Nous en avons déjà vu un exemple avec l'association de deux dioptres sphériques formant une lentille épaisse. Nous allons utiliser ici une démonstration légèrement différente et plus générale, qui va nous donner la position des foyers et des plans principaux du système global en fonction de ceux des systèmes individuels.
1) Recherche des foyers et de la focale
Nous représenterons les deux systèmes centrés par leurs plans principaux et leurs foyers. Graphiquement on peut trouver F' et H' en faisant une construction pour un rayon incident parallèle à l'axe:
H H'
F1 F2 F
1 1 F'1 H2 H'2
2' B
B'
F' H' '
Notons que les positions relatives de H et H' pour chacun des systèmes sont quelconques, par contre les quantités HF et H' F' sont forcément de signes opposés et dans le rapport des indices des milieux extrêmes. Nous caractériserons la distance entre les deux systèmes centrés par la quantité '= F' F1 2, distance entre le foyer image du premier système et
le foyer image du second système. Cette quantité, qu'on appelle l'intervalle optique entre les deux systèmes, peut être positive ou négative.
On peut suivre la même démarche pour trouver le foyer objet:
F
F'
1 F2
H1 H'1 F'1
H2 H'2 B' 2
B H F
Les points F'1 et F' sont conjugués à travers le deuxième système, d'où en utilisant la formule de Newton:
F' F'2 f2 f'2 '
De même F et F'2 sont conjugués à travers le premier système et on a:
F F1 f f1 '1 '
Ces formules, dites "de Gullstrand", nous donnent la position des foyers objet et image du système global par rapport aux foyers des systèmes individuels.
Pour les points principaux, on les obtient par la construction et on pourrait utiliser les propriétés géométriques sur la figure pour les calculer. Nous allons plutôt calculer la focale du système global à partir des focales des systèmes individuels.
Considérons un objet à l'infini de diamètre apparent T et calculons la taille y' de son image à travers le système global.
En fonction de la focale objet f du système global, on peut écrire:
y' Tf
H H'
F F'
y' T
D'autre part, on peut calculer la taille de l'image finale à partir de l'image intermédiaire formée par le premier système:
F1 H1 H'1 F'1 F2
H2 H'2 F'2 y'1
T y'
F'
La taille de l'image intermédiaire vaut y'1 T. En écrivant f1 y' y' .( )1 gy 2 pour F' F'1 , on obtient une relation entre la focale du système complet et les caractéristiques des deux sous-systèmes:
f f g1.( )y 2 pour F' F'1
Cette relation est souvent utilisée aussi pour l’étude de télescopes, où l’association de deux miroirs sphériques donne un système équivalent à un système dioptrique (cf chapitre IX).
D'après les formules de Newton, le grandissement transversal du deuxième système pour le couple de points conjugués F'1, F' s'écrit:
( )g ' f
y 2 2
pour F' F1 ' On obtient finalement la focale objet du système global:
f f f1 2 '
Pour la focale image, on peut soit faire un raisonnement analogue pour un objet y dont l'image est à l'infini avec un diamètre apparent T', soit utiliser les relations entre les focales objet et image en appelant n et n' les indices des milieux objet, intermédiaire et image. On plan principal image et (gy)i le grandissement transversal correspondant. La focale objet du système global peut s'écrire:
f f g1( )y 2( )gy n
En utilisant l'expression des grandissements transversaux avec origine aux plans principaux ( )gy i n x n xi 'i 'i i, sachant que n'i ni1, et que x'1 f'1 (n n f2 ) 1 on obtient:
2) Formule de Gullstrand pour la convergence
Cherchons maintenant à relier la convergence C du système global aux convergences C1 et C2 des systèmes individuels. L'expression de la focale objet que l'on a établie permet d'écrire:
Le paramètre commode pour caractériser la distance entre les deux systèmes est dans ce cas l'interstice e H' H1 2, écart entre les plans principaux que l'on peut écrire en fonction de l'intervalle optique ' F' F1 2:
e f'1 ' f2
On en déduit finalement la relation de Gullstrand:
C C C e
C C
1 2 1
ni 2 où ni est l'indice du milieu intermédiaire et e H' H1 2.
Remarque: la relation de Gullstrand peut s'appliquer au cas de systèmes composés de miroirs à condition de prendre des précautions de signe (comme toujours avec les miroirs!). Une possibilité pour éviter les erreurs de signe consiste à déplier le système en remplaçant un miroir de rayon de courbure R par une lentille mince de focale R/2 (convergente si le miroir est concave, divergente s’il est convexe). Il est cependant indispensable de faire une figure pour vérifier la cohérence du résultat obtenu.
3) Cas des systèmes centrés symétriques
Il s'agit de systèmes possédant, en plus de la symétrie de révolution autour de l'axe optique, un plan de symétrie orthogonal à l'axe optique, y compris du point de vue des indices de réfraction. Une lentille épaisse biconvexe ou biconcave dont les faces ont même rayon de courbure, une lentille boule, l'association de deux lentilles minces de même focale, en sont quelques exemples (dans le cas où les milieux extrêmes ont même indice).
Pour ces systèmes il existe une méthode rapide pour déterminer les points principaux et antiprincipaux.
Si l'on appelle O l'intersection du plan de symétrie et de l'axe optique, ce point est le centre optique du système. Comme nous l'avions vu pour les lentilles épaisses, le centre optique a pour propriété que tout rayon passant par O correspond dans les espaces objet et image du système global à des rayons de même direction.
O
N=H N'=H'
F =1 Q F' = '2 Q
Il suffit alors de calculer l'image de O à travers la deuxième moitié du système pour trouver le point nodal image, qui est aussi le point principal image (indices des milieux extrêmes identiques). Le point nodal (et principal objet) est symétrique du point principal image par rapport à O.
Les antiprincipaux s'obtiennent également facilement pour un système symétrique. En effet considérons un rayon parallèle à l'axe dans l'espace contenant le plan de symétrie du système: il correspond à des rayons incident et émergent d'angles opposés. D'autre part, il provient du foyer objet de la première moitié du système et émerge en passant par le foyer image du deuxième système. F1 et F'2 sont donc les antiprincipaux du système global.
4) Exemples d’association de systèmes centrés
Des exemples d’association de systèmes centrés seront vus à l'occasion d'exercices et lors de l'étude des instruments d'optique. Il s'agira par exemple de doublets (associations de deux lentilles minces accolées en vue de corriger les aberrations géométriques et chromatiques), d'oculaires (associations de deux lentilles en vue de l'observation à l'oeil d'un petit objet à distance finie), de microscopes, de lunettes, etc.