La d´emarche de mod´elisation que nous avons retenue est sch´ematis´ee sur la figure 3.1.
Dans notre code d’´el´ements discrets, nous consid´ererons que chaque bloc est un point mat´eriel
Figure3.1 –Sch´ema repr´esentant la d´emarche de mod´elisation par ´el´ements discrets
ayant six degr´es de libert´e. Chacun des blocs se trouvant `a l’int´erieur de l’assemblage est en
contact avec six voisins. Les blocs ext´erieurs ont seulement trois ou quatre voisins. L’hypoth`ese
de d´epart est que les blocs sont en contact seulement deux `a deux. Il est donc n´ecessaire de
connaˆıtre les lois de contact entre deux blocs. Pour cela, nous avons mod´elis´e chaque interaction
´
el´ementaire entre deux blocs par ´el´ements finis. Une fois que ces lois sont introduites dans le
code d’´el´ements discrets, il est alors possible de simuler des assemblages comportant un grand
nombre de blocs en contact en utilisant le Principe Fondamental de la Dynamique.
3.2.1 Mod´elisation d’un bloc
Dans la m´ethode discr`ete, chaque bloc est assimil´e `a un point mat´eriel correspondant `a
son barycentre avec six degr´es de libert´e (3 coordonn´ees et 3 angles) : `a chaque bloc, seront
associ´ees une position exprim´ee sous la forme d’un vecteur qui traduit une translation du centre
de gravit´e du bloc et une orientation exprim´ee sous la forme d’une matrice de passage entre le
rep`ere local et le rep`ere du laboratoire qui traduit une op´eration de rotation du bloc.
3.2.2 Mod´elisation de l’interface
Des lois d’interaction sont introduites pour mod´eliser le comportement entre deux blocs en
contact. Typiquement, dans le cas d’un pavage 2D de blocs ost´eomorphes, chaque bloc est en
contact avec six voisins (voir figure 3.1) ce qui n´ecessite de connaˆıtre les lois de contact pour
chacune des 6 interfaces. Il est donc n´ecessaire de d´efinir des lois locales pour chaque interface
entre deux ´el´ements discrets. Ces lois sont difficiles `a pr´edire analytiquement, elles sont donc
estim´ees par ´el´ements finis en utilisant le logiciel Abaqus. Ces simulations sont facilement
r´ealisables, car elles ne mettent en jeu que deux blocs.
3.2.3 Mod´elisation par ´el´ements finis de l’interaction entre deux
blocs
Les autobloquants pr´esentent un int´erˆet particulier dans le cas de mat´eriaux fragiles. On
suppose que les mat´eriaux restent dans le domaine ´elastique. Les lois de comportement sont
alors calcul´ees par ´el´ements finis grˆace au logiciel Abaqus [2011]. Dans le cas des cubes, le
contact a lieu entre des surfaces planes et les sym´etries de l’assemblage permettent d’utiliser les
3.2. D ´emarche de mod ´elisation
mˆemes lois de comportement pour les 6 interfaces d’un bloc donn´e (voir sur la figure 3.2a). En
outre, dans le cas particulier des pavages de blocs ost´eomorphes, nous pouvons constater deux
types d’interfaces diff´erentes, nous aurons donc deux cat´egories de lois (voir sur la figure 3.2b) :
– les lois de contact entre les surfaces planes des blocs (en orange)
– les lois de contact entre les surfaces r´egl´ees (en jaune)
(a)Zones de contacts sur un cube (b)Zones de contacts
sur un bloc
ost´eomorphe
Figure 3.2 –Contacts sur les blocs ´etudi´es
L’identification des lois de contact par ´el´ements finis est effectu´ee en appliquant une
translation ou une rotation `a un bloc et en mesurant le torseur de r´eaction au contact. Ce
torseur peut se r´esumer `a un glisseur d´efini par la r´esultante des efforts au contact et le point
d’application pour lequel le moment est nul.
Une fois ces lois locales introduites dans le code d’´el´ements discrets, il est alors possible
de mod´eliser un assemblage entier. La m´ethode des ´el´ements discrets permet en principe de
mod´eliser de gros assemblages plus rapidement que par ´el´ements finis.
Le contact n’ayant lieu que sur une partie des blocs, nous n’effectuerons les calculs
d’identi-fication des lois de contact que sur des demi-blocs, ce qui permet de r´eduire le temps de calcul
sous Abaqus.
3.2.4 Conditions aux limites
Les conditions aux limites concernent les conditions appliqu´ees au bloc indent´e, et les
condi-tions appliqu´ees aux blocs se trouvant au bord de l’assemblage (pr´ecompression lat´erale, voir
sur la figure 3.3a).
Dans le code d’´el´ements discrets, on commence par appliquer la pr´econtrainte lat´erale en
appliquant un d´eplacement aux blocs se trouvant sur les bords de l’assemblage. Une fois ce
premier ´etat d’´equilibre atteint, le chargement sera appliqu´e sur le(s) bloc(s) indent´e(s) (voir
sur la figure 3.3b).
(a)Pr´ecompression sur un
assemblage de cubes
(b) Indentation sur un
as-semblage de cubes
Figure 3.3 –Conditions aux limites
3.2.5 Recherche de l’´equilibre
Le chargement est appliqu´e incr´ementalement de mani`ere quasi statique. Pour chaque
pas de chargement, le programme va rechercher la position et l’orientation de chacun des
blocs jusqu’`a ce que l’assemblage soit dans un ´etat d’´equilibre. L’assemblage sera consid´er´e
`
a l’´equilibre lorsque la somme des forces de chacun des blocs et la somme des moments de
chacun des blocs sont proches de z´ero.
Le diagramme suivant (figure 3.4) montre l’algorithme de r´esolution utilis´e dans le code
d’´el´ements discrets. Il s’agit de l’algorithme Verlet-cin´etique souvent utilis´e dans la m´ethode de
r´esolution par ´el´ements discrets. Cet algorithme est d´etaill´e dans les paragraphes suivants.
3.2. D ´emarche de mod ´elisation
Cr´eation de l’assemblage?
Application de la pr´econtrainte boucle sur le nombre d0etapes d0application de la precontrainte?
Recherche de l’´equilibre?
-Application de l’indentation boucle sur le nombre d0etapes de d0indentation?
Recherche de l’´equilibre?
-Sauvegarde du pavage, des forces, moments, rotations, d´eplacements, orientations et positions Tant que l’´equilibre n’est pas trouv´e
R´esolution des ´equations d’´equilibre§3.3.9 boucle sur lesblocs Mise `a jour des positions et orientations§3.3.9 boucle
sur les blocs Quenching§3.3.9.1 bouclesur les blocs Calcul des rotations et d´eplacements§3.3.3et§3.3.4 boucle sur les
interf aces Calcul des forces et des moments aux interfaces§3.3.5et§3.3.6
boucle sur les interf aces V´erification de l’´equilibre§3.3.8 boucle sur les blocs
3.3 Algorithme utilis´e dans le code d’´el´ements discrets
Dans le document
Expériences et simulations de matériaux autobloquants
(Page 106-111)