluminium, en acier et en PVC.

La structure comprend 10*10 cubes de dimension 12.25mm (figure 1.24). Un cadre en acier maintient les bords de l’assemblage. La pr´ econtrainte lat´ erale est assur´ ee par 3*4 vis.

Diff´ erentes valeurs de charges ont ´ et´ e test´ ees : 1kN, 1.5kN et 2kN.