partie I M´ ethodes et Mod` eles d’´ etudes ´ ecologiques
8.2 Les m´ ethodes g´ eostatistiques multivari´ ees
8.2.1 Les mod`eles de co-r´egionalisation lin´eaire
En g´eostatistiques multivari´ees, chaque variable r´egionalis´ee Z
i(x), i = 1, . . . , p est
consid´er´ee comme une r´ealisation d’une fonction al´eatoire {Z
i, x ∈ D}. Ces fonctions
al´eatoires peuvent ˆetre d´ecompos´ees en une s´erie Z
ki(x);k= 0, . . . , S composants spatiaux
non corr´el´es :
Z
i(x) =
S
X
k=0
Z
ki(x) +m
i. (8.1)
Les variogrammes reli´es entre eux (i.e. variogrammes crois´es) vont rendre possible
l’ana-lyse des structures spatiales conjointes des variablesZ
i(s) telles que :
γ
ij∗(h) = 1
2N(h)
nX
α=1[z
i(x
α+h)−zi(x
α)·(z
j(x
α+h)−z
j(x
α)]. (8.2)
Le nombre total de variogrammes et de variogrammes crois´es exp´erimentaux estp(p+1)/2
o`u p est le nombre de variables pris en consid´eration. Les variogrammes simples et crois´es
vont pouvoir ˆetre mod´elis´es par les mod`eles de cor´egionalisation lin´eaires. Les mod`eles
lin´eaires de cor´egionalisation (LMC) (Goovaerts, 1997; Wackernagel, 2003) sont une
exten-sion multivari´ee des mod`eles de variogrammes emboˆıt´es.
Ce type de mod`ele permet de prendre en compte explicitement la structure spatiale de
la variable r´eponse et des variables explicatives pour mod´eliser les relations entre variables
`
a plusieurs ´echelles, c’est-`a-dire que les LMC permettent une mod´elisation globale des
va-riogrammes simples et crois´es. L’utilisateur choisit le nombre et la famille des mod`eles de
variogrammes apr`es avoir examin´e la forme des variogrammes exp´erimentaux simples et
crois´es. Ainsi chaque mod`ele de variogramme a une port´ee diff´erente et peut appartenir `a
une famille diff´erente.
En d’autres termes, un LMC est une s´erie de mod`eles de variogrammes simples et crois´es
compos´e d’une combinaison lin´eaire de la mˆeme s´erie de structure ´el´ementaire. Un LMC
avec k= 1, . . . , S structures peut ˆetre ´ecrit :
γ
ij(h) =b
1ijg
1(h) +b
kijg
k(h) +. . .+b
Sijg
S(h), (8.3)
o`u γ
ij(h) est un mod`ele de variogrammes emboˆıt´es pour la variable i et j (pour i =j
un variogramme simple est obtenu),b
kijest la variance partielle du ijthvariogramme pour
la structure spatiale k (i.e ´echelle spatiale caract´eristique). En utilisant les LMC on fait
l’hypoth`ese que les structures du LMC sont mutuellement ind´ependantes.
8.2 Les m´ethodes g´eostatistiques multivari´ees 55
La fl´exibilit´e des LMC (c’est-`a-dire la capacit´e `a mod´eliser une s´erie de variogrammes
exp´erimentaux) est bas´ee sur le nombre total de structures du LMC (nombre d’´echelles
spatiales mod´elis´ees), sur les port´ees des corr´elations spatiales et sur les variances partielles
pour chaque mod`ele de variogramme et pour chaque structure.
Les variances partielles peuvent changer en fonction des variogrammes et des
vario-grammes crois´es, mais la port´ee de chaque structure spatiale g
(k)(h) reste la mˆeme pour
tous les variogrammes c’est-`a-dire, les p(p+ 1)/2 variogrammes.
Le mod`ele de cor´egionalisation peut ˆetre exprim´e en notation matricielle telle que :
C(h) =
S
X
k=0
B
kρ
k(h), (8.4)
o`uρ
k(h) est une covariance tel que ρ
k(0) = 1.
Et o`u les coefficients des LMC (i.e. variance partielle) sont regroup´es sous forme de
matrice pour construire des matrices de cor´egionalisation B
kpour chaque structurek.
Les matrices de cor´egionalisation sont sym´etriques de dimension (pxp) et doivent ˆetre
semi-d´efinies positives, avec respectivement sur les diagonales et en dehors des diagonales ,
les coefficients des variogrammes et des variogrammes crois´es :
b
k 11. . . b
k 1p. . . ... . . .
b
kp1. . . b
kpp
.
L’estimation des coefficients de port´ee partiels b
kijest r´ealis´ee `a partir de l’algorithme
d´evelopp´e par Goulard & Voltz (1992). Une matrice de cor´egionalisation pour chaque
struc-ture kqui de par ses propri´et´es ´enonc´ees pr´ec´edemment peut ˆetre consid´er´ee comme
l’ana-logue d’une matrice de variance-covariance sp´ecifique `a chaque structurek.
Le nombre total de matrices B
k`a analyser est ´egal au nombre de structures spatiales
(´echelle spatiale) pris en consid´eration.
8.2.2 Coefficients structuraux de corr´elation
Des coefficients structuraux de corr´elationr
kijpeuvent ˆetre d´eriv´es des coefficients partiels
b
kijpour quantifier le lien spatial entre les organismes et l’environnement :
r
ijk= b
k ijq
b
kiib
kjj. (8.5)
8.2.3 L’analyse krigeante
A partir de la mod´elisation des variogrammes et des variogrammes crois´es par un LMC,
l’utilisation de l’analyse krigeante va nous permettre de r´esumer les relations spatiales entre
les organismes et les variables environnementales `a diff´erentes ´echelles (fig. 8.5).
L’analyse krigeante s’effectue en deux ´etapes successives : la premi`ere ´etape r´ealise la
d´ecomposition des fonctions al´eatoires en une somme de facteurs ind´ependants ; la seconde
proc`ede `a l’estimation par cokrigeage de ces facteurs au point x
0.
Etape 1 : D´ecomposition d’une fonction al´eatoire multivari´ee
Chaque composant spatial Z
ki(x) peut lui-mˆeme ˆetre repr´esent´e par une combinaison
lin´eaire de facteurs non corr´el´esY
kj(x) associ´es `a des coefficientsa
ijk:
Z
ki(x) =
p
X
j=1
a
ijkY
kj(x), (8.6)
les coefficients a
ijksont des coefficients de transformation inconnus correspondant au
ji`eme facteur r´egionalis´e de lai`eme variable de laki`eme structure. En fait, seule la matrice
de cor´egionalisation B
kpeut ˆetre estim´ee :
B
k=A
kA
0k.
Cependant, une analyse en composantes principales (ACP) peut permettre d’obtenir la
determination de la matriceA
k. De mani`ere plus sp´ecifique, l’ACP appliqu´ee s´epar´ement `a
chaque matrice de cor´egionalisation B
k, permet d’obtenir une s´erie dep valeurs propres λ
et leur vecteur propre associ´ev
j:
B
k=Q
kV
kQ
0k,
o`u Q
kest une matrice orthogonale de vecteur propre, V
kest une matrice diagonale
contenant les valeurs propres de la matrice B
k. La matriceA
kpeut alors ˆetre estim´ee :
A
k=Q
k∧
1k/2.
Les facteurs r´egionalis´esY
kj(x) sont des ´equivalents des composantes principales obtenues
avec une ACP.
Une ACP r´ealis´ee sur chaque matrice de cor´egionalisation B
koffre la possibilit´e de
r´esumer les relations entre les variables, chaque matrice B
kest d´ecompos´ee en vecteurs
propres et valeurs propres afin de projeter les variables dans des cercles de corr´elations.
8.2 Les m´ethodes g´eostatistiques multivari´ees 57
Pour cela, les vecteurs propres des deux principaux axes sont convertis en corr´elation entre
la variable originale et les composantes principales :
c
kij=v
ijs
λ
jb
kij, (8.7)
o`u c
kijest la valeur de la corr´elation, k fait r´ef´erence `a chaque structure spatiale (i.e. k
peut faire r´ef´erence aussi `a chaque matrice de cor´egionalisation),v
ijest leii`eme ´el´ement du
ji`eme vecteur propre, et j est la ji`eme valeur propre etb
kijcorrespond aux coefficients de
la matrice de cor´egionalisation B
k.
Etape 2 : Cartographie des facteurs r´egionalis´es par cokrigeage
Quel que soit le point x ∈ D, on estime la valeur des facteurs spatiaux Y
kj(x) par
cokrigeage `a partir des donn´ees ´echantillonn´ees. Pour chaque variable Z
i, on utilise les i
voisins ´echantillonn´es les plus proches de x et l’estimateur du facteur Y
kj(x) en un point
x∈Dest de la forme :
ˆ
Y
kj(x) =
pX
i=1 nX
α=1w
αiZ
i(x
α). (8.8)
Dans le cas o`u toutes les variables sont stationnaires, de moyennes m
iinconnues, on
utilise les fonctions de covariance et le syst`eme de cokrigeage qui d´etermine lesw
αi, s’´ecrit :
pX
j=1 nX
β=1w
iβC
ij(x
α−x
β)−µ
i=a
ijkρ
k(x
α−x
0) pour i= 1, . . . p, α= 1. . . , n
nX
β=1w
βi= 0 pour i= 1, . . . , p
(8.9)
.
Fig. 8.2. Sch´ematisation des diff´erentes ´etapes de la mod´elisation de variogrammes simples et crois´e pour 2 variables `a partir des mod`eles de cor´egionalisation suivie d’une analyse krigeante.