Il s'agit maintenant d'étudier les lentilles dans le cas général où on ne peut plus négliger l'écart entre les deux dioptres. Nous devrons bien sûr retrouver les résultats des lentilles minces dans la limite où cet écart tend vers zéro. Lorsqu'on ne fait plus cette approximation, on n'est plus forcé de se placer dans le cadre de l'approximation de Gauss, et nous commencerons par étudier les conditions de stigmatisme des lentilles.
1) Stigmatisme rigoureux des lentilles
a) lentilles simples rigoureusement stigmatiques
Elles sont constituées de dioptres utilisés dans les conditions où ils sont stigmatiques.
D'après l'étude faite au chapitre IV, nous disposons des dioptres suivants:
le dioptre plan pour un objet à l'infini (image à l'infini);
le dioptre sphérique pour son centre de courbure;
le dioptre sphérique pour les points d'Young-Weierstrass;
les dioptres elliptiques ou hyperboliques pour des conjugaisons infini-foyer;
les ovales de Descartes pour deux points à distance finie.
F
dioptre sphérique de centre F
ellipsoïde
lentille sphéro-elliptique convergente
F
dioptre sphérique de centre F
ellipsoïde
lentille sphéro-elliptique divergente
lentille double-hyperbolique
hyperboloïdes
A A'
hyperboloïde
F
lentille plan-hyperbolique convexe (convergente)
(convergente)
F
hyperboloïde
lentille plan-hyperbolique concave (divergente)
A' A
dioptre sphérique de centre A
dioptre sphérique de points D'Y-W
A et A'
ménisque convergent
Notons qu'il existe d'autres possibilités, en utilisant les ovales de Descartes. De façon générale les surfaces asphériques sont beaucoup plus difficiles à réaliser que les plans ou les sphères. Dans les situations où le stigmatisme est important, on choisit souvent de réaliser des systèmes à plusieurs lentilles à faces sphériques dont les aberrations se compensent.
Toutefois, grâce aux progrès des méthodes de fabrication, on utilise de plus en plus des lentilles asphériques, en verre ou en plastique moulé, pour certaines applications où le nombre de dioptres doit être limité pour limiter les pertes d'énergie (condenseurs pour systèmes d'éclairage ou de projection) ou pour limiter le poids (collimation de diodes laser dans les systèmes de lecture optique, appareils photos jetables).
b) meilleure utilisation des lentilles à dioptres sphériques
Bien que n'étant pas rigoureusement stigmatiques, les lentilles à dioptres sphériques présentent plus ou moins d'aberrations (en particulier d'aberration sphérique) suivant leur forme et les points que l'on veut conjuguer. Nous ne ferons pas ici d'étude des aberrations (ceci sera fait en détail en 2ème année); nous nous contenterons de mentionner quelques règles simples concernant la meilleure utilisation des lentilles.
Une idée simple pour comprendre ces quelques règles consiste à dire que pour réduire les aberrations il faut minimiser les angles d'incidence sur les dioptres. Dans le cas où l'angle d'incidence varie en sens inverse pour les deux dioptres, la situation la meilleure est celle où les deux angles sont égaux: en d'autres termes, si l'on considère le prisme auquel est équivalent localement la lentille, on cherche à se placer au minimum de déviation.
Ce qu'il est utile de retenir pour l'instant c'est:
o pour une conjugaison infini/foyer, la lentille sphérique de meilleure forme est biconvexe avec R2 6R10; une lentille plan convexe est presque aussi bonne, à condition de l'utiliser avec sa face plane vers le foyer image:
bonne utilisation de la plan convexe
lentille de meilleure forme
Les deux tracés de rayons présentés page suivante illustrent le bon sens d’utilisation d’une lentille plan convexe pour cette conjugaison.
Quelle que soit la forme de la lentille, pour cette conjugaison il faut toujours placer la face la plus bombée vers l'infini.
o pour une conjugaison 2f/2f, on a intérêt à utiliser une lentille biconvexe symétrique R2 R1:
F F'
Lentille plan-convexe dans le bon sens
12.00 MM
Lentille plan-convexe dans le mauvais sens
12.00 MM
2) Les lentilles épaisses en approximation de Gauss a) caractéristiques
Puisqu'on se limite maintenant au cadre de l'approximation de Gauss, les dioptres formant la lentille seront forcément plans ou sphériques. L'axe de la lentille est défini par les deux centres des dioptres. Elle sera en général plongée dans l'air. On notera R1 et R2 les rayons de courbure algébriques de chaque dioptre, e l'épaisseur sur l'axe de la lentille et n l'indice du matériau dans lequel elle est taillée.
C S C
S2 1 2 1
e
1 n 1
On caractérisera souvent une lentille par sa convergence C en dioptries (m-1), qui pour une lentille plongée dans l'air est l'inverse de sa focale image. La convergence d'une lentille (comme de tout système centré) est indépendante du sens d'utilisation (sens de propagation de la lumière). Nous verrons dans la suite comment cette convergence est reliée aux paramètres géométriques de la lentille. Notons qu'elle n'est pas suffisante pour définir complètement une lentille, même dans l'approximation de Gauss.
Un autre paramètre utilisé est la cambrure de la lentille:
¸¹
¨ ·
©§
2 1
1 2 1
1 R R
J
Contrairement à la convergence, la cambrure change de signe quand on inverse le sens d'utilisation de la lentille. Par exemple une lentille plan-convexe a une cambrure positive lorsqu'elle est utilisée dans le bon sens pour un objet à l'infini (face bombée vers l'objet) et négative pour le mauvais sens d'utilisation.
b) expression de la focale
On va la déterminer à partir d'une construction pour un rayon incident parallèle à l'axe.
C S
1S
2C
1Déterminons d'abord la position de F' en écrivant qu'il est conjugué de F'1 à travers le deuxième dioptre:
1
S F'2 S F'2n 1 2
C où C2 est la convergence du deuxième dioptre.
Utilisons ensuite les triangles F'1S1I et F'H'K' pour écrire:
S I
En utilisant la relation de conjugaison donnant la position de F', on obtient:
1
où C1 et C2 sont les convergences de chaque dioptre. Signalons que cette expression que l'on vient d'établir donne la convergence de la lentille en fonction des convergences des éléments qui la composent: c'est la formule de Gullstrand, que l'on retrouvera de façon générale dans le chapitre suivant sur les associations de systèmes centrés.
Si l'on exprime cette relation en fonction des rayons de courbure des faces de la
c) condition de lentille mince
On retrouve dans l'expression générale précédente que si l'on fait tendre e vers zéro on retrouve l'expression de la focale d'une lentille mince. Plus précisément, il faut que le terme supplémentaire e n( 1)2 nR R1 2soit négligeable par rapport aux deux autres, ce qui donne comme condition:
e R1R2
lentille mince de mêmes rayons de courbure. Attention cependant au fait que cette condition n'est pas suffisante pour que les plans principaux de la lentille soient confondus: ce n'est pas une condition suffisante pour que la lentille puisse être considérée comme mince
Remarquons en particulier que dans le cas où l'un des dioptres est plan (R1 ou R2 infini), la focale de la lentille est indépendante de l'épaisseur e au centre. La focale d'une telle lentille est donc la même que pour une lentille mince, mais les plans principaux sont distants d'une quantité e' qui augmente avec e.
d) lien entre épaisseur au bord et convergence
Calculons l'épaisseur à la distance h de l'axe, e(h), d'une lentille dont on connaît l'épaisseur au centre e e(0) et les rayons de courbure algébriques R1 et R2. En ne gardant que les termes d'ordre 2 en h, on a:
Dans le cas d'une lentille mince, l'écart d'épaisseur est proportionnel à la convergence de la lentille: qu'au centre tandis qu'une lentille mince divergente est plus épaisse au bord qu'au centre: on retrouve les propriétés de convergence des différents types de lentilles minces vus précédemment.
En ce qui concerne les lentilles plus épaisses, le lien entre différence d'épaisseur et convergence n'est plus aussi univoque. La propriété reste cependant vraie tant que l'épaisseur e n'est pas trop grande (essayez à titre d'exercice de trouver un contre-exemple!).
e) détermination des points cardinaux
Plusieurs méthodes permettent de trouver les foyers et les points principaux d'une lentille épaisse, à partir desquels on sait retrouver tous les autres points cardinaux. En fait il suffit de déterminer trois points, par exemple F, F' et H', puisqu'on sait que:
H' F'
On place sur un schéma, de préférence à l'échelle, les sommets, centres et foyers des dioptres. On construit le trajet d'un rayon incident parallèle à l'axe, d'où l'on obtient le foyer image du système et le plan principal image. Puis on construit le trajet inverse d'un rayon qui émerge du système parallèlement à l'axe, d'où l'on obtient F et H. On peut alors vérifier que la relation entre HF et H' F' est bien satisfaite, ce qui donne une confirmation de la construction.
directement les positions des points cardinaux. La méthode graphique est un complément indispensable à une méthode de calcul de ces positions.
* utilisation des formules de conjugaison
C'est la méthode que nous avons employée pour calculer la focale. On calcule l'image d'un point objet à l'infini sur l'axe à travers les deux dioptres, ce qui revient à calculer l'image de F'1 à travers le deuxième dioptre, et on obtient la position de F' par rapport aux points cardinaux des dioptres.
Pour calculer la position de H', on peut procéder de différentes façons. Nous avons vu une méthode utilisant les propriétés de la construction graphique. On peut aussi déterminer la convergence de la lentille à partir de la convergence des dioptres (formule de Gullstrand C=C1+C2(e/n)C1C2), dont on déduit H' F'=n'/C.
Pour calculer la position de F, on peut procéder comme pour F': on cherche l'objet dont l'image à travers la lentille est à l'infini, ce qui revient à déterminer l'objet dont l'image à travers le premier dioptre est F2, foyer objet du deuxième dioptre.
* méthode matricielle
Cette méthode n'est appropriée que dans le cas de systèmes complexes composés de nombreux dioptres. Elle sera vue en TD et les principes généraux en seront rappelés en annexe du chapitre VIII sur l'étude générale des associations de systèmes centrés.
f) centre optique d'une lentille épaisse
Il peut être intéressant de déterminer les points cardinaux d'une lentille à partir des points nodaux plutôt que des points principaux. En fait, lorsque les milieux extrêmes ont même indice, nodaux et principaux sont confondus. Considérons un rayon incident passant par le point nodal objet N. Il va ressortir de la lentille en passant par le nodal image N' et dans une direction parallèle à l'incident.
O
N N'
D
D' D
Le centre optique O de la lentille est le point par lequel passe le rayon intermédiaire.
C'est donc l'image de N à travers le premier dioptre, et c'est aussi l'objet dont l'image à travers le deuxième dioptre est N'.
L'intérêt de ce centre optique est qu'il est facile à déterminer graphiquement. Traçons deux droites parallèles, l'une '1 passant par le centre du premier dioptre C1, l'autre '2 passant par C2. Notons I1 le point d'intersection de '1 avec le premier dioptre et I2 le point d'intersection de '2 avec le deuxième dioptre. C1I1 représente la normale au 1er dioptre en I1
chaque dioptre, et les deux rayons incident et émergent correspondants sont parallèles. Le point d'intersection de I1I2 avec l'axe donne le centre optique O.
S1
Cette construction graphique du point O permet de calculer sa position, en utilisant les triangles semblables C1S1I1 et C2S2I2 d'une part, et OS1I1 et OS2I2 d'autre part:
g) constructions et formules de conjugaison
Une fois qu'on a déterminé les positions des foyers et des plans principaux par l'une des méthodes qui viennent d'être décrites, on peut déterminer tous les autres points cardinaux puis faire n'importe quelle construction en se reportant aux méthodes générales vues pour les systèmes centrés dans l'approximation de Gauss (cf chapitre V). On peut également utiliser les formules de conjugaison avec origine aux plans principaux ou avec origine aux foyers, ainsi que les expressions des grandissements.